1、第五课时利用导数研究函数零点问题授课提示：对应学生用书第53页题型一函数零点个数的讨论合作探究例(2021德州模拟)已知函数f(x)x2a.设函数g(x)xf(x)，讨论g(x)在区间(0,1)上零点的个数解析由题意可知g(x)xf(x)x3ax，g(x)3x2a,0x1，当a3时，g(x)3x2a0，g(x)在(0,1)上单调递增，因为g(0)0，g(1)a0，所以g(x)有一个零点；当a0时，g(x)0，g(x)在(0,1)单调递减，g(0)0，g(1)0，g(x)在(0,1)无零点；当0a3时，g(x)在上单调递增，在上单调递减，可得g(x)在(0,1)上的最大值为g ，若g0，即0a，
2、g(x)在(0,1)上无零点；若g0，即a，g(x)在(0,1)上有一个零点；若g0，即a3，g(0)0，g(1)a，当a时，g(x)在(0,1)上有两个零点；当a3时，g(x)在(0,1)上有一个零点；综上可得，当a时，g(x)在(0,1)上无零点；当a或a时，g(x)在(0,1)上有一个零点，当a时，g(x)在(0,1)上有两个零点利用导数研究方程根(函数零点)的技巧(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置(3)利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现
3、对点训练设函数f(x)x22kln x(k0)(1)当k4时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)试讨论函数f(x)在区间(1，上的零点个数解析：(1)当k4时，f(x)x28ln x，则f(x)定义域是(0，)，f(x)2x，令f(x)0，得x2或x2(舍去)当x变化时，函数f(x)，f(x)变化情况如表所示：x(0,2)2(2，)f(x)0f(x) 极小值 所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)，函数在x2处取得极小值f(2)48ln 2，无极大值(2)易知f(x)的最小值为f()kkln k，若函数有零点，则有f()0，解得ke.当ke时，函数f(x)在(1，上
4、单调递减又f(1)10，f()ek0，所以函数f(x)在(1，上有一个零点，当0ke时，函数f(x)的最小值为正数，所以函数f(x)在(1，上没有零点，综上，当ke时，函数f(x)在(1，上有一个零点，当0ke时，函数f(x)在(1，上没有零点题型二根据零点求参数范围问题合作探究例(2020高考全国卷)已知函数f(x)exa(x2)(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)exx2，则f(x)ex1.当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.所以f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增(2)f(x)exa.当a0时，f(
5、x)0，所以f(x)在(，)单调递增故f(x)至多存在一个零点，不合题意当a0时，由f(x)0，可得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增故当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a(1ln a)(i)若0a，则f(ln a)0，f(x)在(，)至多存在一个零点，不合题意(ii)若a，则f(ln a)0.因为f(2)e20，所以f(x)在(，ln a)存在唯一零点由(1)知，当x2时，exx20.所以当x4且x2ln(2a)时，f(x)a(x2)eln(2a)a(x2)2a
6、0.故f(x)在(ln a，)存在唯一零点从而f(x)在(，)有两个零点综上，a的取值范围是.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.对点训练已知a0，函数f(x)ln x2.(1)记g(a)f(a2)，求g(a)的最小值；(2)若f(x)有三个不同的零点，求a的取值范围解析：(1)g(a)ln a222，g(a)2.所以当0a1时，g(a)0，g(a)单调递减当a1时，g(a)0，g(a)单调递增所以g(a)的最小值为g(1)0.(2)f(x)，x0.因为f(x)有三个不同的零点，所以f(x)至少有三个单调区间，从而方程x2(2a24a)xa40有两个不同正根，所以有解得0a1.当0a1时，由(1)得，当x1时，g(x)0，即ln x10，