1、第3课时三角形中的几何计算学 习 目 标核 心 素 养1.掌握三角形的面积公式的应用(重点)2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算的素养2.借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象的素养1三角形的面积公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)Sab sin Cbc sin Aca sin B；(3)S(abc)r(r为内切圆半径).思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？提示(1)适用三角形的面积公式对任意的三角形都成立(
2、2)能利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解2三角形中常用的结论(1)ABC，；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin (AB)sin C，cos (AB)cos C，tan (AB)tan C，sin cos ，cos sin 1下列说法中正确的是 (填序号).已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S(abc)r；在ABC中，若cb2，SABC，则A60；在ABC中，若a6，b4，C30，则SABC的面积是6；在ABC中，若sin 2Asin 2B，则AB.中三角形
3、的面积S(abc)r.由Sbc sin A可得sin A，A60或120.在ABC中由sin 2Asin 2B得AB或AB.2在ABC中，a6，B30，C120，则ABC的面积为 9由题知A1801203030，由知b6，Sab sin C189.3在ABC中，ab60，SABC15，ABC的外接圆半径为，则边c的长为 3由题知SABCab sin C15得sin C.又由2R得c23.三角形面积的计算【例1】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，cos A，b.(1)求sin C的值；(2)求ABC的面积解(1)角A，B，C为ABC的内角，且B，cos A，CA，sin A.s
4、in Csin cos Asin A.(2)由(1)知sin A，sin C.又B，b，在ABC中，由正弦定理得a.ABC的面积Sab sin C.1由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式2如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算1在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，a3，SABC2，则b的值为()A6B3C2 D2或3D因为SABCbc sin A2，所以bc6，又因为sin A，所以cos A，又a3，由余弦定理得9b2c22bc cos
5、 Ab2c24，b2c213，可得b2或b3.三角恒等式证明问题【例2】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.证明：.思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开证明法一：(边化角)由余弦定理a2b2c22bc cos A，b2a2c22ac cos B，a2b2b2a22bc cos A2ac cos B，整理得：.依正弦定理有，.法二：(角化边).1三角恒等式证明的三个基本原则(1)统一边角关系(2)由繁推简(3)目标明确，等价转化2三角恒等式证明的基本途径(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形(2)把边的关系转化为角的关系，一般
6、是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形2在ABC中，求证：.证明由正弦定理得右边左边原等式成立解三角形中的综合问题探究问题1.如图所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，B是哪些三角形的内角？提示在图形中共有三个三角形，分别为ABC，ABD，ADC；线段AD是ADC与ABD的公共边，B既是ABC的内角，又是ABD的内角2在探究1中，若sin Bsin ADB，则ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知ADB，ABm，DCn，如何求出AC?提示若sin Bsin ADB，则ABD为等腰三角形，在此条件下，可在ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在ADC中求出AC，也可
7、以在ABD中先求出BD，然后在ABC中，利用余弦定理求出AC.【例3】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，b sin c sin a.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积思路探究：(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证(2)结合第(1)问可直接求出B，C，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解解(1)证明：由b sin c sin a，应用正弦定理，得sin B sin sin C sin (B)sin A，所以sin B(sin Ccos C)sin C(sin Bcos B)，整理得sin B co
8、s Ccos B sin C1，即sin (BC)1，因为0B，0C，从而BC.(2)因BCA，所以B，C.由a，A得b2sin ，c2sin ，所以ABC的面积Sbc sin Asin sin cos sin .(变条件，变结论)将例题中的条件“A，b sin c sin a”改为“ABC的面积S(a2b2c2)”求：(1)角C的大小；(2)求sin Asin B的最大值解(1)由题意可知ab sin C2ab cos C.所以tan C，因为0C，所以C.(2)由已知sin Asin Bsin Asin sin Asin sin Acos Asin Asin ，当A，即ABC为等边三角形时
9、取等号所以sin Asin B的最大值为.1解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键2三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用处理三角形问题时常用的公式(1)labc(l为三角形的周长).(2)ABC.(3)三角形内切圆的半径：r.特别地，当ABC为直角三角形，c为斜边时，r.(4)三角形的面积S，这里p(abc)，这就是著名的海伦一秦九韶公式(5)三角形的面积S2R2sin A sin B sin C(R为ABC外接圆的半径).1判断正误(1)公式
10、Sab sin C适合求任意三角形的面积()(2)三角形中已知三边无法求其面积()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()答案(1)(2)(3)提示已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C，b cos Aa cos B2，则ABC的外接圆面积为()A4 B8 C9 D36 C由余弦定理及题意得ba2，即2，整理得c2，由cos C得sin C，再由正弦定理可得2R6，所以ABC的外接圆面积为R29.3在ABC中，已知B，D是BC边上一点，AD10，AC14，DC6，则AB的长为 5在ADC中，AD10，AC14，DC6，cos ADC.又ADC(0，)，ADC，ADB.在ABD中，由正弦定理得，AB5.4已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sinA sin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积解(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.所以ABC的面积为1.