1、22二项分布及其应用22.1条件概率目标 1.能通过具体实例理解条件概率的定义及计算公式.2.会利用条件概率，解决一些简单的实际问题重点 1.会用两种方法求条件概率.2.条件概率的简单应用难点 条件概率的概念与应用知识点条件概率填一填1条件概率一般地，设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率2条件概率的性质(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0P(B|A)1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)答一答1如何从集合角度理解条件概率
2、？提示：如图所示，事件的样本点已落在图形A中(事件A已发生)，问落在B(事件B)中的概率由于样本点已落在A中，且又要求落在B中，于是只能落在AB中，则其概率计算公式为P(B|A)(P(A)0)，类似地，P(A|B)(P(B)0)2P(B|A)与P(B)有什么区别？提示：若随机试验的样本空间为，那么讨论P(B|A)的样本空间是A，而P(B)的样本空间为(即找准样本空间是解决问题的关键)3P(B|A)与P(AB)有何区别？提示：P(B|A)的值是AB发生相对于事件A发生的概率的大小；而P(AB)是AB发生相对于原来的总空间而言1正确把握条件概率的特点(1)对“条件”的理解：每一个随机试验，都是在一
3、定条件下进行的，条件概率则是当试验结果的一部分信息已经知道，即在原随机试验的条件上又加上一定的条件(2)对公式的理解：如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)P(B|A)；已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A).2对条件概率性质的理解(1)前提条件：P(A)0.(2)P(BC|A)P(B|A)P(C|A)，必须B与C互斥，并且都是在同一个条件A下类型一利用公式P(B|A)求条件概率【例1】已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为()A75% B96%C7
4、2% D78.125%【解析】记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)1P()14%96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B.由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)P(B)由合格品中75%为一级品知P(B|A)75%；故P(B)P(AB)P(A)P(B|A)96%75%72%.【答案】C计算条件概率需要注意的问题(1)公式P(B|A)仅限于P(A)0的情况当P(A)0时，我们不定义条件概率(2)计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里刮风的概率为(C)
5、A. B.C. D.解析：设A下雨，B刮风，则P(B|A).类型二利用公式P(B|A)求条件概率【例2】一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，作不放回抽取设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)【分析】本题考查条件概率用公式P(B|A)解答【解】将产品编号为1,2,3号的看作一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品，则试验的基本事件空间为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2
6、)，(4,3)，基本事件A有9个基本事件，AB有6个基本事件P(B|A).本题的方法是解条件概率题的常用方法.特别是当基本事件空间容易列出时可用此方法.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第一次抽到A，第二次也抽到A的概率为.解析：A第一次抽到A，B第二次抽到A，AB两次都抽到AP(B|A).类型三条件概率的性质及应用【例3】外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒
7、子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球若第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率【分析】本题考查条件概率，先设出基本事件，求相应事件的概率，再将试验成功分解成两个互斥事件的和【解】设A从第一个盒子中取得标有字母A的球，B从第一个盒子中取得标有字母B的球，R第二次取出的球是红球，W第二次取出的球是白球易得P(A)，P(B)，P(R|A)，P(R|B)，事件“试验成功”表示为RARB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式，得P(RA)(RB)P(RA)P(RB)P(R|A)P(A)P(R|B)P(B)0.59.利用条件概率性质的解题策略(1)分析条
8、件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥则选择公式P(BC|A)P(B|A)P(C|A)(2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率一个袋中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为(C)A. B.C. D.解析：设事件A为“摸出第一个球为红球”，事件B为“摸出第二个球为黄球”，事件C为“摸出第二个球为黑球”方法1：P(A)，P(AB)，P(AC)，所以P(B|A)，P(
9、C|A).所以P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)，即所求概率为.方法2：n(A)1C9，n(BC)|A)CC5，所以P(BC)|A).误认为P(B|A)P(B)致误【例4】设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是多少？【错解】它能活到25岁的概率为0.4.【错因分析】出现错误的原因是误认为这种动物活到25岁的概率与20岁的这种动物活到25岁的概率相同【正解】设这种动物活到20岁的事件为A，活到25岁的事件为B，则P(A)0.8，P(B)0.4，由于ABB，所以P(AB)P(B)，所以活到20岁的这种动物活到2
10、5岁的概率为：P(B|A)0.5.设某产品一盒共10只，已知其中有3只次品，从中取两次，每次任取一只，做不放回抽样，求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率解：设事件A为“第一次抽得次品”，事件B为“第二次抽得次品”，则AB为“第一次和第二次都抽得次品”显然有P(A)，P(AB)，依条件概率公式得P(B|A).1下列说法正确的是(B)AP(B|A)P(AB)BP(B|A)是可能的CP(AB)P(A)P(B)DP(A|A)0解析：由P(B|A)，而P(AB)P(B)是可能的2抛掷红、黄两枚骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是(B)A. B.C. D.解析：记A：抛
11、掷两颗骰子，红色骰子点数为4或6，B：两颗骰子的点数积大于20.P(A)，P(AB)，P(B|A).3某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，则他在周六晚上值班所占的概率为.解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)，P(AB)，故P(B|A).4.如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)；(2)P(B|A).解析：该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为，圆的面积为，正方形面积为2，扇形面积为.故P(A)，P
12、(B|A).5某个兴趣小组有学生10人，其中有4人是三好学生现已把这10人分成两小组进行竞赛辅导，第一小组5人，其中三好学生2人(1)如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？(2)现在要在这10人中任选一名三好学生当组长，问这名同学在第一小组内的概率是多少？解：设A表示“在兴趣小组内任选一名同学，该同学在第一小组内”，B表示“在兴趣小组内任选一名同学，该同学是三好学生”，而第二问中所求概率为P(A|B)(1)由等可能事件概率的定义知，P(A).(2)P(B)，P(AB).P(A|B).学习至此，请完成课时作业1122.2事件的相互独立性目标 1
13、.理解相互独立事件的定义及意义.2.理解概率的乘法公式.3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题重点 1.概率的乘法公式及应用.2.互斥事件与相互独立事件的区别难点 1.相互独立事件的概念.2.概率知识的综合应用知识点事件的相互独立性填一填1相互独立事件的概率设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立2相互独立事件的性质(1)若事件A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)，P(AB)P(A)P(B)(2)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立答一答1互斥事件、对立事件、相互独立事件有什么区别？提示：对于事
14、件A、B，在一次试验中，A、B如果不能同时发生，则称A、B互斥一次试验中，如果A、B两个事件互斥且A、B中必然有一个发生，则称A、B对立，显然A为一个必然事件A、B互斥则不能同时发生，但可以同时不发生两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响2在什么条件下P(B|A)P(B)成立？提示：若事件A，B是相互独立事件，则有P(B|A)P(B)3若两事件相互独立是否就说明这两个事件间没有任何关系？提示：两事件A，B相互独立是指事件A是否发生与事件B是否发生没有关系，并不是说事件A，B间没有关系相反，若事件A，B相互独立，则常有事件A，B不互斥1相互独立事件课本中是由P(AB)
15、P(A)P(B)来判断事件A与事件B是相互独立事件，这种判断需求P(AB)，P(A)，P(B)，过程较繁琐，因此在实际问题中往往凭借经验或直观的方法，当事件A是否发生对事件B的发生没有影响，就可以说事件A与事件B是相互独立事件，当事件A与B相互独立时，A与，与B，与都互为相互独立事件2相互独立事件同时发生的概率当事件A、B为相互独立事件时，它们同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)显然，它们不同时发生的概率为1P(AB)1P(A)P(B)若事件A1，A2，An相互独立，则它们同时发生的概率P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)类型一判断事件的相互独立性【例1】掷一枚骰子一次，判断下
16、列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件A掷出偶数点，B掷出奇数点；A掷出偶数点，B掷出3点；A掷出偶数点，B掷出3的倍数点；A掷出偶数点，B掷出的点数小于4【分析】利用相互独立事件的定义即P(AB)P(A)P(B)可以判断两个事件是不是相互独立事件，但需要注意的是互斥事件与相互独立事件之间没有相互联系，也就是两个事件相互独立，则一定不能互斥；反之，若两个事件互斥(对立)，则不能相互独立【解】A，B不可能同时发生，A，B是互斥事件A，B不可能同时发生，A，B是互斥事件P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)P(A)P(B)，事件A，B为相互独立事件P(A)，P(B)，P(AB)，P(A
17、B)P(A)P(B)，A，B不是相互独立事件，又A，B可能同时发生，A，B不是互斥事件利用相互独立事件的定义即P(AB)P(A)P(B)可以判定两个事件是否为相互独立事件，这是用定量的方法进行分析的.但需要注意的是互斥事件与相互独立事件之间没有相互联系，也就是两个事件相互独立，则一定不能互斥(对立)；反之，若两个事件互斥(对立)，则不能相互独立.掷一颗骰子一次，设事件A出现偶数点，事件B出现3点或6点，则事件A，B的关系是(B)A互斥但不相互独立B相互独立但不互斥C互斥且相互独立D既不相互独立也不互斥解析：事件A2,4,6，事件B3,6，事件AB6，基本事件空间1,2,3,4,5,6，所以P(
18、A)，P(B)，P(AB)，即P(AB)P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件，故选B.类型二相互独立事件同时发生的概率【例2】根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率；(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中1种的概率【分析】分析清楚事件间的独立、互斥的关系，再由相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算【解】记A表示事件“购买甲种保险”，B表示
19、事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)0.5，P(B)0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则CAB.P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.60.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则DB.P(D)P(B)P()P(B)(10.5)0.60.3.(3)法1：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件P(E)P(BAAB)P(B)P(A)P(AB)0.50.60.50.40.50.60.8.法2：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不
20、购买”为对立事件P(E)1P()1(10.5)(10.6)0.8.相互独立事件的概率计算必须先根据题设条件，分析事件间的关系，将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积，或若干个乘积之和，然后利用公式计算.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)0.8，P(A2)0.7，P(A
21、3)0.6，A1，A2，A3相互独立(1)这名同学得300分的概率P1P(A1A3)P(A2A3)P(A1)P()P(A3)P()P(A2)P(A3)0.80.30.60.20.70.60.228.(2)这名同学至少得300分的概率P2P1P(A1A2A3)0.228P(A1)P(A2)P(A3)0.2280.80.70.60.564.类型三相互独立事件的应用【例3】甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人
22、考试合格的概率【分析】【解】设甲、乙两人考试合格分别为事件A、B.(1)P(A)，P(B).(2)解法1：由题意知事件，相互独立，所以P( )P()P()，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P1P( )1.解法2：“甲、乙两人至少有一人考试合格”为事件A，B，AB的和事件，且A，B，AB彼此互斥，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P(ABAB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P()P()P(B)P(A)P(B).故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.古典概型和相互独立事件是现实生活中最常见的随机现象，古典概型概率常用到排列、组合知识，互斥事件概率用加法，相互独立事件概率用乘法，对
23、立事件概率用减法.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy4的概率为(C)A.B.C. D.解析：满足xy4的所有可能如下：x1，y4；x2，y2；x4，y1.所以，所求事件的概率PP(x1，y4)P(x2，y2)P(x4，y1).相互独立事件的综合应用【例4】在一场娱乐晚会上， 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱， 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手， 其中观众甲是1号歌手的歌迷， 他必选1号， 不选2号， 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱
24、， 因此在1至5号中随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和， 求X的分布列. 【思路分析】甲选择3号和乙未选择3号是相互独立事件，先分别计算其概率，然后利用P(AB)P(A)P(B)可解答(1)；(2)分析X可能的取值，利用事件的独立性得到分布列【解】(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B).事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)P(A)P()P(A)1P(B)(或P(A)(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则
25、P(C).X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X0)P()，P(X1)P(A)P(B)P(C)，P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)，P(X3)P(ABC)，X的分布列为X0123P【解后反思】古典概型和相互独立事件是现实生活中最常见的随机现象，古典概型概率常用到排列、组合知识，互斥事件概率用加法，相互独立事件概率用乘法，对立事件概率用减法某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10分如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各
26、题回答正确与否相互之间没有影响若这位挑战者回答这三个问题总分不低于10分就算闯关成功(1)求至少回答对一个问题的概率(2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列(3)求这位挑战者闯关成功的概率解：(1)设至少回答对一个问题为事件A，则P(A)1.(2)这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40.根据题意，P(X10)，P(X0)2，P(X10)，P(X20)，P(X30)2，P(X40).随机变量X的分布列是：X10010203040P(3)设这位挑战者闯关成功为事件B，则P(B).1下面给出的事件A与事件B相互独立的是(B)A抛掷一枚骰子，事件A
27、：“出现1点”，事件B：“出现2点”B在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一球，观察颜色后放回袋中，事件A：“第一次取得绿球，”事件B：“第二次取得绿球”C在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中，从中不放回摸球，事件A：“第一次取得绿球，”事件B：“第二次取得绿球”D甲、乙两人向同一目标同时射击1次，事件A：“甲、乙中至少一人击中目标”，事件B：“甲、乙都没击中目标”解析：A为互斥事件，B为独立事件，C中第一次是否取得绿球，在不放回摸球时影响第二次取得绿球的概率，故不是独立事件，D为对立事件2甲、乙两个水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7，那么，在一
28、次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为(B)A0.7 B0.56C0.64 D0.8解析：所求为P(AB)0.80.70.56.3甲、乙两人各射击一次，两人射击互不影响，如两人击中目标的概率都为0.6，则恰有1人击中目标的概率为0.48.解析：恰有1人击中目标，可分为甲击中乙没击中和甲没击中乙击中两种情况，且它们之间互斥，所求概率P0.60.40.40.60.48.4有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按包装可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，则这一事件的概率是.解析：设“任取一书是文科书”为事件A，“任取一
29、书是精装书”为事件B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)据题意可知P(A)，P(B)，所以P(AB)P(A)P(B).5制造一种零件，甲机床的正品率为0.90，乙机床的正品率为0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件(1)两件都是正品的概率(2)两件都是次品的概率(3)恰有一件正品的概率解：记“从甲机床抽到正品”为事件A，“从乙机床抽到正品”为事件B，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C，由题意知A，B是相互独立事件(1)两件都为正品为事件AB，则P(AB)P(A)P(B)0.900.800.72.(2)两件都是次品为事件 ，则P( )P()P()0.100.200.02.(3)抽取的两件中恰有一件正品包含事件A与事件B，则P(C)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.900.200.100.800.26.