1、高二数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)第五章：一元函数的导数及其应用5.2导数的运算【考点梳理】考点一基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q，且0)f(x)x1f(x)sin xf(x)cosxf(x)cos xf(x)sinxf(x)ax(a0，且a1)f(x)axlnaf(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)考点二：导数的运算法则已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)0.(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x
2、)，特别地，cf(x)cf(x)(3).考点三：复合函数的导数1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)2复合函数的求导法则一般地，对于由函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数yf(g(x)，它的导数与函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积重难点规律归纳：一：求复合函数的导数的步骤二：利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；若已知点不是切点，
3、则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤【题型归纳】题型一：利用导数公式求函数的导数1（2021全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）2（2021全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y=x-3；（2）y=3x；（3）y=log5x；（4）；（5）；（6）y=lnx；（7）y=ex.题型二：导数的运算法则3（2021江苏高二专题练习）求下列函数的导数；（1）（2）（3）（4）（5）（6）4（2021全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）yx43x25x6；（2）yxtan x；（3）y(x1)(x2)
4、(x3)；（4）y.题型三：复合函数与导数的运算法则的综合应用5（2021全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）6（2021全国高二课时练习）求下列函数的导数（1）（2）（3）；（4）（5）（6）题型四：与切线有关的综合问题（切点、某点）7（2021广西河池高二月考（理）已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数过点处的切线方程.8（2021全国高二课时练习）已知函数，且曲线在点处的切线方程为l，直线m平行于直线l且过点.（1）求出直线l与m的方程；（2）指出曲线上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离.【双基达标】一、单选题9（2021广西河池高
5、二月考（理）已知，则（ ）ABCD10（2022全国高三专题练习（理）函数的图像在点处的切线方程为（ ）ABCD11（2022全国高三专题练习）已知函数f（x）的导函数为，且满足f（x）=3x+lnx，则=（ ）A2eBCD2e12（2021山东烟台高三期中）曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）ABCD13（2021江苏高二课时练习）若函数对于任意x有，则此函数的解析式为（ ）ABCD14（2021福建省漳州第一中学高二月考）已知函数（是自然对数的底数），则等于（ ）ABCD15（2021全国高二课时练习）函数的导数为（ ）ABCD16（2021全国高二课时练习）若，则等于（ ）AB0CD617
6、（2021全国高二课时练习）下列函数求导运算正确的个数为（ ）；.A1B2C3D418（2021全国高二单元测试）已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD19（2021全国高二单元测试）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）ABCD20（2021全国高二单元测试）已知数列为等比数列，其中，若函数，为的导函数，则（ ）ABCD21（2021全国高二单元测试）函数的导函数在区间上的图象大致为（ ）ABCD22（2021全国高二专题练习）f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则
7、f2 017(x)（ ）Asin xBsin xCcos xDcos x【高分突破】一：单选题23（2021全国高二课时练习）已知函数(，且)的图像在点处的切线方程为，则（ ）ABCD24（2021全国高二课时练习）已知函数，其导函数记为，则（ ）A2BC3D25（2021重庆巴蜀中学高二开学考试）设，已知的图像上有且只有三个点到直线的距离为，则（ ）A1BCD26（2021陕西榆林十二中高二月考（理）已知函数f(x)的导函数，且满足关系式则的值等于（）A2B2CD27（2021北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数，则曲线过点的切线有（ ）A0条B1条C2条D3条28（2021安徽定远县育
8、才学校高二月考（理）给出下列结论：；若，则；其中正确的个数是（ ）A0B1C2D329（2021全国高二专题练习）如图，是可导函数，直线：是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ）A1B0C2D430（2021吉林延边二中高二期末（理）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若曲线与在处的曲率分别为，（ ）ABC4D2二、多选题31（2021江苏高二课时练习）已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则下列各式成立的是（ ）ABCD32（2021江苏高二课时
9、练习）以下函数求导正确的是( )A若，则B若则C若，则D设的导函数为，且，则33（2021江苏高二课时练习）已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程可能为（ ）ABCD34（2021江苏金湖高二期中）定义在区间上的连续函数的导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（ ）ABCD三、填空题35（2021全国高二课时练习）已知，若，则_.36（2021全国高二课时练习）已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，则k的值为_.37（2021江苏高二专题练习）已知函数的图象关于直线对称
10、，为的导函数，则_38（2021广东洛城中学高二月考）设，则_.四、解答题39（2021全国高二课时练习）求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）；（4）.40（2021全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y(2x1)5；（2）y；（3）y；（4）yx；（5）ylg(2x23x1)；（6）y.41（2021江苏高二课时练习）已知函数.（1）求导函数；（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.42（2021江苏高二课时练习）在是三次函数，且，是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.（1）求函数的解析式；（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.43
11、（2021全国高二课时练习）已知函数f(x)，且f(x)的图象在x1处与直线y2相切.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案详解】1（1）（2）（3）（4）（5）（6）【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；（1）解：因为，所以；（2）解：因为，所以；（3）解：因为，所以；（4）解：因为，所以；（5）解：因为，所以；（6）解：因为，所以；2答案见解析【分析】根据基本初等函数的求导公式一一求解即可.【详解】（1）y=-3x-4.（2）y
12、=3xln3.（3）y=.（4）y=sinx，y=cosx.（5）y=0.（6）y=.（7）y=ex.3（1）（2）（3）（4）（5）（6）【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；（1）解：因为，所以；（2）解：因为，所以；（3）解：因为，所以；（4）解：因为，所以；（5）解：因为，所以（6）解：因为，所以4（1）4x36x5；（2）；（3）3x212x11；（4）.【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则，求各函数的导数即可.【详解】（1）y(x43x25x6)(x4)(3x2)(5x)64x36x5；（2）；（3）法一：y(x1)(x2)(x3)(x1)(
13、x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)x23x23x212x11；法二：由(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11；（4）法一：y.法二：，y.5（1）（2）（3）（4）（5）（6）【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得；（1）解：因为，所以（2）解：因为，所以（3）解：因为，所以（4）解：因为，所以（5）解：因为，所以（6）解：因为，所以6（1）（2）（3）（4）（5
14、）（6）【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解（1）解：，；（2）解：因为，所以（3）解：因为，所以（4）解：因为，所以（5）解：因为，所以（6）解：因为，所以7（1）（2）或【分析】（1）求导，求出切线斜率即可（2）设切点为，求出切线方程，代入点，解方程可得切点，进而可得直线方程（1）由已知，则，故切线方程为，即（2）设切点为，则切线方程为， 代入点可得，解得或又，故切线方程为或即切线方程为或8（1）直线：，直线：；（2）【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程，根据直线平行则斜率相等，即可求出直线的方
15、程；（2）显然（1）中的切点到直线的距离最短，再利用点到直线的距离公式计算可得；（1）解：因为，所以，所以，又，即切点为，所以切线的方程为，即，直线与直线平行，所以斜率为，且直线过点，所以直线的方程为，即，即直线：，直线：；（2）解：依题意点到直线：的距离最短，最短距离9B【分析】求导得到导函数，计算，再代入计算得到答案.【详解】，则，.，.故选：B10B【分析】求导，计算，即得解【详解】，因此，所求切线的方程为，即故选：B11B【分析】先求，然后把x换成e，可求得.【详解】解：=3，=3，解得：.故选：B.12B【分析】先求出的导函数，进而求出时，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出
16、，利用万能公式求出结果.【详解】，当时，所以，由万能公式得：所以故选：B13B【分析】可设，结合求出的值，即可得解.【详解】因为，可设，则，解得，因此，.故选：B.14C【分析】利用导数的运算可得出关于的方程，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.【详解】因为，则，所以，所以，故，因此，.故选：C.15D【分析】利用复合函数的求导法则，乘法公式的求导法则及基本初等函数的导数公式对函数求导即可.【详解】因为，所以.故选：D.16D【分析】求出函数导数，可得出，即可求出答案.【详解】，.故选：D.17A【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断【详解】解：，故错误；，故正确；
17、，故错误；，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.18A【分析】求导根据导函数的奇偶性得到，再计算切线得到答案.【详解】依题意，由导函数为偶函数，得，故，所以，故曲线在点处的切线方程为，即.故选：A.19D【分析】求导可得，则，结合，即得解【详解】，.设，则曲线在点P处的切线的斜率为，.，故选：D20C【分析】根据等比数列的性质和导数的运算法则即可求出.【详解】，为等比数列，则.故选:C.21C【分析】求导，由导函数的奇偶性可判断【详解】，为奇函数，故选：C.22C【分析】对函数求导，可以发现循环周期为4，从而得到.【详解】因为，所以循环周期为4，因此.故选：C.23D【分析】先对函数
18、求导，利用导数的几何意义并结合给定条件列出方程组求解即得.【详解】由求导得：，而函数的图像在点处的切线方程为，因点在直线上，即，于是得，因此有：，解得，所以.故选：D24A【分析】函数，分析其性质可求的值 ，再求并讨论其性质即可作答.【详解】由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数.又为偶函数，所以，所以.故选：A.25B【分析】根据题设条件确定直线与的图像相交，求出平行于直线且与的图像相切的切线即可.【详解】依题意，直线与的图像相交，设平行于直线的直线与的图像相切的切点为，由求导得，则有，解得，即，切线方程为，由，解得或，当时，直线在切线的左侧，与的图像无公共点，当时，直线与的图像相交，
19、所以.故选：B26D【分析】对函数求导，再令即可得出结果.【详解】因为，所以，令，则，即，解得，故选：D27C【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义列方程求切点坐标，由此可得切线的条数.【详解】设切点为A，直线AP的斜率为k,则，又， 又方程的判别式为，且， 方程有两个不同的解， 曲线过点的切线有两条，故选：C.28B【分析】根据导数运算法则计算可判断.【详解】，故错误；，故错误；若，则，故错误；，故正确所以正确的个数是1个.故选：B.29A【分析】从图中得切线上的点代入直线方程得到斜率k，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率可得，最后结合导数的概念求出 的值【详解】将点代入直线的方程得，得，
20、所以，由于点在函数的图象上，则，对函数求导得，故选A30B【分析】求出导函数及导函数的导数，根据曲率定义直接计算，再得出即可【详解】（1），所以，所以， 故；故选：B【点睛】本题考查新定义“曲率”，解题关键是理解曲率的定义，实质就是对导函数再求导得，然后根据所给公式求出的曲率31AD【分析】利用导数的几何意义及求导的基本运算即可求解.【详解】解：对A，由题知，点在上，所以，故A正确；对B，函数的图象在点处的切线方程是，所以，故B错误；对C，虽然满足，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为，也满足，故C错误；对D，由题得，所以，故D正确.故选：AD.32ACD【分析】利用求导法则逐项检验即可求
21、解.【详解】对于A，故A正确；对于B，故B错误；对于C，故C正确；对于D，所以，故D正确故选：ACD.33AB【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.【详解】设过点的直线与曲线相切的切点为，由求导得，于是得切线方程为，即，则，解得或，因此得切线方程为或，所以所求切线的方程是或.故选：AB34ABD【分析】考查新定义题型，通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求即可.【详解】对于A，又，由，得成立，解得，所以A符合.对于B，又，对于 ，使得，则恒成立，所以B符合.对于C，又，对于 ，使得，则，根据指数函数单调性性可知，此方程只有一解，所以C不符合.对
22、于D，又，对于 ，使得，则，所以D符合.故选：ABD.35#【分析】对与求导后代入题干中的条件，列出方程，求出x的值.【详解】函数的导数公式可知，由得，即，解得.故答案为：361【分析】求f(x)的导函数，由题设f(1)= 0可得关于k的方程，求k值即可.【详解】由题设，x(0,).又yf(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行，f(1)=0，可得k1.故答案为：137【分析】根据和是的两个零点和关于直线对称，可确定和是的两个实根，利用韦达定理可求得，得到和，由此可求得结果.【详解】由题意知：和是的两个零点，的图象关于直线对称，和也是的零点，和是的两个实根，故答案为：.38【分析】根据正余弦
23、函数的导数求法，求的导数，并确定变化周期，即可求的解析式.【详解】由题设，的变化周期为4，而.故答案为：39（1）（2）（3）（4）【分析】（1）方法一：将原函数解析式展开，利用导数的运算法则可求得结果；方法二：利用导数的运算法则直接化简计算可求得结果；（2）利用导数的运算法则可求得结果；（3）利用导数的运算法则可求得结果；（4）利用导数的运算法则可求得结果.（1）解：方法一：，所以，.方法二：由导数的乘法法则得.（2）解：根据题意把函数的解析式整理变形可得，所以，.（3）解：根据求导法则可得.（4）解：根据题意，利用求导的除法法则可得.40（1）10(2x1)4；（2）；（3）；（4）；（5
24、）；（6）.【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则，结合换元法对各函数进行求导即可.【详解】（1）设u2x1，则yu5，yxyuux(u5)(2x1)5u4210u410(2x1)4；（2）设u13x，则yu4，yxyuux(u4)(13x)4u5(3)12u512(13x)5；（3）设u13x，则y，yxyuux(13x)(3)；（4）yxx().设t，u2x1，则t，txtuux(2x1)2.y.（5）设u2x23x1，则ylg u，yxyuux(2x23x1)；（6）设u，v2x，则yu2，u，yxyuuvvx2ucos v2cos24cos.41（1）；（2），.【分析
25、】(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.【详解】（1）由，得；（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，于是将代入切线方程，得，又，则，解得，而切线的斜率为，即，又，则，解得，所以，.42（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】(1)根据所选条件，设出函数解析式，借助待定系数法求解即得；(2)利用(1)中函数，借助导数的几何意义求出切线l的方程即可计算作答.【详解】选，（1）依题意，设，则，由已知得，解得，所以函数的解析式是；（2）由(1)知，则有切线l的方程为，当时，当时，所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.选，（1）依题意，设，则，于是得：，化简得，因为上式对任意x都成立，所以，解得，所以函数的解析式为；（2）由(1)知，则，又，则有切线l的方程为，当时，当时，所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.43（1）；（2）.【分析】（1）利用列方程组，由此求得，从而求得的解析式.（2）先求得，结合二次函数的性质求得直线的斜率的取值范围.【详解】（1），依题意可知，所以，解得 .所以（2），由于， ，所以，所以切线的斜率的取值范围是.33原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
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