1、上海市重点中学重要考题精选及精解（1）1、（14分）已知集合，若，求实数的取值范围。解：，若，则，得2、（16分）已知关于的不等式，其中。试求不等式的解集；对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）。试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由。解：（1）当时，；当且时，；当时，；（不单独分析时的情况不扣分）当时，。（10分）（2） 由（1）知：当时，集合中的元素的个数无限；当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集。（12分）因为，当且仅当时取等号，所以当时，集合的元素个数最少。（14分）此时，故集合。（16分）3、（18分）
2、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。 对任意的，总有； 当时，总有成立。已知函数与是定义在上的函数。（1）试问函数是否为函数？并说明理由；（2）若函数是函数，求实数的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数情况。解：（1） 当时，总有，满足， 1分当时，满足 4分（2）若时，不满足，所以不是函数；5分若时，在上是增函数，则，满足 6分由 ，得，即， 分因为 所以 与不同时等于1 9分当时， ，11分 综合上述：12分（3）根据（）知：a=1，方程为， 由得 4分令，则 6分由图形可知：当时，有一解；当时，方程无解。 18分4（本题12分）已知方程的两根为，若，求实数的值。解
3、：当 当 综上所述，（另解：由韦达定理也可）5（本题14分）设函数的定义域为，若命题与命题有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围。解：设由题意得：当，则有；当，则有；若真假，则； 若假真，则；故：6（本题16分）（第（1）小题7分，第（2）小题9分）已知函数其中（1） 证明函数f(x)的图像在y轴的一侧；（2） 求函数与的图像的公共点的坐标。解：(1)因为函数的定义域解不等式的解集，当时，不等式等价于；当时，不等式等价于。所以函数的定义域是或，所以图像总在y轴的一侧；（2）由得，即，所以，消去y，得，解得，解得函数与的图像的公共点的坐标是。7. (本题18分) （第（1）小题6分，第（2）小题
4、6分，第（3）小题6分）已知当点在的图像上运动时，点函数的图像上运动。（1）求的表达式；（1） 若集合关于的方程有实根，求集合A；（3）设函数的定义域为值域为，求实数的值。解：（1）据题设，得且 得 （0）（，）（2）据题设，得：方程有实根 即： （）有实根 （3）据题设，有 （）和分别是上的减函数在上是减函数 区间上的值域为 8. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题.阅读题目：对于任意实数，证明不等式.证明：构造函数.注意到，所以，即.（其中等号成立当且仅当，即.）问题：（1）请用这个不等式证明
5、：对任意正实数，不等式成立.（2）用（1）中的不等式求函数的最小值，并指出此时的值.（3）根据阅读题目的证明，将不等式进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明.证明（1）因为都是正实数，由已知不等式得，2分所以不等式成立.（其中等号成立当且仅当，即.）4分解（2）因为，所以7分（其中等号成立当且仅当即.所以函数有最小值25，此时.10分解（4）可将不等式推广到元的情形，即对于任意实数，不等式成立.13分证明如下：设.注意到，所以，即.15分其中等号成立当且仅当，即.16分9. （本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分 已知函数. （1
6、）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.解 （1）当时，；当时，. 2分 由条件可知 ，即 ，解得 . 6分，. 8分 （2）当时，10分即 .， . 13分， 故的取值范围是. 16分10. （本题满分18分）本题共有4个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第1小题满分5分，第2小题满分5分设函数是定义在上的偶函数.若当时，（1）求在上的解析式.（2）请你作出函数的大致图像.（3）当时，若，求的取值范围.（4）若关于的方程有7个不同实数解，求满足的条件.解（1）当时，. 4分（2）的大致图像如下：. 8分（3）因为，所以，11分解得的取值范围是.13分（4）由（2），对于方
7、程，当时，方程有3个根；当时，方程有4个根，当时，方程有2个根；当时，方程无解.15分所以，要使关于的方程有7个不同实数解，关于的方程有一个在区间的正实数根和一个等于零的根。所以，即.18分11（本题满分18分，第（1）题5分，第（2）题5分，第（3）题8分）已知函数。 （1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围； （2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）对于函数若存在区间，使时，函数的值域也是，则称是上的闭函数。若函数是某区间上的闭函数，试探求应满足的条件。12（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题4分，第3小题8分，满分16分）解：（1） 当时，设且，由是上的增函
8、数，则2分3分由，知，所以，即5分 （2）当时，在上恒成立，即6分因为，当即时取等号，8分，所以在上的最小值为。则10分 （3）因为的定义域是，设是区间上的闭函数，则且11分若当时，是上的增函数，则，所以方程在上有两不等实根，即在上有两不等实根，所以，即且13分当时，在上递减，则，即，所以14分若当时，是上的减函数，所以，即，所以15分13、（12分）已知关于的不等式： （1）当时，求该不等式的解集； （2）当时，求该不等式的解集. 解：原不等式化为： （1）当a=1时，该不等式的解集为（1，2）；-4分 （2）当a0时，原不等式化为：. 当0a2时，解集为（，1）. -4分14、（14分）设
9、，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正实数，使函数的定义域和值域相同。解：（1）若，则对于每个正数，的定义域和值域都是故满足条件 - 4分（2）若，则对于正数，的定义域为， 但的值域，故，即不合条件； -4分（3）若，则对正数，定义域 ，的值域为，则 -5分综上所述：的值为0或 -1分15（本题满分12分）已知a、b是两个互不相等的正实数，比较A=与B=的大小。解：a、b是两个互不相等的正实数可得. 4 . 4所以AB 。 . 416（本题满分12分）已知关于的不等式的解集为。 （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围。解：（1）时，不等式为，解之，得. 4 （2）时， . 5 时，
10、不等式为， 解之，得 ，则 ， 满足条件.2综上，得 。.1 17（本题满分16分）函数 求证：的图像关于直线y=x对称； 函数的图像与函数的图像有且只有一个交点，求实数的值； 是否存在圆心在原点的圆与函数的图象有且只有三个交点，如果存在，则求出此圆的半径；如果不存在，请说明理由。解： 解一：由可知函数图像即为反比例函数的图像经向右平移1个单位后再向上平移1个单位得到。则函数图像关于直线y=x对称.4解二：函数的反函数，所以的图像关于直线y=x对称.4 由题意得有且只有一解。时，由判别式等于0可得3时，由图像易得同样满足题意.2所以或.1 解一：由函数图像可得若存在满足题意的圆，则圆与函数的图
11、像必在第一象限相切，即圆过（2，2）点，可得圆半径为，所以存在满足题意的圆，其半径为.4r =代回检验得满足题目要求，所以存在满足题意的圆，其半径为 .2解二：由与圆的对称性可得交点必关于直线y=x对称 .2如果有且仅有三个交点，则必有一个交点在直线y=x上，即这个交点就是函数y=与直线y=x的交点 .2求得交点有两个（0，0）、（2，2），其中（0，0）不满足题意，而过（2，2）时圆的半径为。r =代回检验得满足题目要求，所以存在满足题意的圆，其半径为 所以存在满足题意的圆，其半径为 .218（本题满分16分）对于函数，若存在 ，使成立，则称点为函数的不动点。（1）已知函数有不动点（1，1）
12、和（-3，-3）求与的值；（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限的） 个不动点，求证：必为奇数。解：（1）由不动点的定义：，.1代入知，又由及知。.2 ，。.1（2）对任意实数，总有两个相异的不动点，即是对任意的实数，方程总有两个相异的实数根。.1中，即恒成立。.2故，。.2故当时，对任意的实数，方程总有两个相异的不动点。 .1（3）是R上的奇函数，则，（0，0）是函数的不动点。 .1若有异于（0，0）的不动点，则。又，是函数的不动点。的有限个不动点除原点外，都是成对出现的， .4所以有个（），加上原点，共有个。即必为奇数 .1
13、19（本题14分）设函数的图象为、关于点A（2，1）的对称的图象为，对应的函数为. （1）求函数的解析式； （2）若直线与只有一个交点，求的值并求出交点的坐标.20（1）设是上任意一点， 设P关于A（2，1）对称的点为 代入得 （2）联立或 （1）当时得交点（3，0）； （2）当时得交点（5，4）.（数形结合或利用基本不等式求解相应给分）21（本题16分）设定义在上的函数满足下面三个条件：对于任意正实数、，都有； ；当时，总有. （1）求的值； （2）求证：上是减函数.（1）取a=b=1，则 又. 且.得： （2）设则： 依再依据当时，总有成立，可得 即成立，故上是减函数。22（本题18分）已
14、知函数 （1）讨论的奇偶性与单调性； （2）若不等式的解集为的值； （3）（文）设的反函数为，若关于的不等式R）有解，求的取值范围. （理）设的反函数为，若，解关于的不等式R）.23（1）定义域为为奇函数；，当时，在定义域内为增函数；当时，在定义域内为减函数； （2）当时，在定义域内为增函数且为奇函数，；当在定义域内为减函数且为奇函数，； （3）（文）的值域为，关于的不等式R）有解的充要条件是（理）R）；，；当时，不等式解集为R；当时，得，不等式的解集为；当24已知函数的最小正周期为，且当x=时，函数有最小值. （1）求f(x)的解析式； （2）作出f(x)在0，范围内的大致图象. 1.(1)
15、f(x)=1sin (0.34) (2)略25已知函数f(x)=(|x|-b)2+c，函数g(x)=x+m，(1)当b=2，m=-4时，f(x)g(x)恒成立，求实数c的取值范围；(2)当c=-3，m=-2时，方程f(x)=g(x)有四个不同的解，求实数b的取值范围.26.(1)cx4(|x|2)2=，由图象得c. (0.14) (2)(|x|b)23=x2，即(|x|b)2=x+1有四个不同的解， (xb)2=x+1(x0)有两个不同解以及(x+b)2=x+1(x0)也有两个不同解， 由根的分布得b1且1b，1b0，使f(a)=1，又，（1）写出f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件
16、；（2）判断并证明函数f(x)的奇偶性；（3）若存在正常数T，使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于xD都成立，则都称f(x)是周期函数，T为周期；试问f(x)是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由。解：（1）取f(x)=tanx，定义域为xxk+，kZ关于原点对称，且0D；且存在常数使得f(a)=tana=1；又由两角差的正切公式知，符合。4分（2）f(x)是D上的奇函数；证明如下：f(0)=0，取x1=0，x2=x，由，得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是D上的奇函数；4分（3）考察f(x)=tanx的最小正周期T=4a，可猜测4a是f(x
17、)的一个周期。证明：由已知，则，。所以f(x)是周期函数，4a是f(x)的一个周期。7分28（本题满分14分）已知关于的不等式的解集为。（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围。解：（1）时，不等式为，解之，得 ；（2）时， ，时，不等式为， 解得，则 ，满足条件，综上，得 。29（本题满分18分） 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。（1）求函数的解析式；（2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；（3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。解：（1）时， 则 ， 函数是定义在上的奇函数，即，即 ，又可知 ，函数的解析式为 ，
18、；（2）， ，即 时， 。猜想在上的单调递增区间为。（3）时，任取， 在上单调递增，即，即，当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。30、（本题满分14分）记函数的定义域为，的定义域为，（1）求： （2）若，求、的取值范围解：（1），（2），由，得，则，即， 。31、（本题满分17分）设。（1）求的反函数： （2）讨论在上的单调性，并加以证明：（3）令，当时，在上的值域是，求 的取值范围。解：（1） （2）设，时，在上是减函数：时，在上是增函数。（3）当时，在上是减函数， ，由得，即， 可知方程的两个根均大于，即，当时，在上是增函数，（舍去）。 综上，得 。32（本题满分12分）解关于的不等
19、式，其中.解： () ， 不等式的解集为。 33（本题满分14分）集合A是由具备下列性质的函数组成的：(1) 函数的定义域是； (2) 函数的值域是；(3) 函数在上是增函数试分别探究下列两小题：（）判断函数，及是否属于集合A？并简要说明理由（）对于（I）中你认为属于集合A的函数，不等式，是否对于任意的总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论解：（1）函数不属于集合A. 因为的值域是,所以函数不属于集合A.(或，不满足条件.)在集合A中, 因为: 函数的定义域是； 函数的值域是； 函数在上是增函数（2），对于任意的总成立34（本题满分18分）已知二次函数（R，0）（）当时，（）的最大值
20、为，求的最小值（）如果0，1时，总有|试求的取值范围（）令，当时，的所有整数值的个数为，求数列的前 项的和 解： 由知故当时取得最大值为，即，所以的最小值为； 由得对于任意恒成立，当时，使成立；当时，有 对于任意的恒成立；，则,故要使式成立，则有，又；又，则有，综上所述：； 当时，则此二次函数的对称轴为，开口向上，故在上为单调递增函数，且当时，均为整数，故，则数列的通项公式为，故 又 由得.35.（本题满分12分）命题甲: R, 关于x的方程有两个非零实数解; 命题乙: R, 关于x的不等式的解集为空集; 当甲、乙中有且仅有一个为真命题时, 求实数a的取值范围.解：当甲真时，设 ，即两函数图象
21、有两个交点. 则 当乙真时，时 满足 或 也满足 则 当甲乙有但仅有一个为真命题时，即或 36.（本题满分18分）设函数在上满足, 且在闭区间0, 7上只有. 试判断函数的奇偶性;试求方程在闭区间上的根的个数, 并证明你的结论.解由 在上只有 故为非奇非偶函数。 由 得 是以10为周期的函数. 又在0, 10和上各有2个根. 从而方程在上有800个根, 而上没有根, 在2000, 2005上有2个根.故方程在上共有802个根. 37、(本题满分18分)设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立，求F(x)表达式。（2）在（1）
22、的条件下,当x时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。（3）（理）设m0,n0,a0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)0。解：（1）f(-1)=0 由f(x)0恒成立 知=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)0 a=1从而f(x)=x+2x+1 F(x)= ，（2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1，由于g(x)在上是单调函数,知-或-，得k-2或k6 ，（3）f(x)是偶函数，f(x)=f(x)，而a0在上为增函数对于F(x)，当x0时-x0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x0，F(-x)=
23、f(-x)=f(x)=-F(x)，F(x)是奇函数且F(x)在上为增函数，m0,n-n0知F(m)F(-n)F(m)-F(n)F(m)+F(n)0 。38(本题满分14分)已知不等式x23x+t0的解集为x|1xm, mR(1)求t, m的值；(2)若f(x)= x2+ax+4在(,1)上递增，求不等式log a (mx2+3x+2t)0的解集。 (1) 由条件得：，所以，(2)因为f(x)= (x)2+4+在(,1)上递增，所以1，a2 ，log a (mx2+3x+2t)= log a (2x2+3x)0=log a 1，所以，所以 ，所以0x或1x0的解集为（-1，3）时，求实数的值解：
24、（1）f(1)= =, f(1)0 , =24+4b,当b-6时，0, f(1)0的解集为； 当b-6时， f(1)0的解集为 （2） 不等式的解集为（-1，3）, f(x)0与不等式(x+1)(x-3)0同解,解集为（-1，3） ,解之得41、（本题满分18分）设为正整数，规定：，已知 （1）解不等式：；（2）设集合0，1，2，对任意，证明：；（3）探求；（4）若集合，0，2，证明：中至少包含有8个元素解：（1）当01时，由得，1 当12时，因恒成立12 由，得，的解集为|2 （2），当时，； 当时，； 当时，即对任意，恒有 （3）， ， 一般地，（N）. （4）由（1）知，则 由（2）知，
25、对，或1，或2，恒有，则0，1，2 由（3）知，对， ，恒有， 综上所述，0，1，2，中至少含有8个元素42、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。已知函数是奇函数。（1）求的值；（2）请讨论它的单调性，并给予证明。（77）（1）是奇函数，；即，解得：，其中（舍）；经验证当时，确是奇函数。（2）先研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2（0，1），且设x10，即在（0，1）内单调递减；由于是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数在（1，0）内单调递减。43、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分。（理）已知函
26、数满足，是不为的实常数。（1）若函数是周期函数，写出符合条件的值；（2）若当时，且函数在区间上的值域是闭区间，求的取值范围；（3）若当时，试研究函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由。（文）已知函数满足，是不为的实常数。（1）若当时，求函数的值域；（2）在（1）的条件下，求函数的解析式；（3）若当时，试研究函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由。4+6+8）（理）（1） , ；（2）当,，； 当时舍去；当时符合,当时符合；当时符合,当时符合；。 （3）当,，；易证函数当时是增函数，此时，若函数在区间上是是单调增函数，则必有，解得：；显然当时，函数在区间上不是单调函数；所以。（文）（1）。（2）当,，。（3）当,，；显然当时是增函数，此时，若函数在区间上是是单调增函数，则必有，解得：；显然当时，函数在区间上不是单调函数；所以。
