1、23直线、平面垂直的判定及其性质23.1直线与平面垂直的判定目标 1.掌握直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能应用判定定理证明直线和平面垂直重点 直线与平面垂直的证明；直线与直线垂直的证明难点 对直线与平面垂直定义的理解；对直线与平面所成角定义的理解知识点一直线与平面垂直的定义填一填如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足答一答1如果直线l与平面内的无数条直线垂直，l与垂直吗？提示：不一定若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直
2、，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内2“任何直线”、“所有直线”、“无数条直线”表达的是同一意思吗？提示：“任何直线”与“所有直线”的意义相同，但与“无数条直线”不同，“无数条直线”仅是“任何直线”中的一部分3若l，a为平面内的任一条直线，则l与a是否垂直？提示：垂直，由直线和平面垂直的定义可知，直线和平面内的所有直线都垂直，这也是证明两条直线垂直的一种方法知识点二直线与平面垂直的判定定理填一填1文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直2图形语言：如图所示3符号语言：a，b，abP，la，lbl.答一答4如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么这条直线和
3、这个平面垂直吗？为什么？提示：无法判断这条直线和这个平面是否垂直因为当这两条直线相交时，由判定定理可知直线和平面垂直；而当这两条直线相互平行时，直线和平面不一定垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行，还可能与平面斜交5若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(C)A平面OABB平面OACC平面OBC D平面ABC知识点三直线与平面所成的角填一填1如图，一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足2过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影3平面的一条斜线和它在平面上的射影
4、所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角4一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0的角所以直线与平面所成角的范围是090.答一答6如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角为45.解析：BB1平面ABCD，B1AB是AB1与平面ABCD所成的角又B1AB45，所以AB1与平面ABCD所成的角为45.类型一直线与平面垂直的定义及判定定理 例1下列说法中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直，则l；如果直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果直线
5、l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直A0 B1 C2 D3解析由直线和平面垂直的定理知对；由直线与平面垂直的定义知，正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条直线垂直，故不对，正确答案D(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.变式训练1下列说法中，正确的是(C)A若直线l与平面内无数条直线垂直，则lB若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C若ab，a，l，则lbD若ab，b，则a类型二直线与平面垂直的证明
6、 例2如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PAAD.求证：(1)CDPD；(2)EF平面PCD.证明(1)因为PA底面ABCD，CD底面ABCD，所以CDPA.又在矩形ABCD中，CDAD，且ADPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.(2)如图，取PD的中点G，连接AG，FG，又因为F是PC的中点，所以GF綊CD，所以GF綊AE.所以四边形AEFG是平行四边形，所以AGEF.因为PAAD，G是PD的中点，所以AGPD，所以EFPD，因为CD平面PAD，AG平面PAD.所以CDAG.所以EFCD.因为PDCDD，所以EF平面P
7、CD.线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件.变式训练2如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABa，A1A2a，D为棱B1B的中点求证：A1D平面ADC.证明：由题意可知，A1A平面ABC，又AC平面ABC，A1AAC.又BAC90，ACAB.又ABA1AA，AC平面A1ABB1.A1D平面A1ABB1，ACA1D.D为B1B的中点，B1B2a，ABA1B1a，在A1DA中，A1Da，ADa，A1A2a，A1D2AD2A1A2.A1DA90，即A1DAD.而ACADA，
8、故有A1D平面ADC.类型三直线与平面所成的角 例3如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB4，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PDDB.(1)求证：CD平面PAB；(2)求直线PC与平面PAB所成的角解解法1：(1)证明：如图，连接CO，由3ADDB知，点D为AO的中点又因为AB为圆O的直径，所以ACCB.由ACBC知，CAB60，所以ACO为等边三角形故CDAO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD平面ABC，又CD平面ABC，所以PDCD，由PD平面PAB，AO平面PAB，且PDAOD，得CD平面PAB.(2)
9、由(1)知CPD是直线PC与平面PAB所成的角，又AOC是边长为2的正三角形，所以CD.在RtPCD中，PDDB3，CD，所以tanCPD，CPD30，即直线PC与平面PAB所成的角为30.解法2：(1)证明：因为AB为圆O的直径，所以ACCB.在RtABC中，由AB4,3ADDB，ACBC得：DB3，BC2，所以，则BDCBCA，所以BCABDC，即CDAO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD平面ABC.又CD平面ABC，所以PDCD.由PD平面PAB，AO平面PAB，且PDAOD，得CD平面PAB.(2)由(1)知CPD是直线PC与平面PAB所成的角在RtPCD中，PDBD3
10、，CD，所以tanCPD，CPD30，即直线PC与平面PAB所成的角为30.求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.变式训练3如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且ABBC2，CBD45.(1)求证：CD平面ABC；(2)求直线BD与平面ACD所成角的大小解：如图，(1)证明：因为BD是底面圆的直径，所以CDBC.又AB平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD
11、.因为ABBCB，所以CD平面ABC.(2)取AC的中点E，连接BE，DE，由(1)知BECD，又E是AC的中点，ABBC2，ABC90，所以BEAC，所以BE平面ACD，所以直线BD与平面ACD所成的角为BDE.而BE平面ACD，则BEED，即BED为直角三角形又ABBC2，CBD45，则BD2，BE，所以sinBDE，所以BDE30.1一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(B)A平行 B垂直C相交不垂直 D不确定解析：由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直2如图所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关
12、系是(C)A平行B垂直相交C垂直但不相交D相交但不垂直解析：连接AC，因为ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则BDMC.因为ACMCC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交3下列表述正确的个数为(A)若直线a平面，直线ab，则b；若直线a平面，b，且ab，则a；若直线a平行于平面内的两条直线，则a；若直线a垂直于平面内的两条直线，则a.A0 B1 C2 D3解析：中b与还可能平行、斜交或b在平面内；中a与还可能平行或斜交；中a还可能在平面内；由直线与平面垂直的判定定理知错4矩形ABCD中，A
13、B1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是30.解析：tanPCA，PCA30.5.如图所示，四边形ABCD是矩形，AP平面ABCD，PAD是等腰三角形，PAAD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN平面PCD.证明：取PD的中点E，连接AE、NE.N、E分别为PC、PD的中点，NE为PCD的中位线，NECD且NECD.又M为AB的中点，AMCD且AMCD，AMNE且AMNE，四边形AENM为平行四边形，AEMN.又PAD为等腰三角形，AEPD，MNPD.连接PM、MC，设ADa，AB2b，PM2a2b2，CM2a2b2，CMPM.N为PC的中点，MNPC.PCP
14、DP，MN平面PCD.本课须掌握的三大问题1直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：若ab，a，则b；若，a，则a.2线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90；(2)线面垂直，则线线垂直3求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)学习至此，请完成课时作业15正确找出直线与平面所成的角开讲啦 找斜线在平面内的射影时，不能只说斜线在平面内的射影是哪条线，还要进而证明其正确性，才能说明某个角就是斜线与平面所成的角典例如图
15、，已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值思路分析抓信息，找思路 解取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于点O，连接AO，B1C.由已知ABCDA1B1C1D1为正方体，又B1CBC1，B1CD1C1，BC1D1C1C1，BC1平面AC1，D1C1平面AC1，B1C平面AC1.E，F分别为A1B1，CD的中点，EFB1C.EF平面AC1，即EAO为所求线面角在RtEOA中，EOEFB1C，AE，sinEAO.直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.对应训练已知线段AB的长等于它在平面内射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为60.