1、14.2充要条件1掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法2能够写出命题的充分条件、必要条件及充要条件3会对某些命题的充要条件进行证明充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有pq，又有qp，记作pq.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果pq，那么p与q互为充要条件温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若pq，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件若pq，则p是q的充要条件若pq，且qp，则称p是q的充分不必要条件若pq，且qp，则称p是q的必
2、要不充分条件若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件(2)“”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即pq，qs，则有ps，即p是s的充要条件1通常我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，即“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的什么条件，你还能写出“四边形是平行四边形”的其他充要条件吗？答案充要条件两组对边分别相等的四边形、对角线互相平分的四边形等2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()(2)符号“”具有传递性()(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件()(4)数学中的每一个定义都
3、是一个充要条件()答案(1)(2)(3)(4)题型一 充要条件的判断【典例1】在下列各题中，试判断p是q的什么条件(1)p：a5是无理数，q：a是无理数；(2)若a，bR，pa2b20，q：ab0；(3)p：ABA，q：UBUA.思路导引判断是否pq，qp.解(1)因为a5是无理数a是无理数，并且a是无理数a5是无理数，所以p是q的充要条件(2)因为a2b20ab0，并且ab0a2b20，所以p是q的充要条件(3)因为ABAABUAUB，并且UBUABAABA，所以p是q的充要条件变式已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)
4、s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？解作出“”图，如右图所示，可知：pq，rq，qs，sr.(1)pqsr，且rq，q能否推出p未知，p是r的充分条件(2)srq，qs，s是q的充要条件(3)共有三对充要条件，qs；sr；rq.判断p是q的充分必要条件的2种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立(2)集合角度：当不容易判断pq及qp的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的情形如下：记命题p：集合A，命题q：集合B.若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是
5、q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件此外，对于较复杂的关系，常用，等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度针对训练1指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ABA，q：ABB；(2)已知实数a，b，p：a0且b0，q：ab0且ab0；(3)p：q：解(1)因为ABABA，而ABBBA，所以ABAABB，所以p是q的充要条件(2)由a0且b0ab0且ab0，并且由ab0且ab0a0且b0，所以p是q的充要条件(3)由根据不等式的性质可得即pq，而由不能推出
6、如：1，5满足但不满足2.所以p是q的充分不必要条件.题型二 充要条件的证明【典例2】已知ab0，求证：ab1是a3b3aba2b20的充要条件思路导引从充分性、必要性两方面证明证明充分性：ab1，b1a，a3b3aba2b2a3(1a)3a(1a)a2(1a)2a313a3a2a3aa2a212aa20，即a3b3aba2b20.必要性：a3b3aba2b20，(ab)(a2abb2)(a2abb2)0，(a2abb2)(ab1)0.ab0，a0且b0，a2abb20.ab10，ab1.综上可知，当ab0时，ab1是a3b3aba2b20的充要条件充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要
7、性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”“结论”，必要性需要证明“结论”“条件”针对训练2已知a，b是实数，求证：a2b21是a4b42b21成立的充分条件该条件是否为必要条件？试证明你的结论证明因为a2b21，所以a4b42b2(a2b2)(a2b2)2b2(a2b2)2b2a2b21.即a2b21是a4b42b21成立的充分条件另一方面，若a4b42b21，即a4(b42b21)0，a4(b21)20，(a2b21)(a2b21)0.又a2b210，所以a2b210，即a2b21.因此a2b21是a4b42b21成立的必要条件.题型三
8、探求充要条件【典例3】求关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件思路导引至少有一个负根可能是一个负根也可能是两个负根，需要分类讨论解当a0时，方程为一元一次方程，其根为x，符合要求当a0时，方程为一元二次方程，此时ax22x10有实根的充要条件是判别式0，即44a0，从而a1.设方程ax22x10的两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x2.()方程ax22x10有一负根一正根的充要条件为a0；()方程ax22x10有两个负根的充要条件为0a1.综上所述，方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.探求充要条件的2种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，
9、寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证针对训练3已知方程x2(2k1)xk20，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件解方程x2(2k1)xk20，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：k2.所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k2.课堂归纳小结1充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法2充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明在证明时要注意两种叙述方式的区
10、别：p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性；p的充要条件是q，则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.1设xR，则“x1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析因为x1，而|x|1x1，故“x1”的充分不必要条件答案A2“x2(y2)20”是“x(y2)0”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析x2(y2)20，即x0且y2，x(y2)0.反之，x(y2)0，即x0或y2，x2(y2)
11、20不一定成立答案B3已知A，B是非空集合，命题p：ABB，命题q：AB，则p是q的()A充要条件 B充分不必要条件C既不充分也不必要条件 D必要不充分条件解析由ABB，得AB或AB；反之，由AB，得ABB，所以p是q的必要不充分条件答案D4关于x的不等式|x|a的解集为R的充要条件是_解析由题意知|x|a恒成立，|x|0，a0.答案ay，求证：0.证明证法一：充分性：由xy0及xy，得，即.必要性：由，得0，即y，所以yx0.所以0.证法二：0yyx0，故由0.所以0，即0.课后作业(七)复习巩固一、选择题1已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的()A充分条件 B必要条件C充要
12、条件 D既不充分也不必要条件解析逆命题“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件答案B2设xR，则“x”是“2x2x10”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析不等式2x2x10，即(x1)(2x1)0，解得x或x可以得到不等式2x2x10成立，但由2x2x10不一定得到x，所以“x”是“2x2x10”的充分而不必要条件答案A3函数yx2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是()Am2 Bm2Cm1 Dm1解析函数yx2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是1，即m2，故选A.答案A4已知p：x1或x3，q：x5，则p是q的()A充分不必要条件
13、B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由x|x5是x|x1或x3的真子集，可知p是q的必要不充分条件答案B5若x，yR，则“x1，y1”是“x2y21”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析因为若x，yR，x1，y1，则x2y21不一定成立，所以充分性不成立若x2y21，则可得x1且y1，所以必要性成立答案B二、填空题6“x210”是“|x|10”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)答案充要7如果不等式xm成立的充分不必要条件是1x2，则m的最小值为_解析由题意可知：1x2xm，反之
14、不成立，所以m2，即m的最小值为2.答案28下列命题中是真命题的是_(填序号)x2且y3是xy5的充要条件；“x1”是“|x|0”的充分不必要条件；b24ac0是ax2bxc2且y3xy5，但由xy5不能推出x2且y3，所以x2且y3是xy5的充分不必要条件因为由x1|x|0，而由|x|0不能推出x1，所以x1是|x|0的充分不必要条件因为由b24ac0不能推出ax2bxc0时解集为)，而由ax2bxc0(a0)的解集为Rb24ac0，所以b24ac0是ax2bxc0(a0)的解集为R的必要不充分条件由三角形的三边满足勾股定理此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形该三角形的三边满足勾股定理
15、，故是真命题答案三、解答题9已知p：0mb”是“a|b|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C既是充分条件，也是必要条件D既不充分也不必要条件解析若ab，不如令a1，b2，则a|b|不成立，所以充分性不成立，若a|b|，则有ab，所以“ab”是“a|b|”的必要不充分条件答案B12设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙是甲的充要条件D丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析因为甲是乙的必要条件，所以乙甲又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙
16、，但乙丙，如图综上，有丙甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件答案A13“|x1|2成立”是“x(x3)0成立”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析|x1|21x3，x(x3)00x3，x|0x3x|1x3，由此可知“|x1|2成立”是“x(x3)0成立”的必要不充分条件答案必要不充分14设p：x1；q：axa1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析q：axa1，p是q的充分不必要条件，解得0a.答案15设a，b，c为ABC的三边，求证：方程x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90.证明必要性：设方程x22axb20与x22cxb20有公共根x0，则x2ax0b20，x2cx0b20，两式相减，可得x0，将此式代入x2ax0b20整理得b2c2a2，故A90.充分性：A90，b2c2a2，b2a2c2.将此式代入方程x22axb20，可得x22axa2c20，即(xac)(xac)0，将b2a2c2代入方程x22cxb20，可得x22cxc2a20，即(xca)(xca)0，故两方程有公共根x(ac)方程x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90.
