5.7 三角函数的应用(透课堂）-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第一册）.doc

1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)第五章 三角函数5.7三角函数的应用【知识导学】考点一：三角函数的应用1三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用2用函数模型解决实际问题的一般步骤收集数据画散点图选择函数模型求解函数模型检验考点二：函数yAsin(x)，A0，0中参数的物理意义【考题透析】透析题组一：三角函数在物理中的应用1（2020北京中国人民大学附属中学朝阳学校高一期末）音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短

2、、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移与时间的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为（ ）A200B400CD2（2020全国高一）如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是A该质点的振动周期为B该质点的振幅为C该质点在和时的振动速度最大D该质点在和时的加速度为3（2020全国高一）一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移与时间的函数关系式是，其中是重力加速度，当小球摆动的周期是时，线长等于 ABCD透析题组二：三角函数在生活中的应用4（2021辽宁辽河油田第一高级中学高一期

3、末）“牵星术”是古代的航海发明之一，在郑和航海图中都有记载如图所示，“牵星术”仪器主要是由牵星板（正方形木板），辅以一条细绳贯穿在木板的中心牵引组成要确定航船在海上的位置，观察员一手持一块竖直的牵星板，手臂向前伸直，另一手持着线端置于眼前，眼睛瞄准牵星板上下边缘，将下边缘与水平线取平，上边缘与北极星眼线重合，通过测出北极星眼线与水平线的夹角来确定航船在海上的位置（纬度）某航海观察员手持边长为20cm的牵星板，绳长70cm，观察北极星，眼线恰好通过牵星板上边缘，则航船所处的纬度位于区间（参考数据：，）（ ）ABCD5（2021全国高一）健康成年人的收缩压和舒张压一般为和心脏跳动时，血压在增加或减

4、小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响某同学测得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（ ）A收缩压为BC舒张压为D6（2021全国高一课时练习）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m每天潮涨潮落时，该港口水的深度关于时间的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ）ABCD透析题组三：几何中的三角函数模型7（2021重庆市永川北山

5、中学校高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在农政全书中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）A，B，C，D，8（2021四川乐山高一

6、期末）如图，在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆于点，过作轴于点.（1）若点的纵坐标为，求点的横坐标；（2）求的面积的最大值.9（2021河南许昌高一期末（理）如图，已知是半径，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记.（1）写出矩形的面积与角之间的函数关系式；（2）当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.【考点同练】一、单选题10（2021全国高一课时练习）某市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数（）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为，12月份的平均气温最低，为，

7、则该市8月份的平均气温为（ ）ABCD11（2021全国高一单元测试）某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（ ） （参考数据：）A50B38C27D1512（2021山西运城市新康国际实验学校高一开学考试）某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为（ ）A75米B85米C100米D110米13（2021湖北麻城市实验高级中学高一月考）一半径为的水轮

8、如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）A点第一次到达最高点需要B在水轮转动的一圈内，点距离水面的高度不低于共有的时间C点距离水面的距离（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为D当水轮转动时，点在水面下方，距离水面14（2021全国高一课时练习）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从(注：此时)开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐标与时间(秒)的函数关系式为（ ）ABCD15（2021浙江浙江高一期末）如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢

9、慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120，转盘直径为110设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t后距离地面的高度为H，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（ ）ABCD二、多选题16（2021江苏省外国语学校高一期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水

10、筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，）则以下说法正确的有（ ）ABCD盛水筒出水后到达最高点的最小时间为17（2021全国高一专题练习）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）A摩天轮离地面最近的距离为4米B若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则C若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30D，使得游客在该时刻距离地面的高度均

11、为90米18（2021全国高一专题练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ）ABC该

12、货船在2：00至4：00期间可以进港D该货船在13：00至17：00期间可以进港19（2021广东海丰高一月考）如图，正方形的长为，为边中点，射线绕点按逆时针方向从射线旋转至射线，在旋转的过程中，记为，射线扫过的正方形内部的区域（阴影部分）的面积为，则下列说法正确的是（ ）AB在上为减函数CD图象的对称轴是三、填空题20（2021全国高一单元测试）函数y3sin (x0)的初相为_21（2021安徽芜湖一中高一月考）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第

13、一排在同一水平面上，则旗杆的高度为_.22（2021上海高一课时练习）在公园中有一个做匀速旋转运动的摩天轮，已知小明从摩天轮的最低点进入吊篮，他离地高度与乘坐摩天轮的时间之间的关系为，则小明重新回到摩天轮的最低点所共时间最少是_min23（2021全国高一课前预习）一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，若离开平衡位置的位移s（）与时间t（s）的函数关系是，则小球开始摆动时，离开平衡位置_，小球离开平衡位置的最大距离是_，小球来回摆动一次需要_s.24（2021江苏省如皋中学高一月考）如图，某湖有一半径为100的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，

14、在其正东方向相距200的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足，.定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为_.四、解答题25（2021全国高一课时练习）用弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在上的图象，并回答下列问题（1）小球在开始振动时（即时）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多长时间小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复运动多少次？26（2021

15、山东枣庄高一期中）如图，某市政府计划在长为1km的道路AB一侧的一片区域内搭建一个传染病预防措施宣传区.该区域由直角三角形区域ABC（为直角）和以BC为直径的半圆形区域拼接而成.点P为半圆弧上的一点（异于BC），.设.（1）为了让更多的市民看到宣传内容，达到最佳宣传效果，需满足，且达到最大值.求为何值时，最大，最大值为多少？（2）为了让宣传栏达到最佳稳定性，更加耐用，需满足，且达到最大值.问当为何值时，取得最大值.10原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案精讲】1D【分析】根据函数图像，确定函数周期，从而可得的值.【详解】由图像可得，即，则.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的应

16、用，考查正弦型函数的周期性，属于基础题型.2D【分析】由简谐运动得出周期和振幅，质点位移为零时，速度最大，加速度最小；位移最大时，速度最小，加速度最大.振动图象上某点的切线斜率的正负代表速度的方向，根据以上知识可判断出各选项命题的正误.【详解】对于A、B选项，由图可得知振幅为，周期为，A、B选项错误；对于C选项，质点在和时刻，质点的位移为最大值，可知速度为零，C选项错误；对于D选项，质点在和时刻，质点的位移为，则质点受到的回复力为，所以加速度为，D选项正确.故选D.【点睛】本题考查简谐运动图象，由简谐运动的图象可直接读出质点的振幅、周期、位移等，同时，要明确加速度方向总是与位移方向相反，大小与

17、位移成正比.3D【分析】根据函数的解析式，求得函数的最小值正周期，即可求解【详解】由题意，可知函数的关系式是，所以函数的最小正周期为，所以线长为，故选D【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，合理利用三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，使用基础题4C【分析】先由题中数据计算眼睛距离牵星板的距离，记北极星眼线与水平线的夹角为，由题中数据求出，进而可得出结果.【详解】由题意可得，眼睛距离牵星板的距离为，记北极星眼线与水平线的夹角为，则，又，所以，故选：C.5B【分析】通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压， 通过图象求出，利用周期

18、公式求出得解【详解】由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为，舒张压为，所以选项AC正确； 周期，知，所以选项B错误； 由题得，所以所以选项D正确.故选：B【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，常用待定系数法，一般根据函数的最值求出的值，根据周期求出的值，根据特殊点求出的值.6A【分析】由低潮时和高潮时的水深，列方程组可得的值，利用相邻两次高潮时间得出周期，求得，再由，求出，可得函数的解析式【详解】依题意，解得，又，又（3），故选：A7A【分析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.【详解】，所以对应的角是，由在内转过的角为，可知以为始

19、边，以为终边的角为，则点的纵坐标为，所以点距水面的高度表示为的函数是.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.8（1）；（2）.【分析】（1）根据题意，可先找出点和点坐标与的关系并表示出来，再结合题意判断出大小，即可写出点的横坐标；（2）由题意以及（1）中点的坐标写出关于的函数关系式，再结合范围即可求出的最大值.【详解】解：（1）由定义得：，依题意可知，因为，所以，所以点的横坐标为.（2）因为，所以.又，所以，所以当，则时，取得最大值，所以的最大值为.9（1），；（2）当时，.【分析】（1）由题意可得，而，再由、二倍角正

20、余弦公式及和角正弦公式，即可求面积与角之间的函数关系式，并确定的范围.（2）由（1）知，根据正弦函数的性质可知，进而可求最大时的值，并写出最大面积.【详解】（1）由题意知：，.（2）由（1）知：，故当时，.10A【分析】根据已知条件列方程可求得和的值，可得函数解析式，将代入即可求解.【详解】由题意可得： 即，解得：，所以，所以该市8月份的平均气温为，故选：A.11C【分析】作出简图，求出3分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度.【详解】设走了3分钟到达（如图所示），走过的圆心角为，因为 ，所以，所以所以，所以建筑物的高度：故选：C12B【分析】设他与地面的高

21、度与时间的关系为，由已知求得解析式，然后计算即可得【详解】设他与地面的高度与时间的关系为，由题意可知，即，又，即，故，(7)故选：B13D【分析】根据所给条件求出点距离水面的高度与时间的函数关系式，再逐项进行计算并判断作答.【详解】显然点距离水面的高度(米)与(秒)的关系成周期性，符合正弦型函数关系，设其解析式为，依题意，由，解得，即，当时，得，于是得所求的函数关系式是，所以点距离水面的距离(单位：)与时间(单位：)的函数解析式为，C错误；由得：，即，解得，点第一次到达最高点要时间，A错误；由，即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米，B错误；时，D正确.故选：D1

22、4C【分析】由已知条件可知初始相位为，且每秒旋转角度为，即可写出纵坐标与时间(秒)的函数关系式.【详解】秒针每秒转动，而初始相位为且初始位置为，且秒针从(此时)开始沿顺时针方向走动，.故选：C15B【分析】先判断游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10，结合摩天轮最高点距离地面高度为120，可得时，再利用排除法可得答案.【详解】因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20，所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10，又因为摩天轮最高点距离地面高度为120，所以时，对于A，时，不合题意；对于B，时，符合题意；对于C，时，不合题意；对于D，时，不合

23、题意；故选：B.【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型： (1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.16ABD【分析】由已知可得的值，得到函数解析式，取求得t的值，从而得解【详解】解：筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，则，故B正确；振幅A为筒车的半径，即，故A正确；由题意，t=0时，d=0，即 ，故C错误；，由d=

24、6，得，得当k=0时，t取最小值为，故D正确故选：ABD17BC【分析】易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断C；求出在上的单调性，结合当时，即可判断D.【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；分钟后，转过的角度为，则，B正确；周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，则，又高度相等，则关于对称，则，则；令，解得，令，解得，则在上单调递增，在上单调递减，当时，当时，所以在只有一个解；故选:BC.【点睛】关键点睛:本题的关键是求出关于的表达式，结合三角函数的性质进行判断.

25、18BCD【分析】依据题中所给表格，写出的表达式而判断选项A，B；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C，D.【详解】依据表格中数据知，可设函数为，由已知数据求得，周期，所以所以有，选项A错误；选项B正确；由于船进港水深至少要6.25，所以，得，又，则有或，从而有或，选项C，D都正确.故选：BCD【点睛】解三角不等式关键在于：找准不等式中的函数值m所对角；长为一个周期的区间内相位所在范围.19AC【分析】求出当时，函数的解析式，可判断A选项的正误；利用的单调性可判断B选项的正误；利用对称性可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，当时，设交于点，所以，A

26、选项正确；对于B选项，当时，射线扫过的正方形内部的区域（阴影部分）的面积显然逐渐增加，即函数在上单调递增，B选项错误；对于C选项，取的中点，连接，设射线与正方形的边的交点为，作点关于直线的对称点，则，所以，将射线绕点按顺时针方向旋转扫过正方形的面积为，由对称性可知，因为，即，C选项正确；对于D选项，由C选项可知，则，所以，所以，函数的图象不关于直线对称，D选项错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题考查函数基本性质的判断问题，在判断函数的单调性时，需要充分利用的几何意义，结合面积的对称性来求解，另外在判断某些结论不成立时，可充分利用特殊值来进行否定.20【分析】根据诱导公式化为标准正弦型函数

27、即可求解.【详解】因为y3sin (x0)所以由诱导公式可知y3sin3sin，当时，故所求的初相为.故答案为：2115米【分析】先画出示意图，根据题意可求得，则可求，利用正弦定理可得，再在中利用即得.【详解】如图所示，由题得，由正弦定理可知，米，在中，米，即旗杆的高度为15米. 故答案为：15米.228【分析】根据函数是一个周期函数，周期为8，得到回到摩天轮的最低点所花时间最少一个周期，即可求解.【详解】由题意，函数是一个周期函数，且周期为,所以小明重新回到摩天轮的最低点所共时间最少一个周期，即.故答案为：.233 6 1 【分析】求出时值，求出振幅，求出周期即可得出.【详解】当时，所以小球

28、开始摆动时，离开平衡位置3cm，由解析式可得振幅为6，即小球离开平衡位置的最大距离是6cm，小球来回摆动一次需要.故答案为：3；6；1.24【分析】先用表示，再用表示出，最后运用两角和差的正余弦公式求最值即可.【详解】在中，即，令，则直接监测覆盖区域”面积的最大值为.故答案为：【点睛】思路点睛：本题利用余弦定理、三角形面积公式、求的最值.25（1）小球在开始振动时在距离平衡位置厘米处（2）都是2厘米（3）秒（4）【分析】（1）作出函数图象，代入函数式计算可得；（2）由图象可得最高点和最低点对应的值；（3）由图象可得一个周期的时间；（4）用1除以周期可得（1）函数在上的图象如图当时，（厘米），即小球在开始振动时在距离平衡位置厘米处（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2厘米（3）小球往复运动一次就是一个周期，易知秒，即经过秒往复运动一次（4）每秒钟往复运动的次数26（1）时，的最大值为；（2）.【分析】（1）由题意得，则，再结合平方关系及二次函数的最值即可出答案；（2）在直角ABC中，由，得，在直角PBC中，再利用三角恒等变换结合正弦函数的性质即可得出答案.【详解】解：（1）由题意得，千米，则在直角ABC中，在直角PBC中，所以当，即时，的最大值为；（2）在直角ABC中，由，解得，在直角PBC中，所以，故，所以当时，达到最大值.27原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！