1、第45练分类讨论思想思想方法解读分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列an的前n项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基
2、本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获
3、取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.体验高考1.(2015山东)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A.B.0，1C.D.1，)答案C解析由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，a，a0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A.对任意的a，b，e1e2B.当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C.对任意的a，b，e1b时，e1e2；当ae2答案D解析由题意e1；双曲线C2的实半轴长为am，虚半轴长为bm，离心率e2.因为，且a0，b0，m0，ab，所以当ab时，0，即.又0，0，所以由不等式的性质依次可得22，1212，所以
4、，即e2e1；同理，当ab时，0，可推得e2b时，e1e2；当ae2.3.(2015天津)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解(1)由已知有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c，0)，则直线FM的方程为yk(xc).由已知，有222，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整
5、理得3x22cx5c20，解得xc，或xc.因为点M在第一象限，可得点M的坐标为.由|FM|.解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1).与椭圆方程联立，消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.当x(1，0)时，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.高考必会题型题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1设集合AxR|x24x
6、0，BxR|x22(a1)xa210，aR，若BA，求实数a的取值范围.解A0，4，BA，于是可分为以下几种情况.(1)当AB时，B0，4，由根与系数的关系，得解得a1.(2)当BA时，又可分为两种情况.当B时，即B0或B4，当x0时，有a1；当x4时，有a7或a1.又由4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0满足条件；当B时，4(a1)24(a21)0，解得a1.综合(1)(2)知，所求实数a的取值范围为a1或a1.点评对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，BA，包括B和B两种情况.解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论
7、时首先要考虑的因素.变式训练1已知数列an的前n项和Snpn1(p是常数)，则数列an是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案D解析Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，当p1且p0时，an是等比数列；当p1时，an是等差数列；当p0时，a11，an0(n2)，此时an既不是等差数列也不是等比数列.题型二分类讨论在含参函数中的应用例2已知函数f(x)x22ax1a在x0，1上有最大值2，求a的值.解函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.(1)当a1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.点评本题中函
8、数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a的值.变式训练2已知函数f(x)2exax2(xR，aR).(1)当a1时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)求x0时，若不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)2exx2，f(x)2ex1，f(1)2e1，即曲线yf(x)在x1处的切线的斜率k2e1，又f(1)2e3，所以所求的切线方程是y(2e1)x2.(2)易知f(x)2exa.若a0，则f(
9、x)0恒成立，f(x)在R上单调递增；若a0，则当x(，ln)时，f(x)0，f(x)单调递增.又f(0)0，所以若a0，则当x0，)时，f(x)f(0)0，符合题意.若a0，则当ln0，即00，即a2，则当x(0，ln)时，f(x)单调递减，f(x)f(0)0，不符合题意.综上，实数a的取值范围是(，2.题型三根据图形位置或形状分类讨论例3在约束条件下，当3s5时，z3x2y的最大值的变化范围是()A.6，15 B.7，15 C.6，8 D.7，8答案D解析由取点A(2，0)，B(4s，2s4)，C(0，s)，C(0，4).当3s4时，可行域是四边形OABC(含边界)，如图(1)所示，此时，
10、7zmax|PF2|，4，2，2.综上知，或2.高考题型精练1.若关于x的方程|ax1|2a (a0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A.(0，1)(1，) B.(0，1)C.(1，) D.答案D解析方程|ax1|2a (a0且a1)有两个实数根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点.当0a1时，如图(1)，02a1，即0a1时，如图(2)，而y2a1不符合要求.综上，0a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为()A.2B.3C.4D.6答案C解析当|PO|PF|时，点P在线段
11、OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|FP|的情形，点P不存在.事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|p，|FP|，若p，则有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，当x0时，不构成三角形.当x2p(p0)时，与点P在抛物线上矛盾.符合要求的点P一共有4个.4.函数f(x)的值域为_.答案(，2)解析当x1时，f(x)logx是单调递减的，此时，函数的值域为(，0；当x1时，f(x)2x是单调递增的，此时，函数的值域为(0，2).综上，f(x)的值域是(，2).5.已知集合Ax|1x5，Cx|axa3.若C
12、AC，则a的取值范围是_.答案(，1解析因为CAC，所以CA.当C时，满足CA，此时aa3，得a；当C时，要使CA，则解得a1.综上，a的取值范围是(，1.6.已知函数f(x)x2ax3a，若x2，2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围.解要使f(x)0恒成立，则函数在区间2，2上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a).(1)当4时，g(a)f(2)73a0，得a，故此时a不存在.(2)当2，2，即4a4时，g(a)f3a0，得6a2，又4a4，故4a2.(3)当2，即a4时，g(a)f(2)7a0，得a7，又a4，故7a4，综上得7a2.7.已知ax2(a1)x10，求不等式的解集.
13、解若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x)(x1)0.当a1时，1，(x)(x1)1时，1，解(x)(x1)0得x1；当0a1，解(x)(x1)0得1x.综上所述：当a0时，解集为x|x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x|1x1时，解集为x|x1.8.已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值.解(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a
14、3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.9.已知函数f(x)，其中a为常数，a2.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解(1)a1，f(x)，f(0)1，f(x)，f(0)0，则曲线在(
15、0，f(0)处的切线方程为y1.(2)f(x)x，f(x)0的根为0，2a，a2，2a0，当a2时，f(x)0，f(x)在(，)内递减，无极值；当a0，f(x)在(，0)，(2a，)内递减，在(0，2a)内递增；f(2a)(4a)ea2为f(x)的极大值，令u(a)(4a)ea2(a0，u(a)在a(，2)上递增，u(a)0)，当a0时，f(x)0时，由f(x)0得0xa，由f(x)a，f(x)递增区间为(0，a)，递减区间为(a，).(2)由(1)知：当a0时，f(x)在(0，)上为减函数，而f(1)0，f(x)0在区间x(0，)上不可能恒成立；当a0时，f(x)在(0，a)上递增，在(a，)上递减，f(x)maxf(a)alnaa1，令g(a)alnaa1，依题意有g(a)0，而g(a)lna，且a0，g(a)在(0，1)上递减，在(1，)上递增，g(a)ming(1)0，故a1.