1、2020-2021学年上海市闵行中学、文绮中学联考高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1复数z满足2z11+4i（i为虚数单位），则z 2已知P876，则m 3双曲线x2y21的渐近线方程为 4P，Q椭圆C：+1上的动点，则|PQ|的最大值为 5已知球的表面积为12，则该球的体积是 6在长方体ABCDA1B1C1D1中，若ABBC1，AA1，则异面直线AB与A1C所成角的大小为 7已知1、2、a、b的中位数为3，平均数为3.5，则ab 8高三某位同学参加物理、化学科目的等级考，已知这位同学在物理、化学科目考试中达A的概率分别为，这两门科
2、目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为 .（结果用最简分数表示）9已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q（2，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 10在（1+x）（2+x）（3+x）（n+x）（x0，nN*）的展开式中，xn1项的系数为Tn，则 11点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是 12已知集合Am|mx2y2，x、yZ），将A中的正整数从小到大排列为：a1，a2，a3，若an2021，则正整数n 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的
3、相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13设z是复数，则“z21”是“|z|1”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件14圆（x1）2+（y3）24截直线ax+y10所得的弦长为2，则a（）ABCD215连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，则向量（m，n）与向量（1，1）的夹角为锐角的概率是（）ABCD16若曲线f（x，y）0上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）Ax2+y10B|x|+10Cx2+y2x|x|10D3x2xy+10三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写岀必要的
4、步骤17已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为1（1）设圆锥的母线长为2，求圆锥的表面积和体积；（2）设PO3，OA、OB是底面半径，且AOB90，如图，求直线OP与平面PAB所成的角的大小18如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为2，E是线段AB的中点（1）证明：BD平面AA1C1C；（2）若P是线段BC上的动点，求点P到平面B1DE的距离的取值范围19已知（1+x）n展开式中的n+1项按x的升幂排列依次记为f1（x），f2（x），f3（x），fn（x），fn+1（x）（1）若f2（2）8，求n的值；（2）记ak2kfk（2）（k1，2，n+1），求和Sn+1a1+a2+an+a
5、n+120（16分）设复数zx+yi（x，yR）与复平面上点P（x，y）对应（1）若|z|2+2z3+4i，求复数z对应点P到坐标原点的距离；（2）设复数z满足条件|z+3|+（1）n|z3|3a+（1）na（其中nN*、常数a（，3），当n为奇数时，动点P（x，y）的轨迹为C1当n为偶数时，动点P（x，y）的轨迹为C2且两条曲线都经过点D（2，），求轨迹C1与C2的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x00）的最小距离不小，求实数x0的取值范围21（18分）设点F1，F2分别是椭圆C：1（t0）的左、右焦点，且|F1F2|4，点M，N是椭圆C上位于x轴
6、上方的两点，且向量与向量平行（1）求椭圆C的方程；（2）当0时，求F1NF2的面积；（3）当|时，求直线F2N的方程参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1复数z满足2z11+4i（i为虚数单位），则z1+2i解：因为2z11+4i，所以2z2+4i，即z1+2i故答案为：1+2i2已知P876，则m3解：因为P876，所以m3故答案为：33双曲线x2y21的渐近线方程为yx解：由双曲线1的渐近线方程为yx，则双曲线x2y21的渐近线方程为yx故答案为：yx4P，Q椭圆C：+1上的动点，则|PQ|的最大值为
7、4解：P，Q椭圆C：+1上的动点，则|PQ|的最大值为2a4故答案为：45已知球的表面积为12，则该球的体积是解：设球的半径为r，依题意：球的表面积s4r212，解得r该球的体积Vr34故答案为46在长方体ABCDA1B1C1D1中，若ABBC1，AA1，则异面直线AB与A1C所成角的大小为 60解：连接CB1，因为ABA1B1，所以CA1B1为异面直线AB与A1C所成角，因为ABBC1，AA1，所以B1C，A1B11，由长方体的几何特征可得A1B1面BCC1B1，所以A1B1C90，所以tanCA1B1，所以CA1B160故答案为：607已知1、2、a、b的中位数为3，平均数为3.5，则ab
8、28解：1、2、a、b的中位数为3，平均数为3.5，3且3.5，a4，b7，ab28故答案为：288高三某位同学参加物理、化学科目的等级考，已知这位同学在物理、化学科目考试中达A的概率分别为，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为 .（结果用最简分数表示）解：这位同学在物理、化学科目考试中达A的概率分别为，这两门科目考试成绩的结果互不影响，这位考生至少得1个A的对立事件是指这位同学在物理、化学科目考试中均没有达到A，则这位考生至少得1个A的概率P1（1）（1）故答案为：9已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q（2，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，
9、点P的坐标为 （1，2）解：由题意可得点Q在抛物线的内部，过Q向准线作垂线，垂足为N，交抛物线于P点，设抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x1，则|PQ|+|PF|PQ|+|PN|QN|，当且仅当P，Q，N三点共线时，取等号，即点P到点Q（2，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小，所以P的纵坐标为2，将y2代入抛物线的方程，可得44xP，所以P的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）10在（1+x）（2+x）（3+x）（n+x）（x0，nN*）的展开式中，xn1项的系数为Tn，则解：（1+x）（2+x）（3+x）（n+x）（x0，nN*）的展开式中，xn1项的系数为Tn，Tn1+2
10、+3+n，则 （+），故答案为：11点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是，0解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点A（1，0，0），C1 （0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0x1，0y1，z1；（1x，y，1），（x，1y，0），x（1x）y（1y）+0x2x+y2y+，由二次函数的性质可得，当xy时，取得最小值为；当x0或1，且y0或1时，取得最大值为0，则的取值范围是，0故答案为：，012已知集合Am|mx2y2，x、yZ），
11、将A中的正整数从小到大排列为：a1，a2，a3，若an2021，则正整数n1516解：mx2y2（x+y）（xy），当xy1时，m2y1表示奇数；当xy2时，m4y+4表示4的倍数，所以A中的整数从小到大排列为：1，3，4，5，7，8，9，11，12，13即数列an满足a3k4k（kN+），又20215054+1，所以n5053+11516故答案为：1516二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13设z是复数，则“z21”是“|z|1”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件解：设
12、zx+yi（x，yR），若z21时，则z2（x+yi）2x2y2+2xyi1，|z|1，充分性成立，若z+i，满足|z|1，但z2+i，必要性不成立，z21是|z|1的充分不必要条件，故选：A14圆（x1）2+（y3）24截直线ax+y10所得的弦长为2，则a（）ABCD2解：圆的方程可化为（x1）2+（y3）24，所以圆心坐标为（1，3），依题意可得22（2+d2由点到直线的距离公式得：d解得a故选：B15连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，则向量（m，n）与向量（1，1）的夹角为锐角的概率是（）ABCD解：连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，基本事件总数N6636向量（m，n）与向量（1，
13、1）的夹角为锐角，mn0，则向量（m，n）与向量（1，1）的夹角为锐角包含的基本事件（m，n）为：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共15个，则向量（m，n）与向量（1，1）的夹角为锐角的概率是P故选：B16若曲线f（x，y）0上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）Ax2+y10B|x|+10Cx2+y2x|x|10D3x2xy+10解：A：x2+y10，即y1x2，是抛物线，没有自公切线；B：对
14、于方程|x|+10，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故不存在C：x2+y2x|x|10，由两圆相交，可知公切线，满足题意，故有自公切线；D：3x2xy+10，即y3x+是勾号函数，没有自公切线故选：C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写岀必要的步骤17已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为1（1）设圆锥的母线长为2，求圆锥的表面积和体积；（2）设PO3，OA、OB是底面半径，且AOB90，如图，求直线OP与平面PAB所成的角的大小解：（1）设圆锥的母线长为l，底面半径为r，即l2，r1，则圆锥的表面积为Sr2+rl12+123，设圆锥的高为h，
15、则则圆锥的体积为故圆锥的表面积和体积分别为3和（2），因为AOB90，所以，所以PAB的面积为，设点O到平面PAB的距离为d，因为VPOABVOABP，所以，解得设直线OP与平面PAB所成角为，则18如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为2，E是线段AB的中点（1）证明：BD平面AA1C1C；（2）若P是线段BC上的动点，求点P到平面B1DE的距离的取值范围【解答】解（1）因为ABCD是正方形，所以BDAC，因为AA1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD，因为ACAA1A，AC，AA1平面AA1C1C，所以BD平面AA1C1C；（2）如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0
16、），E（2，1，0），B1（2，2，2），设P（a，2，0）（0a2），则（a，2，0），（2，1，0），（2，2，2），设平面B1DE的法向量为（x，y，z），由即，则令x1，则y2，z1，则（1，2，1）设点P与平面B1DE的距离为h，所以h（4a），所以点P与平面B1DE的距离的取值范围是，19已知（1+x）n展开式中的n+1项按x的升幂排列依次记为f1（x），f2（x），f3（x），fn（x），fn+1（x）（1）若f2（2）8，求n的值；（2）记ak2kfk（2）（k1，2，n+1），求和Sn+1a1+a2+an+an+1解：（1）由题意可得，（k1，2，n+1），所以f2（2），故
17、n8；（2）由题意可知，所以ak2kfk（2），（k1，2，n+1），所以Sn+1a1+a2+an+an+12（1+2）n23n20（16分）设复数zx+yi（x，yR）与复平面上点P（x，y）对应（1）若|z|2+2z3+4i，求复数z对应点P到坐标原点的距离；（2）设复数z满足条件|z+3|+（1）n|z3|3a+（1）na（其中nN*、常数a（，3），当n为奇数时，动点P（x，y）的轨迹为C1当n为偶数时，动点P（x，y）的轨迹为C2且两条曲线都经过点D（2，），求轨迹C1与C2的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x00）的最小距离不小，求实数x
18、0的取值范围解：（1）若|z|2+2z3+4i，且zx+yi（x，yR），所以（）2+2（x+yi）3+4i，所以（2x+x2+y2）+2yi3+4i，所以2x+x2+y23，且2y4，解得x1，y2，所以P（1，2），所以点P到坐标原点的距离（2）由（1）知zx+2i，当n为奇数时，|z+3|z3|2a，（其中nN*、常数a（，3），所以轨迹C2为双曲线，其方程为1（xa），当n为偶数时，|z+3|+|z3|4a，（其中nN*、常数a（，3），所以轨迹C2为椭圆，其方程为+1，所以，则，解得a23，所以轨迹C1和C2的方程分别为1（x0），+1（3）由（1）知轨迹C2的方程为+1设A（x，y
19、），则|AB|2（xx0）2+y2（xx0）2+3x2x22x0x+x02+3（xx0）2+3x02，x2，2，当0x02，即0x0时，|AB|min23x02，解得0x0，当x02即x0时，|AB|min|x02|，解得x0，综上，0x0或x0所以x0的取值范围为（0，+）21（18分）设点F1，F2分别是椭圆C：1（t0）的左、右焦点，且|F1F2|4，点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行（1）求椭圆C的方程；（2）当0时，求F1NF2的面积；（3）当|时，求直线F2N的方程解：（1）因为|F1F2|4，所以2c4，解得c2，由题意可知a22t2，b2t2，又a2b2+c
20、2，所以2t2t2+22，解得t24，所以椭圆的方程为+1（2）由（1）可知F1（2，0），F2（2，0），因为点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，设N（2cos，2sin），所以（2cos+2，2sin），（2cos2，2sin），因为0，所以（2cos+2）（2cos2）+4sin20，解得cos0，sin1，所以N（0，2），所以（2，2），所以k1，因为向量与向量平行，所以直线F1M的斜率为1，所以直线方程为yx2，联立，解得x0，y2（舍去），或x，y，所以M（，），所以|F1M|，点N到直线yx2的距离d2，所以F1MN的面积为|F1M|d2（3）因为向量与向量平行，所以，所以|，所以（1）|，即1，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以（x1+2）x22，y2y1，所以x2x1+2（+1），因为+1，所以x22+2y228，所以x1+2（+1）2+22y12122+8+4+4（+1）x18，所以（+1）x1（13）（+1），所以x13，所以y124，则|2（x1+2）2+y12（3+2）2+4，所以|，所以（1），所以32830，解得3或（舍去），所以x13，y124，所以y1，则M（，），所以k1，因为向量与向量平行，所以F2N所在直线的斜率为1，所以直线F2N的方程为y0（x2），即x+y20