1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性学 习 目 标核 心 素 养1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期(重点)3.掌握函数ysin x和ycos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的周期性和奇偶性，培养学生的数学抽象素养.2.通过周期性和奇偶性的学习，提升学生的直观想象素养.1函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么这个函数的周期为T.(2)最小正周期：
2、如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysin xycos x周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期22奇偶性奇函数偶函数思考：函数y|sin x|，y|cos x|是周期函数吗？提示是，周期是k(kZ且k0)，最小正周期是.1下列函数中，周期为的是()Aysin Bysin 2xCycos Dycos 4xD根据公式T可知，得4，故应选D.2函数y2sin是()A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为2的奇函数 D周期为2的偶函数By2sin2cos 2x，它是周期为的偶函数3若函数
3、yf(x)是以2为周期的函数，且f(5)6，则f(1) .6由已知得f(x2)f(x)，所以f(1)f(3)f(5)6.三角函数的周期问题及简单应用【例1】求下列函数的周期：(1)ysin；(2)y|sin x|.思路点拨：(1)法一：寻找非零常数T，使f(xT)f(x)恒成立法二：利用yAsin(x)的周期公式计算(2)作函数图象，观察出周期解(1)法一：(定义法)ysinsinsin，所以周期为.法二：(公式法)ysin中2，T.(2)作图如下：观察图象可知周期为.1本例(2)中函数变成“y|cos x|”，图象如何？解作图如下：观察图象可知周期是.2本例(2)中函数变成ysin |x|或
4、ycos |x|，图象如何？解作图如下：由图象可知ysin |x|不是周期函数，ycos |x|的图象与ycos x图象相同，仍为周期函数，周期为2.求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解(2)公式法：对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的函数，T.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期提醒：y|Asin(x)|(A0，0)的最小正周期T.1利用周期函数的定义求下列函数的周期(1)ycos 2x，xR；(2)ysin，xR.解(1)因为cos 2(x)cos(2x2)cos 2x，由周期函数的定义知，ycos 2x的周期为.(2)因为sins
5、insin，由周期函数的定义知，ysin的周期为6.三角函数奇偶性的判断【例2】(1)若函数y2sin(x)为偶函数，则的值的集合为 (2)判断下列函数的奇偶性：f(x)sin；f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；f(x).思路点拨：(1)(2)(1)因为ycos x为偶函数，ysin x为奇函数，所以根据诱导公式“奇变偶不变”的特点，要使通过诱导公式后函数变成y2cos x或y2cos x，只有k(kZ)(2)解显然xR，f(x)cosx，f(x)coscosxf(x)，f(x)是偶函数由得1sin x1，解得定义域为，f(x)的定义域关于原点对称又f(x)lg(1sin x)
6、lg(1sin x)，f(x)lg1sin(x)lg1sin(x)lg(1sin x)lg(1sin x)f(x)，f(x)为奇函数1sin x0，sin x1，xR且x2k，kZ.定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数1判断函数奇偶性应把握好两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(x)的关系2对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)cosx2sin x；(2)f(x).解(1)f(x)sin 2xx2sin x，又xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x
7、)sin 2xx2sin xf(x)，f(x)是奇函数(2)由得cos x，f(x)0，x2k，kZ，f(x)既是奇函数又是偶函数.三角函数的奇偶性与周期性的综合应用探究问题1一般通过什么方法研究三角函数的性质？提示：三角函数的性质可从图象上直观地反映出来，如图象的对称性，图象的升降，图象的范围等相应地反映函数的奇偶性，单调性，定义域和值域，所以解题时要通常借助图象2若函数yf(x)是周期T2的周期函数，也是奇函数，则f(2 018)的值是多少？提示：f(2 018)f(01 0092)f(0)0.【例3】(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是()Aycos|2x|By|sin 2x
8、|Cysin Dycos(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x时，f(x)sin x，则f等于()AB.C D.思路点拨：(1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性(2)先依据f(x)f(x)化简f；再依据f(x)是偶函数和x，f(x)sin x求值(1)D(2)D(1)ycos|2x|是偶函数，y|sin 2x|是偶函数，ysincos 2x是偶函数，ycossin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T.(2)ffffffsin.1若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“”改为“”，其他条件不
9、变，结果如何？解ffffsin.2若本例(2)中的“”改为“”，去掉“f(x)是偶函数”，其他条件不变，求f.解f(x)的周期为，ffffsin.1三角函数周期性的解题策略探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为yAsin(x)或yAcos(x)的形式，再利用公式求解2与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使yAsin(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(2)要使yAsin(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)；(3)要使yAcos(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(4)要使yAcos(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)1求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用
10、定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T.(2)图象法，即作出yf(x)的图象，观察图象可求出T，如y|sin x|.(3)结论法，一般地，函数yAsin(x)(其中A，为常数，A0，0，xR)的周期T.2判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键如果定义域关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性3周期函数的定义域是一个无限集，周期有无数多个，可能存在最小正周期，也可能不存在最小正周期，如f(x)1，xR是周期函数，但不存在最小正周期1下列命题中不正确的是()A由于sinsin ，则是正弦
11、函数ysin x的一个周期B若T是函数f(x)的周期，则kT(kN*)，也是函数f(x)的周期C函数y3sin 2x是奇函数D函数ycos x是偶函数A根据周期的定义可以判断A不正确，B对，再由奇偶性的判断法可判断C、D均正确2函数f(x)sin 2x的奇偶性为()A奇函数B偶函数C既奇又偶函数 D非奇非偶函数Af(x)sin 2x的定义域为R，f(x)sin 2(x)sin 2xf(x)，所以f(x)是奇函数3函数f(x)sin，xR的最小正周期为 4由已知得f(x)的最小正周期T4.4若函数yf(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)3，则f(5) .3由已知得f(x3)f(x)，f(x)f(x)，所以f(5)f(2)f(1)f(1)3.5判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2cos 3x；(2)f(x)xsin(x)解(1)f(x)2cos 3(x)2cos 3xf(x)，所以f(x)2cos 3x为偶函数(2)f(x)xsin(x)xsin x，所以f(x)xsin(x)xsin xf(x)，故函数f(x)为偶函数