1、高考资源网（） 您身边的高考专家第五十三讲 二项式定理一选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80,则实数a的值是( )解析:由二项展开式的通项公式得x3的系数C25a3(-1)2=80,解得a=2,故选D.答案:D2.已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为,其中i2=-1,则展开式中系数为实数且最大的项为( )A.第三项 B.第四项C.第五项 D.第五项或第六项解析:T3=-C2nx2n-5,T5=C4nx2n-10.由-C2nC4n=得n2-5n-50=0,n=10,又Tr+1=Cr10(-i)r,据
2、此可知当r=0,2,4,6,8,10时其系数为实数,且当r=4时,C410=210最大.故选C.答案:C3.若对于任意的实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为 ( )A.3 B.6C.9 D.12解析:设x-2=t,则x=t+2,原式化为(2+t)3=a0+a1t+a2t2+a3t3,a2=C232=6,故选B.答案:B4.(1-x)9的展开式中,系数最大的项为 ( )A.第3项 B.第4项C.第5项 D.第5项或第6项解析:Tr+1=(-1)rCr9xr.要使其系数最大,则r应为偶数;又在Cr9(r=0,1,9)中,当r=4或5时Cr9最大,r
3、=4,即第5项的系数最大.故选C.答案:C5.若多项式x2+x10=a0+a1(x+1)+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a9= ( )A.9 B.10C.-9 D.-10解析:在右式中,展开后,x10的系数a10=1,x9的系数为a9+a10C110=a9+10=0,a9=-10.答案:D6.在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为 ( )A.160 B.240C.360 D.800解析:解法一:(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,x项为1C45x24+25C45x=240x.解法二:易知(x2+3x+2)5展开式中x的系数与(3x+2)5的展开式中x的系数相同,而(
4、3x+2)5的展开式中x项的系数为C45324=240.答案:B二填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.(2010四川)的展开式中的常数项为_.(用数字作答)解析:的通项Tr+1=Cr4x4-r =(-1)r2rCr4x4-2r,常数项为T3=(-1)222C24=24.答案:248.(2010全国)若的展开式中x3的系数是-84,则a=_.解析:通项公式为Tr+1=Cr9x9-r(-a)rx-r=(-a)rCr9x9-2r,令9-2r=3,得r=3,故(-a)3C39=-84,解得a=1.答案:19.(2010湖北)在的展开式中,系数为有理数的项共
5、有_项.解析:注意二项式的展开式的通项是Tr+1=Cr20x20-r=Cr20x20-ryr.当r=0,4,8,12,16,20时,相应的项的系数是有理数.因此的展开式中,系数是有理数的项共有6项.答案:610.(2010四川)的展开式中的第四项是_.解析:的展开式中第四项为T4=C3623答案:三解答题:(本大题共3小题,1112题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54,求a的值.解: 的展开式的通项为令Tr+1为常数项,则20-5r=0,r=4,常数项T5=C4
6、5=16,又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n,由题意得2n=16,n=4,由二项式系数的性质知,(a2+1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3,C24a4=54,12.在二项式的展开式中,最后三项系数的绝对值成等差数列.(1)求展开式的第四项;(2)求展开式的常数项;(3)求展开式的各项系数的和.分析:根据最后三项系数的绝对值成等差数列,列出关于n的方程,求出n.解:倒数第一项系数的绝对值为Cnn,倒数第二项系数的绝对值为倒数第三项系数的绝对值为依题意有解得n=8.(1)第四项(2)通项公式为展开式的常数项有2r-8=0,即r=4,所以常数项为 (3)令x=1,得展开式的各项系
7、数的和为13.已知(1)若展开式中第5项第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.解:(1)C4n+C6n=2C5n,n2-21n+98=0,n=7或n=14.当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,T4的系数T5的系数当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的系数 (2)由C0n+C1n+C2n=79,可得n=12,设Tk+1项的系数最大.9.4k10.4,k=10,展开式中系数最大的项为T11.精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u 版权所有高考资源网
