1、高二数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)第五章：一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性【考点梳理】知识点一函数的单调性与其导数的正负之间的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)：f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递增f(x)2x3+2x的解集为（ ）Ax|x-2Bx|x2Cx|x2Dx|x230（2021江苏高二课时练习）已知函数及其导函数满足且.若恒成立，则（ ）ABCD31（2021北京一七一中高二月考）已知函数，且，则下列叙述正确的是（ ）ABCD32（2021全国高二课时练习）已知定义在上的函数满足对，其中
2、是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（ ）ABCD33（2021全国高二课时练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD不存在这样的实数34（2021浙江临海市西湖双语实验学校高二月考）设分别是定义在上的偶函数和奇函数，为其导函数当时，且则使得不等式成立的的取值范围是（ ）ABCD二、多选题35（2021重庆十八中高二月考）已知函数，则（ ）A在定义域内单调性不变B在定义域内有零点C的导数在定义域内单调性不变D为奇函数36（2021全国高二单元测试）已知函数，是其导函数，恒有，则（ ）ABCD37（2021江苏省苏州第十中学校高二月考）已知是定义在R上函数，是的导数，则
3、以下说法正确的是（ ）A若，则；B当时，可，则；C当时，可，且，则；D若，且，则的解集为38（2021广东茂名高二期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则使不等式成立的的值不可能为（ ）ABCD39（2020广东广州市协和中学高二期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值可以为（ ）ABCD三、填空题40（2021浙江杭州高二期中）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是_41（2021全国高二课时练习）函数yf(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为y，则不等式0的解集为_.42（2021全国高二单元测试）已知奇函数的导函数为，若，则
4、实数的取值范围为_.43（2021江西上饶高二月考（理）已知函数，则以下结论正确的是_.在R上单调递增方程有实数解存在实数k，使得方程有4个实数解四、解答题44（2021全国高二课时练习）求下列函数的单调区间：（1）f(x)2x33x236x1；（2）f(x)sin xx(0x0，函数f(x)在(0，)上单调递增.当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减.当时，0，g(x)0，f(x)0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2，由x1，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，f
5、(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当时，函数f(x)在，上单调递减，在上单调递增.16C【分析】利用导数判断函数在上的单调性.【详解】，令，得；令，得，函数在上单调递减，在上单调递增故选：C17C【分析】根据导数的正负与函数的单调性关系判断【详解】根据导函数信息知，函数在上是增函数，在，上是减函数故选：C18C【分析】根据题意，设g（x）f（x）3x，求出其导数，分析可得g（x）0，则g（x）在R上为减函数，又由f（1）3，则g（1）0， ，
6、结合函数的单调性分析可得答案【详解】解：设g（x）f（x）3x，则g（x）f（x）3，又由f（x）3，则g（x）2x3+2x等价于，于是得x2，所以原不等式的解集为x|x2.故选：B30D【分析】构造函数，通过题意，可得函数的单调区间，以及,从而可得，再通过分离参数，即可求解.【详解】解：设，则，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，不等式可转化为，该不等式恒成立，则，故选：D.31B【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可得区间上为增函数，据此分析可得答案【详解】根据题意，函数，其导数，在区间上，函数为增函数，若，则，故选：B32D【分析】引入新函数，求导后确定的单调性，由单调性解不等式.
7、【详解】令，则，因为，所以，所以函数在上单调递减因为，所以，所以，即，所以且，解得，所以实数的取值范围为故选：D.【点睛】易错点睛：应用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质时，首先要考虑函数的定义域，即单调区间、极值点都要在函数的定义域内，本题容易因忽略而出错33B【分析】根据题意，导函数在区间上有正有负，所以在区间上至少有一个实数根，所以或，解不等式即可得解【详解】由题意得，在区间上至少有一个实数根，而的根为，区间的长度为2，故区间内必含有2或或，或，故选：B34D【分析】构造，由题设条件判断、上的单调性，根据等价于，结合单调性即可求的范围.【详解】令，当时，单调递减，分别是定义在上的偶函
8、数和奇函数，故在上是奇函数，时，单调递减，由题设知：要使成立，即成立，当时，有；当时，有；.故选：D35AC【分析】利用导数可判断AC的正误，求出函数的零点可判断B的正误，利用反例可判断D的正误.【详解】，其中，令，则，当时，；当时，故在上为减函数，在上为增函数，故时，时，故时，所以在，上均为增函数，故A正确，设，令，则，当时，故在，上均为增函数，故当时，；当时，故当时，；当时，故在，上均为增函数，故C正确.令，故（舍），故B错误.，故，故不是奇函数，故D错误.故选：AC.36AD【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，由此可判断各选项的正误.【详解】因为，所以，又，所以构造函数，则，
9、所以在上为增函数，因为，所以，所以，即，故A正确；因为，所以，所以，即，故B错误；因为，所以，所以，即，故C错误；因为，所以，所以，即，故D正确，故选：AD.37ACD【分析】构造函数利用导数判断函数的单调性即可判断A；构造函数，利用导数求出函数的单调性，即可判断B；构造函数利用导数说明其单调性，即可判断C，构造函数利用导数研究函数的单调性，即可判断D；【详解】解：对于A：令，则，故在递增，因为，所以，即，故A正确；对于B：令，则，因为当时，所以，即在上单调递减，所以，即，即，故B错误；对于C：令，当时，即在上单调递增，又，所以，即，所以，故C正确；对于D：令，则，所以在定义域上单调递增，又，
10、所以，所以当时，即，所以，故的解集为，故D正确；故选：ACD38AB【分析】首先根据条件构造函数，由导数判断函数的单调性，不等式转化为，利用单调性，即可求解的值.【详解】解析：设，则.，即函数在定义域上单调递减.，不等式等价于，即，解得.故不等式的解集为.故选：.39AB【分析】构造函数，判断出是偶函数，故关于的方程有4个不同的实数根等价于在上有两个零点.当时，等价于，令，利用导数研究函数的单调性，极值，得到，对照四个选项进行验证即可.【详解】构造函数， 的定义域为，且，即是偶函数，故关于的方程有4个不同的实数根等价于在上有两个零点.当时，则等价于，令，则.令，则，故在区间上单调递增.又，所以
11、在区间上单调递减，在区间上单调递增，即在处取得极小值且.当时，；当时，故当时，关于的方程在区间上有两个不同的实数根，即关于的方程有个不同的实数根.对照四个选项：A、B符合，故选：A B.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解40，【分析】由题意得到恒成立，利用分离参数法和基本不等式即可求出的取值范围.【详解】解：在上是增函
12、数，由基本不等式得：（当且仅当，即时取“”，解得，故答案为：，41#【分析】不等式的解集即为函数的单调减区间，根据根据函数的图像求出单调减区间，即可得出答案.【详解】解：根据函数图像可知，函数在和上递减，所以不等式0的解集为.故答案为：.42【分析】求导可得在上单调递增，结合是奇函数，可转化为，借助单调性和定义域，列出不等式组，即得解【详解】因为时，所以在上单调递增.又是奇函数，由，得，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：43【分析】对求导，由导函数的符号可判断的单调性，即可判断；由，以及的单调性即可判断；令，由零点存在定理可判断；等价于，有一个根为，所以原方程有4个根等价于方程有个实
13、数解，令，对求导判断单调性，作出函数图象，数形结合即可判断.【详解】由可得，由可得：，由可得：，所以在单调递减，在单调递增，故不正确；对于选项：，根据在单调递增，所以，故正确；对于选项：令，因为，根据零点存在定理可知存在使得，所以方程有实数解，故正确；对于选项：方程即，有一根为，所以原方程有4个根等价于方程有个实数解，令，则，令可得或，令可得，所以在和单调递增，在单调递减，作出，的图形如图所示： 所以存在时，方程有个实数解，此时方程有4个实数解，故正确.故答案为：【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或
14、减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.44（1）增区间是(，3)，(2，)；减区间是(3，2) ；（2）单调递减区间为(0，) 【分析】求出导函数，由得增区间，由得减区间【详解】解:（1）6x26x36由0得6x26x360，解得x2；由0解得 3x2故f(x)的增区间是(，3)，(2，)；减区间是(3，2)（2）cos x1因为0x，所以cos x10恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，)，无增区间45（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【分析】（1）利用求得的单调区
15、间；（2）由在区间恒成立分离常数，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】（1）当a3时，函数f（x）x4lnx（x0），1+，由0，可得0x1或x3，由0，可得1x3，所以f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，+）；递减区间为（1，3）；（2）1，x0，f（x）在区间（0，+）上单调递增，即为0在区间（0，+）上恒成立，即ax24x（x2）24在区间（0，+）上恒成立，由（x24x）min4，得a4，即a.46（1）答案不唯一，具体见解析；（2）【分析】（1）求出导函数，讨论、或，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）根据题意若存在，使得不等式成立，只需使，求出，由（1）可知函
16、数的单调性，根据单调性讨论函数的最小值即可.【详解】解：（1）根据题意，或，所以当时，则有，或；，此时可得，在，上单调递增，在上单调递减当时，则有，或；，此时可得，在，上单调递增，在上单调递减当时，恒有，此时函数在上单调递增综上可得，当时，在，上单调递增，在上单调递减当时，在，上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递增（2）根据题意，由（1）可得，若存在，使得不等式成立，则需使，由（1）可知，当时，则有，或；，此时可得，在，上单调递增，在上单调递减，即得在，上单调递增，故有；当时，则有，或；，此时可得，在，上单调递增，在上单调递减当时，即时，在，上单调递减，则有，不合题意；当时，即时，在，
17、上单调递减，在，则有，此时令，则，即得此时在上单调递增，所以（1）恒成立，即恒成立，不合题意；综上可得，47（1）（2）【分析】（1）由在上单调递减，得到恒成立，用分离参数法求出实数a的取值范围；（2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围（1）因为在上单调递减，所以当时，恒成立，即恒成立，令，则，而因为，所以所以（此时），所以当时，因为，所以，即在上为减函数，又，所以实数a的取值范围是（2）因为，所以因为在上存在单调递减区间，所以当时，有解，即有解设，所以只要即可，而，所以，所以又，所以或所以实数a的取值范围为48（1）在上单调递增，在，上单调递减；（2）.【分析】（1）依题意，即可求出参数的值，从而得到函数解析式，再求出函数的导函数，从而得到函数的单调区间；（2）由（1）可得函数的极值，从而得到函数图象，有个不同实数根等价于与有个不同的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1），当和时，；当时，；在上单调递增，在，上单调递减，（2）由（1）可知，的极大值为，极小值为，且当时，当时，由此可得大致图象如图：有个不同实数根等价于与有个不同的交点，由图象可知：，解得，的取值范围为.41原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
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