1、专题3.17 导数的综合应用1已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是()A B C D答案C解析f(x)x36x29xabc，ab0，f(3)275427abcabc0，且f(0)abcf(3)0，所以f(0)f(1)0.2.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为()答案C解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合f(x)0的点可以排除B.3已知aln x对任意x，2恒成立，则a的最大值为()A0 B1C2 D3答案A解析设f(x)ln x，则f(x).
2、当x，1)时，f(x)0，故函数f(x)在(1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值为0.4已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(3)f(3)记A(2，f(2)、B(3，f(3)，作直线AB，则直线AB的斜率kf(3)f(2)，由函数图象，可知k1kk20，即f(2)f(3)f(2)f(3)0.故选B.5已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2)Bf(
3、x1)0，f(x2)0，f(x2)Df(x1)答案D解析f(x)ln x2ax1，f(x1)0，f(x2)0，则ax1，ax2，f(x1)x1(ln x1ax1)x1(ln x11)，f(x2)x2(ln x21)，yln x与y2ax1交于两点，0x11，ln x10，f(x1).6设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是()答案D解析设h(x)f(x)ex，则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex.x1为函数f(x)ex的一个极值点，ca0，ca.f(x)ax2bxa.若方程ax
4、2bxa0有两根x1，x2，则x1x21，D中图象一定不满足条件7已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_答案(，2ln 22解析函数f(x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根，即函数g(x)2xex，ya有交点，而g(x)2ex，易知函数g(x)2xex在(，ln 2)上递增，在(ln 2，)上递减，因而g(x)2xex的值域为(，2ln 22，所以要使函数g(x)2xex，ya有交点，只需a2ln 22即可8某名牌电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_答案40解析yx239x40，令y0.即x239x400，
5、解得x40或x1(舍)当x40时，y0，当0x40时，y0，所以当x40时，y最小9把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为_答案21解析设圆柱高为x，底面半径为r，则r，圆柱体积V2x(x312x236x)(0x0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大11(2013江苏)已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x
6、)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在x01，)，使得f(x0)0)，则t1，所以m对任意t1成立因为t11213，所以，当且仅当t2，即xln 2时等号成立因此实数m的取值范围是.(3)解令函数g(x)exa(x33x)，则g(x)ex3a(x21)当x1时，ex0，x210，又a0，故g(x)0.所以g(x)是1，)上的单调增函数，因此g(x)在1，)上的最小值是g(1)ee12a.由于存在x01，)，使a(x3x0)0成立，当且仅当最小值g(1)0.故ee12a.令函数h(x)x(e1)ln x1，则h(x)1.令h(x)0，得xe1.当x(0，e1
7、)时，h(x)0，故h(x)是(e1，)上的单调增函数，所以h(x)在(0，)上的最小值是h(e1)注意到h(1)h(e)0，所以当x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0；当x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以h(x)0对任意的x(1，e)成立当a(1，e)时，h(a)(e1)ln a，从而ea1h(e)0，即a1(e1)ln a，故ea1ae1.综上所述，当a时，ea1ae1.12(2013陕西)已知函数f(x)ex，xR.(1)若直线ykx1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；(2)设x0，讨论曲线yf(x)与曲线ymx2(m0)公共点的个数；(
8、3)设ab，比较与的大小，并说明理由解(1)f(x)的反函数为g(x)ln x.设直线ykx1与g(x)ln x的图象在P(x0，y0)处相切，则有y0kx01ln x0，kg(x0)，解得x0e2，k.(2)曲线yex与ymx2的公共点个数等于曲线y与ym的公共点个数令(x)，则(x)，(2)0.当x(0,2)时，(x)0，(x)在(2，)上单调递增，(x)在(0，)上的最小值为(2).当0m时，在区间(0,2)内存在x1，使得(x1)m，在(2，)内存在x2me2，使得(x2)m.由(x)的单调性知，曲线y与ym在(0，)上恰有两个公共点综上所述，当x0时，若0m，曲线yf(x)与ymx2有两个公共点(3)方法一可以证明.事实上，11(ba)(*)令(x)1(x0)，则(x)0(仅当x0时等号成立)，(x)在0，)上单调递增，x0时，(x)(0)0.令xba，即得(*)式，结论得证方法二(ba)eba(ba)2eba2，设函数u(x)xexx2ex2(x0)，则u(x)exxex12ex.令h(x)u(x)，则h(x)exexxex2exxex0(仅当x0时等号成立)，u(x)单调递增，当x0时，u(x)u(0)0，u(x)单调递增当x0时，u(x)u(0)0.令xba，则得(ba)eba(ba)2eba20，0，因此，.