1、第 3 课时 两角和与差的正切公式1能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式2能灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用两角和与差的正切公式公式简记符号使用条件tan()tantan1tantanT()，k2(kZ)tan()tantan1tantanT()，k2(kZ)温馨提示：在应用两角和与差的正切公式时，只要 tan，tan，tan()(或 tan()中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题如化简tan2，因为 tan2的值不存在，所以不能利用公式 T()进行化简，应改用诱导公
2、式来化简，即 tan2 sin2cos2cossin.判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)tantan，tantan，tan()三者知二可表示或求出第三个()(2)tan23 能根据公式 tan()直接展开()(3)存在，R，使 tan()tantan 成立()答案(1)(2)(3)题型一 正切公式的正用 【典例 1】(1)求值：tan(75)；(2)已知 cos45，(0，)，tan()12，求 tan.思路导引(1)754530，利用两角和的正切公式求解；(2)由已知可求得 sin 的值，则可求得 tan，因为()，所以tantan()，再利用两角差的正切公式求解解(1)tan75
3、tan(4530)tan45tan301tan45tan301 331 333 33 3126 362 3，tan(75)tan752 3.(2)cos450，(0，)，sin0.sin 1cos2145235，tansincos354534.tantan()tantan1tantan341213412 211.变式 本例(2)中，其他条件不变，求 tan(2)解 tan(2)tan()tantan1tantan3412134122.(1)利用公式 T()求角的步骤：计算待求角的正切值缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息根据角的范围及三角函数值确定角(2)注意用已知角来表示未知角针对训练1已知
4、 tan2，tan13，其中 02，2.求：(1)tan()；(2)的值解(1)因为 tan2，tan13，所以 tan()tantan1tantan2131237.(2)因为 tan()tantan1tantan2131231，又因为 02，2，所以232，所以 54.题型二正切公式的逆用【典例 2】求值：(1)tan74tan761tan74tan76；(2)3tan151 3tan15.思路导引(1)逆用两角和的正切公式；(2)将 3换成 tan60，再逆用两角差的正切公式解(1)原式tan(7476)tan150 33.(2)原式 tan60tan151tan60tan15tan(60
5、15)tan451.化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”、“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1tan4”，“3tan3”，这样可以构造出公式的形式，从而可以进行化简和求值针对训练2求值：(1)cos75sin75cos75sin75；(2)1tan27tan33tan27tan33.解(1)原式1tan751tan75 tan45tan751tan45tan75tan(4575)tan(30)tan30 33.(2)原式1tan27331tan60 33.题型三正切公式的变形应用【典例 3】(1)化简：tan23tan
6、37 3tan23tan37；(2)若锐角，满足(1 3tan)(1 3tan)4，求 的值思路导引(1)利用 233760及两角和的正切公式将tan(2337)展开变形即可求解；(2)将所给关系式的左边展开，逆用两角和的正切公式求出 tan()解(1)解法一：tan23tan37 3tan23tan37tan(2337)(1tan23tan37)3tan23tan37tan60(1tan23tan37)3tan23tan37 3.解法二：tan(2337)tan23tan371tan23tan37，3 tan23tan371tan23tan37，3 3tan23tan37tan23tan37
7、，tan23tan37 3tan23tan37 3.(2)(1 3tan)(1 3tan)1 3(tantan)3tantan4，tantan 3(1tantan)，tan()tantan1tantan 3.又，均为锐角，0180，60.T()可变形为如下形式：tantantan()(1tantan)或1tantantantantan.当 为特殊角时，常考虑使用变形，遇到 1 与切的乘积的和(或差)时常用变形.针对训练3在ABC 中，tanAtanB 3 3tanAtanB，则 C 等于()A.3B.23C.6D.4解析 因为 tan(AB)tanAtanB1tanAtanB，故 tan(AB
8、)3 tanAtanB1tanAtanB 3tanAtanB 3 3tanAtanB1tanAtanB；根据题意可知，tanAtanB 3 3tanAtanB0，故 tan(AB)30，因为 CAB，故 tan(AB)tanC，所以 tanC 3，因为在三角形中 0C，故 C3.故选 A.答案 A课堂归纳小结1.公式 T()的适用范围由正切函数的定义可知、(或)的终边不能落在 y轴上，即不为 k2(kZ)2公式 T()的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如 tan41，tan6 33，tan3 3等.要特别注意 tan4 1tan1tan，tan4 1tan1tan.3公式 T
9、()的变形应用只要见到 tantan，tantan 时，要有灵活应用公式 T()的意识，就不难想到解题思路.1若 tan3，tan43，则 tan()等于()A.13B13C3 D3解析 tan()tantan1tantan13.答案 A2已知 2，sin35，则 tan4()A.17B7C17D7解析 sin35cos45tan34.tan4 tantan41tantan4341134117.答案 A3.1tan151tan15_.解析 1tan151tan15 tan45tan151tan45tan15tan60 3.答案 34tan19tan26tan19tan26_.解析 tan45t
10、an(1926)tan19tan261tan19tan261.所以 tan19tan261tan19tan26，则 tan19tan26tan19tan261tan19tan26tan19tan261.答案 15若sincossincos3，tan()2，则 tan(2)_.解析 sincossincostan1tan13，tan2.又 tan()2，tan(2)tan()tan()tantan1tantan43.答案 43课后作业(五十)复习巩固一、选择题1设 sin352，tan()12，则 tan()的值为()A27B25C 211D112解析 sin352，tan34.tan()12，
11、tan12.tan()tantan1tantan 211.答案 C2.tan10tan50tan120tan10tan50的值等于()A1 B1 C.3D 3解析 因为 tan60tan(1050)tan10tan501tan10tan50，所以 tan10tan50tan60tan60tan10tan50.所以原式tan60tan60tan10tan50tan120tan10tan50 3.答案 D3已知 tan()35，tan4 14，那么 tan4 等于()A.1318B.1323C.723D.16解析 tan4 tan4351413514 723.答案 C4若 34，则(1tan)(1
12、tan)的值为()A.12B1 C.32D2解析 tantantan()(1tantan)tan34(1tantan)tantan1，(1tan)(1tan)1tantan(tantan)2.答案 D5已知 tan，tan 是方程 x23 3x40 的两根，且22，22，则 的值为()A.3B23C.3或23D3或23解析 由一元二次方程根与系数的关系得 tantan3 3，tantan4，tan0，tan0.tan()tantan1tantan3 314 3.又22，22，且 tan0，tan0，0，23.答案 B二、填空题6.1tan12tan72tan12tan72 _.解析 1tan1
13、2tan72tan12tan72 1tan7212 33.答案 337tan70tan50 3tan50tan70_.解析 tan70tan50tan120(1tan50tan70)33tan50tan70，原式 3 3tan50tan70 3tan50tan70 3.答案 38.如下图，在ABC 中，ADBC，D 为垂足，AD 在ABC 的外部，且 BDCDAD236，则 tanBAC_.解析 不妨设 BD2，CD3，AD6，则 tanABD3，tan ACD 2，又 BAC ABD ACD，tan BAC tanABDtanACD1tanABDtanACD 3213217.答案 17三、解
14、答题9已知 tan12 2，tan3 2 2，求：(1)tan4 的值；(2)tan()的值解(1)tan4 tan 12 3tan 12 tan31tan 12 tan322 21 22 2 2.(2)tan()tan4 4tan4 tan41tan4 tan4 211 212 23.10已知 tan()12，tan17，(0，)，求 2 的值解 tantan()tantan1tantan13，又(0，)，所以 0，4.tan(2)tan()tantan1tantan1312113121，而 tan17，(0，)，所以 2，所以 2(，0)，234.综合运用11已知 tan 和 tan4 是
15、方程 ax2bxc0 的两根，则 a，b，c 的关系是()AbacB2bacCcabDcab解析 由根与系数的关系得：tantan4 ba，tantan4 ca.tan4 tantan41tantan4ba1ca1，得 cab.答案 C12(1tan1)(1tan2)(1tan44)(1tan45)的值为()A222B223C224D225 解 析 (1 tan1)(1 tan44)1 tan1 tan44 tan1tan441tan(144)(1tan1tan44)tan1tan4411tan1tan44tan1tan442，同理(1tan2)(1tan43)(1tan3)(1tan42)(
16、1tan22)(1tan23)2又 1tan452原式223.故选 B.答案 B13已知 为锐角，且 tan()3，tan()2，则 等于_解析 因为 tan2tan()()tantan1tantan 321321.又因为 为锐角，2(0，)所以 234，38.答案 3814如果 tan，tan 是方程 x23x30 的两根，则sincos_.解析 sincossincoscossincoscossinsin tantan1tantan31332.答案 3215.如下图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 210，2 55.(1)求 tan()的值；(2)求 2 的值解 由条件得 cos 210，cos2 55.，为锐角，sin 1cos27 210，sin 1cos2 55.因此 tansincos7，tansincos12.(1)tan()tantan1tantan71217123.(2)tan2tan()2tan1tan2212112243，tan(2)tantan21tantan274317431，又，为锐角，0232，234.
