1、 东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案065A几何证明选讲(选修系列)A一、知识梳理（一）、相似三角形的判定及有关性质1平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。（2）推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。2平行线分线段成比例定理及推论（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。如图，若，则有：注：把推论中的题设和结论交换之后，命题仍
2、然成立。3相似三角形的判定及性质（1）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。（2）相似三角形的判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。如图，若EF/BC，则AEFABC。判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。注：根据判定定理2，对于两等腰三角形，只需再添加一顶角或底角对应相等就可以了。若两等腰三角形的一底角相等，则另一底角必然相等，由判定定理1即可判定其相似；若顶
3、角对应相等，则它们的两底角也对应相等，由判定定理1即可判定；若一等腰三角形的顶角与另一等腰三角形的一底角对应相等，它们不一定相似。（3）直角三角形相似的判定：上述所有的任意三角形相似的判定皆适用于直角三角形。定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（4）相似三角形的性质相似三角形的性质（一）（）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。（）相似三角形周长的比等于相似比。（）相
4、似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形的性质（二）（）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比。（）相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方。4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，则有CD2=ADBD，AC2=ADAB，BC2=BDAB。（二）、直线与圆的位置关系1圆周角定理（1）圆周角定理及其推论定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论（）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。（）推论2：半圆（或直
5、径）所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径。（2）圆心有定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。2圆内接四边形的性质与判定定理（1）圆内接四边形的性质定理定理1：圆内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。（2）圆内接四边形的判定定理及推论判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。3圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理及推论（1）定理：圆的切线垂直于经过切点的半径（2）推论：推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过
6、圆心。4弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所平的弧所对的圆周角。5与圆有关的比例线段圆中的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P（1）PAPB=PCPD（2）ACPBDP（1）在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一（2）求弦长及角割线定理PAB、PCD是的割线PAPB=PCPD（2）PACPDB（1）求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD（2）应用相似求AC、B切割线定理PA切于A，PBC是的割线（1）PA2=PBPC（2）PABPCA（1）已知PA、PB、PC知二可求一（2）求解AB、AC切线长定理PA、PB是的切线（1）PA=PB（2）OPA=OPB
7、（1）证线段相等，已知PA求PB（2）求角二、题型探究题型探究一：相似三角形的判定及有关性质（一）平行线（等）分线段成比例定理的应用例1：如图，F为平行四边形ABCD边AB上一点，连DF交AC于G，延长DF交CB的延长线于E。求证：DGDE=DFEG思路解析：由于条件中有平行线，考虑平行线（等）分线段定理及推论，利用相等线段（平行四边形对边相等），经中间比代换，证明线段成比例，得出等积式。解答：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABDC，AD=BC，ADBC，又ABDC，即DGDE=DFEG。题型探究二：相似三角形判定定理的应用例2：如图，BD、CE是ABC的高，求证：ADEABC。解答：
8、题型探究三：相似三角形性质定理的应用例3：ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高AD=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形的边长。思路解析：利用相似三角形的性质定理找到所求正方形边长与已知条件的关系即可解得。解答：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P、N分别在AB、AC上，ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为xcm，PNBC，APNABC。解得x=4.8(cm).答：加工成的正方形零件的边长为4.8cm。题型探究四：直角三角形射影定理的应用例4：如图，在RtABC中，BAC=900，
9、ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，求证：AD3=BCBECF。思路解析：题目中有直角三角形和斜边上的高符合直角三角形射影定理的两个条件，选择合适的直角三角形是解决问题的关键。解答：ADBC，ADB=ADC=900，在RtADB中，DEAB，由射影定理得BD2=BEAB，同理CD2=CFAC，BD2CD2= BEABCFAC 又在RtABC中，ADBC，AD2=BDDC 由得AD4= BD2CD2 =BEABCFAC= BEABADBCAD3=BCBECF题型探究五：圆周角定理的应用例5：如图，已知是ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是的直径。求证：ACBC=AECD。解答：连接E
10、C，B=E。AE是的直径，ACE=900。CD是AB边上的高，CDB=900。在AEC与CBD中，E=B，ACE=CDB，AECCBD。，即ACBC=AECD。题型探究六：圆内接四边形及判定定理的应用例6：如图，已知AP是的切线，P为切点，AC是的割线，与交于B，C两点，圆心在PAC的内部，点M是BC的中点。（1）证明：A，P，M四点共圆；（2）求OAM+APM的大小。思路解析：要证A、P、M四点共圆，可考虑四边形APOM的对角互补；根据四点共圆，同弧所对的圆周角相等，进行等量代换，进而求出OAM+APM的大小。解答：（1）连接OP，OM，因为AP与相切于点P，所以OPAP，因为M是的弦BC的
11、中点，所以OMBC，于是OPA+OMA=1800。由圆心在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆。（2）由（1）得A，P，M四点共圆，所以OAM=OPM，由（1）得OPAP，由圆心在PAC的内部，可知OPM+APM=900，所以OPM+APM=900。题型探究七：圆的切线的性质及判定的应用例7：已知AB是的直径，BC是的切线，切点为B，OC平行于弦AD（如图）。求证：DC是的切线。解答：连接OD。OA=OD，1=2，ADOC，1=3，2=4，3=4。又OB=OD，OC=OC，OBCODC，OBC=ODC。BC是的切线，OBC=900，ODC=900，DC是的切线
12、。题型探究八：与圆有关的比例线段例8：如图所示，已知与相交于A、B两点，过点A作的切线交于点C，过点B作两圆的割线，分别交、于点D、E，DE与AC相交于点P。（1）求证：ADEC；（2）若AD是的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。解答：（1）连接AB，AC是的切线，BAC=D。又BAC=E，D=E，ADEC。（2）设BP=x,PE=y.PA=6，PC=2，由相交弦定理得PAPC=BPPE，xy=12 ADEC, 由可得，DE=9+x+y=16.AD是的切线，DE是的割线，AD2=DBDE=916，AD=12。三、方法提升1、知识重点是平行线等分线段定理、平行截割定理及其推论，是
13、研究相似形最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判断线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。在使用定理和推论的时候，应特别注意对应的问题。 这一部分常见的题型为利用比例计算线段的长度和利用平行关系证明比例式（或等积式），突破难点的关键在于抓住平行找比例，没有平行作平行，多个比例巧过渡，需要注意的是，在图形中添加平行线一般要遵循的以下原则：一是不能破坏给定的条件；二是作出的辅助线要能“一线两用”2、相似三角形的定义、判定和性质是初中已学的内容，但在初中平面几何中没有给出定理的证明，通过本讲知识的学习可以体会逻辑推理、几何证明的重要性，
14、在解题过程中应注意观察基本图形与定理间的关系，通过寻找基本图形把已知和未知联系起来，先明确需要证明哪两个三角形相似，再寻找三角形相似的条件，从而发现证题思路3、相交弦定理、切割线定理及它们的推论和前面的切线长定理一样，揭示了和圆有关的一些线段间的数量关系，这些定理的证明及应用又常常和相似三角形联系在一起，因此在解题中要善于观察图形，对复杂的图形进行分解，找出基本图形和结论，从而准确地解决问题.另外在和圆有关的比例线段的计算问题中，要注意方程的思想的运用.4、在与圆和圆的位置关系相关的一些问题中，常常需要探求线段相等或倍分或成比例、角相等或倍分，其实质与探求一个圆中的对应问题基本类似，只不过在两
15、个圆中，需要仔细观察图形，注意某些线段或角是两个圆的公共元素，解决问题时又常常通过这些公共元素将其他元素联系在一起.另外要注意分类讨论这一思想方法的应用.5、在解决与圆内接四边形有关的问题时，要注意观察图形，分清四边形的外角和内对角的位置，正确应用性质6、当两圆相交时，常常通过连结两圆的公共弦，构建出圆内接四边形，进一步解决问题四、反思感悟 五、高考真训练：1（几何证明选做题）如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BDcm.解析：,由直角三角形射影定理可得2（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，
16、若,则的值为 【答案】【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。因为A,B,C,D四点共圆，所以,因为为公共角，所以PBCPAB,所以.设OB=x，PC=y，则有，所以【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。3（13）已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为 【答案】本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。令y=0得t=-1，所以直线与x轴的交点为（-1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为4
17、（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（I）证明：（II）若的面积，求的大小。证明：（）由已知条件，可得因为是同弧上的圆周角，所以故ABEADC. 5分（）因为ABEADC，所以，即ABAC=ADAE.又S=ABACsin，且S=ADAE，故ABACsin= ADAE.则sin=1，又为三角形内角，所以=90. 10分5选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。解析 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证
18、明：连结OD，则：ODDC， 又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO， DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=300，DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）证明：连结OD、BD。因为AB是圆O的直径，所以ADB=900，AB=2 OB。因为DC 是圆O的切线，所以CDO=900。又因为DA=DC，所以DAC=DCA，于是ADBCDO，从而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。六、考点模拟演练一、填空题1如图所示，已知在ABC中，C90，正方形DEFC内接于ABC，DEAC，EFBC，AC1，BC2
19、，则AFFC等于_答案：解析：设正方形边长为x，则由AFEACB，可得，即，所以x，于是.2在RtABC中，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，设该图中共有x个三角形与ABC相似，则x_.答案：2解析：2个，ACD和CBD.3在ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且DEBC，ADE的面积是2 cm2，梯形DBCE的面积为6 cm2，则DEBC的值为_答案：12解析：ADEABC，利用面积比等于相似比的平方可得答案4、（惠州2011高三第三次调研考试文）如图，已知O的割线PAB交O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则O的半径为_.答案：设圆的半径为R,由得解
20、得R=2。5、（江门2011高三上期末调研测试理）如图4，点A，B，C是圆O上的点，且，则对应的劣弧长为 答案：6如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDAB，垂足为D，且AD5DB，设COD，则tan的值为_答案：解析：设BDk(k0)，因为AD5DB，所以AD5k，AOOB3k，所以OCOB3k，OD2k.由勾股定理得，CDk，所以tan.7如图，PC切O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CDAB于点E.已知O的半径为3，PA2，则PC_，OE_.答案：4解析：由切割线定理得：PC2PAPB2(62)16，所以PC4，连接OC，由题意可知，OCPC，又OP5，故在RtPCO中，cosCP
21、O，在RtPCE中，cosCPO，故EP，OEOPEP.8如图所示，已知圆O的直径AB，C为圆O上一点，且BC，过点B的圆O的切线交AC的延长线于点D，则DA_.答案：3解析：由题意知三角形ABC为直角三角形，由勾股定理，得AC2，又在直角三角形ABD中，ABD为直角，BC为斜边AD上的高，所以BC2ACCD，CD1，DAACCD3，故填3.ABCDO9、（2011丰台二模理10）如图所示，DB，DC是O的两条切线，A是圆上一点，已知D=46，则A= 答案：6710、（2011海淀二模理12）如图，已知的弦交半径于点，若，且为的中点，则的长为 .答案：11两个相似三角形的面积分别为9 cm2和
22、25 cm2，它们的周长相差6 cm，则较大的三角形的周长为_cm.解析：因为两个相似三角形面积分别为9 cm2和25 cm2，所以面积之比为925，相似比为35，则周长比为35，设小三角形周长为x cm，则大三角形周长为(x6)cm，所以x(x6)35，x9(cm)，x615(cm)答案：1512如图，在ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，SDOE9 cm2，SAOB_.答案：36 cm2解析：在ABCD中，ABDE，AOBEOD，()2，E是CD中点，DECDAB，2，224，SAOB4SDOE，而SDOE9 cm2，SAOB4936(cm2)13如图，D、E两点分别在AC、AB
23、上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件：_，使得ADEABC.答案：1B或(2C或)解析：AA，由两角对应相等，两三角形相似，可添加1B或2C，由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加.14如右图，AB为O的直径，弦AC4 cm，BC3 cm，CDAB于D，则CD的长为_cm.答案：解析：由AB为O的直径，可知ACB90，由勾股定理可得AB5，因SACBACBCABCD，故345CD，所以CD cm.15如图所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，则点A到直线l的距离AD为_答案：解析：连结CO，AB为直径，ACB90.即ABC为直角三角形，又AB
24、6，BC3，sinCAB.CAB30，AC3，AOOC.AOC为等腰三角形ACO30.又l为O的切线，OCl，即DCO90.DCA60.ADACsin60.16.如图，O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且COFPDF，若PBOA2，则PF_.答案：3解析：如图，因为COFPDF，所以，即DFCFOFFP.因为弦AB、CD相交于点F，所以由相交弦定理得：DFFCBFFA，由可得：BFFAOFFP，设BFx，则PF2x，OF2x，所以FA2(2x)4x.代入式，得：x(4x)(2x)(2x)，即4x24xx2，解得x1.故PFPBBF213.二、解答题17.如图，圆O的直径AB的延长线与
25、弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，DE交AB于点F，且AB2BP4.(1)求线段PF的长度；(2)若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度解：(1)连接OC，OD，OF.由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件可得CDEAOC，又CDEPPFD，AOCPOCP，从而PFDOCP，故PFDPCO，.由AB2BP4得，PA6，BP2，由割线定理知PCPDPAPB12，故PF3.(2)若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF2r1，故r1，所以OB是圆F的直径，又过P点的圆F的切线为PT，则PT2PBPO248，即PT2.18如右图，已知ABC中，ACB90，ACb，BCa，且ab，P、Q分别是边AB、BC上的动点，且点P不与点A、B重合，点Q不与B、C重合，当P是AB的中点时，若以点C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似，这时的Q点能有几个？分别求出相应的CQ的长解：(1)当PQBC时，PCQABC.ACB90，PAPB，CPPB，PCQB.又PQCACB90，PCQABC，CQCBa.(2)当CPQ90时，CPQBCA.PCQB，CPQACB90，CPQBCA，则.有，CQ.故Q点有两个，CQ的长度分别是a和.15