1、53 诱导公式第 1 课时 诱导公式二、三、四1了解三角函数的诱导公式的意义和作用2理解诱导公式的推导过程3能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题1诱导公式二(1)角 与角 的终边关于原点对称如图所示(2)公式：sin()sin，cos()cos，tan()tan.2诱导公式三(1)角 与角 的终边关于 x 轴对称如右图所示(2)公式：sin()sin.cos()cos.tan()tan.3诱导公式四(1)角 与角 的终边关于_y_轴对称如右图所示(2)公式：sin()sin.cos()cos.tan()tan.4k2(kZ)，的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把
2、 看成锐角时原函数值的符号1设 为锐角，则 180，180，360 分别是第几象限角？答案 分别为第二、三、四象限角2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)诱导公式中角 是任意角.()(2)公式 sin()sin，是锐角才成立()(3)公式 tan()tan 中，2不成立()(4)在ABC 中，sinAsin(BC)()答案(1)(2)(3)(4)题型一给角求值问题【典例 1】求下列三角函数值：(1)sin(1200)；(2)tan945；(3)cos1196.思路导引 利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角(一般为特殊角)的三角函数解(1)sin(1200)sin1200sin(33
3、60120)sin120sin(18060)sin60 32.(2)tan945tan(2360225)tan225tan(18045)tan451.(3)cos1196 cos206cos6 cos6 32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤针对训练1计算：(1)tan5tan25 tan35 tan45；(2)sin(60)cos225tan135.解(1)原式tan5tan25 tan25 tan5 tan5tan25 tan25 tan50.(2)原式sin60cos(18045)tan(18045)32 cos45tan45 32 22 1 2 322.题型二化简求值问题【典例 2】
4、化简：(1)costan7sin；(2)sin1440cos1080cos180sin180.思路导引 利用诱导公式一四化简解(1)costan7sincostansincostansinsinsin1.(2)原式sin4360cos3360cos180sin180sincoscossin coscos1.利用诱导公式一四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切针对训练2化简下列各式(1)cossin2sincos；
5、(2)cos190sin210cos350tan585.解(1)原式cossinsincoscossinsincos1.(2)原式 cos18010sin18030cos36010tan360225cos10sin30cos10tan18045sin30tan4512.题型三给值(式)求值问题【典例 3】若 sin()12，2，0，则 tan()等于()A12B 32C 3D.33思路导引 要寻找已知角与未知角之间的联系，然后采用诱导公式使未知角的三角函数用已知角的三角函数表示，从而得出结论解析 因为 sin()sin，根据条件得 sin12，又 2，0，cos0，所以 cos1sin22 3
6、2.所以 tansincos 13 33.所以 tan()tan 33.故选 D.答案 D变式(1)若本例把条件变为 cos(2)53，且 2，0，则 tan()_.(2)若本例改为已知 sin4 32，则 sin54 的值为_解析(1)因为 cos(2)cos 53，2，0，所以 sin 1cos223，则 tan()tansincos2353 252 55.(2)sin54 sin4sin4 32.答案(1)2 55 (2)32 解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所
7、求式进行变形向已知式转化针对训练3已知 为第二象限角，且 sin35，则 tan()的值是()A.43B.34C43D34解析 因为 sin35且 为第二象限角，所以 cos 1sin245，所以 tansincos34.所以 tan()tan34.故选 D.答案 D课堂归纳小结1.四组诱导公式的记忆四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号看成锐角，只是为了公式记忆的方便，实际上 可以是任意角.2.四组诱导公式的作用公式一的作用：把不在 02 范围内的角化为 02 范围内的角；公式二的作用：把第三
8、象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数；公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.1若 cos()13，则 cos 的值为()A.13B13C.2 23D2 23解析 cos()cos，所以 cos13.故选 A.答案 A2sin585的值为()A 22B.22C 32D.32解析 sin585sin(36018045)sin45 22.故选 A.答案 A3以下四种化简过程，其中正确的有()sin(360200)sin200；sin(180200)sin200；sin(180200)sin200；sin(200)sin20
9、0.A0 个B1 个C2 个D3 个解析 由诱导公式一知正确；由诱导公式四知错误；由诱导公式二知错误；由诱导公式三知错误答案 B4已知 sin()45，且 是第四象限角，则 cos(2)的值是()A35B.35C35D.45解析 sin()sin45，sin45，且 为第四象限角，cos 1sin235.又cos(2)cos(2)cos35，选 B.答案 B5化简：tan2sin2cos6cossin5.解 原式tansincoscossintansincoscossintan.课后作业(四十一)复习巩固一、选择题1cos796的值为()A12B.12C 32D.32 解 析 cos 796
10、cos 1276 cos 76 cos 76 cos6 cos6 32，故选 C.答案 C2sin2()cos()cos()1 的值为()A1 B2sin2C0 D2解析 原式sin2(coscos)1sin2cos212，选 D.答案 D3若 cos()12，322，则 sin(2)等于()A.12B 32C.32D 32解析 由 cos()12，得 cos12，故 sin(2)sin 1cos2 32(为第四象限角)答案 D4已知 acos234，bsin334，则 a，b 的大小关系是()AabD不能确定解析 acos234 cos64 cos4 22，bsin334sin84 sin4
11、 22，ab.答案 C5已知 和 的终边关于 x 轴对称，则下列各式中正确的是()AsinsinBsin(2)sinCcoscosDcos(2)cos解析 由 和 的终边关于 x 轴对称，故 2k(kZ)，故 coscos.答案 C二、填空题6sin600tan240_.解析 sin600tan240sin(360240)tan(18060)sin240tan60sin(18060)tan60sin60tan60 32 3 32.答案 327化简：12sin2cos2_.解 析 12sin2cos2 12sin2cos2 sin2cos22|sin2cos2|，因 2 弧度在第二象限，故 si
12、n20cos2，所以原式sin2cos2.答案 sin2cos28已知 sin57 m，则 cos27 _.解析 因为 sin57 sin27sin27 m，且27 0，2，所以 cos27 1m2.答案 1m2三、解答题9计算下列各式的值：(1)cos5cos25 cos35 cos45；(2)sin420cos330sin(690)cos(660)解(1)原式cos5cos45 cos25 cos35cos5cos5 cos25 cos25cos5cos5 cos25 cos25 0.(2)原 式 sin(360 60)cos(360 30)sin(2360 30)cos(236060)s
13、in60cos30sin30cos60 32 32 12121.10化简：(1)sin540costan180；(2)cos4cos2sin23sin4sin5cos2.解(1)原式sin360180tan180cossin180costansincossincoscos2.(2)原式 coscos2sin2sinsincos2cos.综合运用11已知 tan3 13，则 tan23 等于()A.13B13C.2 33D2 33解析 因为 tan23 tan3tan3，所以 tan23 13.故选 B.答案 B12若 sin()sin()m，则 sin(3)2sin(2)等于()A23mB32
14、mC.23mD.32m解析 因为 sin()sin()2sinm，所以 sinm2，则 sin(3)2sin(2)sin2sin3sin32m.故选 B.答案 B13已知 cos(75)13，且 为第四象限角，则 sin(105)_.解析 因为 a 是第四象限角且 cos(75)130，所以 75是第三象限角，所以 sin(75)2 23，所以 sin(105)sin180(75)sin(75)2 23.答案 2 2314已知 tan()12，则 2cos3sin4cos2sin4_.解析 tan()12，则 tan12，原式2cos3sin4cossin2cos3sin4cossin 23tan4tan231241279.答案 7915化简：sink1cosk1sinkcosk(kZ)解 当 k 为奇数时，不妨设 k2n1，nZ，则原式sin2n2cos2n2sin2ncos2nsincossincossincossincos1；当 k 为偶数时，不妨设 k2n，nZ.则原式sin2n1cos2n1sin2ncos2nsincossincossincossincos1.综上，sink1cosk1sinkcosk1.