1、高考资源网（） 您身边的高考专家沈阳二中20152016学年度下学期第一次模拟考试高三（16届）数学（理）试题命题人：高三数学组 审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第卷（60分）一选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，则等于( )A. B. C. D.【知识点】函数的定义域与值域集合的运算【试题解析】因为所以，故答案为：B【答案】B2. 设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则实数的值为（）A.4 B.1 C.4 D.1【知识点】复数综合运算【
2、试题解析】因为是纯虚数，所以，故答案为：C【答案】C3. 某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查，y与x具有相关关系，回归方程0.66x+1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ） A. 83% B. 72% C. 67% D. 66%【知识点】变量相关【试题解析】因为所以，故答案为：A【答案】A4. 下列叙述中正确的是（ ）A若，则“”的充分条件是“”B若，则“”的充要条件是“”C命题“对任意，有”的否定是“存在，有”D是一条直线，是两个平面，若，则 【知识点】全称量词与存
3、在性量词充分条件与必要条件【试题解析】因为A的条件需再加上，B的条件需加上，C最后应为，D是一个定理。所以，只有D正确故答案为：D【答案】D5. 的展开式中，x3的系数等于（）A15B15C20D20【知识点】二项式定理与性质【试题解析】因为，令得，所以，x3的系数为故答案为：B【答案】B6偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为（）A.1B.2C.3D.4【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为为偶函数，所以得，向右平移个单位得到，当时，为奇函数图象关于原点对称。所以，故答案为：B【答案】B7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体
4、中， 最长的棱的长度是（ ） A B C D【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为原几何体是一个四棱锥，底面ABCD 为一个直角梯形，侧棱SA垂直于底面，,计算得SC最长为所以，故答案为：D【答案】D8. 已知数列an的前n项和为Sn ，点(n，Sn)在函数f(x)=的图象上，则数列an的通项公式为（）ABCD【知识点】数列的递推关系积分【试题解析】因为，时，时，所以，故答案为：D【答案】D9已知一次函数满足且，那么对于a，使得在上恒成立的概率为（）A. B. C. . 【知识点】几何概型函数的单调性与最值【试题解析】因为,在上恒成立,则所以，故答案为：B
5、【答案】B10点、在半径为的同一球面上，点到平面的距离为，则点与中心的距离为（ ） A B C D【知识点】点线面的位置关系【试题解析】因为设中心为D,计算可得，设S在平面射影为H,则可得,可求得为所求。所以，故答案为：B【答案】B11.已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，则的取值范围是（） A.（0，2）B.（1，3）C.0，3D.1，3 【知识点】线性规划利用导数求最值和极值【试题解析】因为，因为，所以，所以，满足条件的区域为,，其中可看作与连线的斜率，由图可得得故答案为：B【答案】B12过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线的右支上的点到直线的距离恒大于，则双
6、曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D【知识点】双曲线【试题解析】因为斜率为正值的渐近线方程为与之平行的直线为由题意得两平行线的距离为化简得。所以，离心率的取值范围是故答案为：A【答案】A第卷（90分）二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13. 抛物线的准线方程是.【知识点】抛物线【试题解析】因为得所以，准线方程为故答案为：【答案】14. 公元年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限 增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”如图是利用刘
7、徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为 （参考数据：，）【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为；输出所以，故答案为： 24【答案】2415已知两个非零平面向量满足：对任意恒有，若，则 .【知识点】数量积的应用【试题解析】因为由已知平方得，所以，故答案为：816. 已知等比数列an中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是 。【知识点】等比数列【试题解析】因为当时，当时，所以，S3的取值范围是故答案为：【答案】三、解答题（共70分）17.（本小题满分12人）ABC中，AB2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD （）求BC的长；（）求DBC的面积。【知识点】余弦定理倍角公式【试题
8、解析】解（）cosABC在ABC中，设BC=a，AC=3b 9b2 在ABD中，cosADB在BDC中，cosBDCcosADB=cosBDC= 由，BC=3（）【答案】见解析18.（本小题满分12人）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。 （）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差。 （）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。【知识点】概率综合茎叶图【试题解析】解：()当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10。所以平均数为；方差为()当X=9时，
9、由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有44=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21。事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y=17)=。同理可得P(Y=18)；P(Y=19)=；P(Y=20)=；P(Y=21)=。所以，随机变量Y的分布列为：EY=171819202119。【答案】见解析19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC是边长为2的等边三角形，AA1
10、平面ABC，点E是AB的中点，CE平面A1BD。（）求证：点D是CC1的中点；（）若A1DBD，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值。【知识点】立体几何综合【试题解析】解：（）取A1B1的中点F，连接FC1，EF，设EF，A1B=G，连接CD，由作图过程易得：四边形CEFC1为平行四边形，ECAA1。在AA1B中，点E是AB的中点，点G是A1B的中点，EG=AA1=CC1。又CE平面A1BD，CE平面EFC1C，且平面EFC1C平面A1BD=DG，DGCE，又EGCD四边形CEGD为平行四边形，CD=EG=CC1，点D是CC1的中点（）由（）知EFAA1，AA1平面ABC，EF
11、平面ABC又ABC是边长为2的等边三角形，点E是AB的中点，CEAB且CE=如图，建立空间直角坐标系E-xyz，设EF=2h，则B(1,0,0)，C(0,0)，F(0,0,2h)，A1(-1,0,2h)，D(0,h)，由A1DBD可知：，h=由z轴平面ABC可得：平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)。设平面A1BD的法向量为=(x,y,z)，由，得，令x=，则平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为。【答案】见解析20.（本小题满分12分）已知椭圆离心率为，点在短轴CD上，且.（I）求椭圆E的方程；（II）过点P的直线与椭圆E交于A,B两点.（i）若，求直线的方程；（ii）在
12、y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.【知识点】椭圆【试题解析】解：（）由题意，又，所以椭圆E的方程（）当直线斜率不存在时，不符合题意，不存在这样的直线。当直线斜率存在，设方程为联立方程，整理得由韦达定理得由题意知，定点Q只可能是下面证明存在点对任意斜率存在的直线，均有，为的角平分线，只需证明：，由（1）中韦达定理得成立即在y轴上，存在与点P不同的定点，使得恒成立。【答案】见解析21.（本小题满分12分）已知函数.（）若曲线在点（2，f(2)）处的切线的斜率小于0，求的单调区间；（）对任意的，恒有，求正数的取值范围。【知识点】导数的综合运用
13、【试题解析】解：()，若曲线在点（2，f(2)）处的切线的斜率小于0，则，即有，2a+121，则由f(x)0得0x2a+1；由得1x2a+1。f(x)的单调递增区间为(0，1)，（2a+1，），单调递减区间为(1，2a+1)。()，(2a+1)4，6，由()知f(x)在1，2上为减函数。不妨设1x1f(x2)，原不等式即为：f(x1)-f(x2)，即，对任意的，x1，x21，2恒成立。令g(x)=f(x)-，对任意的，x1，x21，2有g(x1)g(x2)恒成立，g(x)=f(x)-在闭区间1，2上为增函数，对任意的，x1，2恒成立。而，化简得，即，其中。1，2，只需，即对任意x1，2恒成立，
14、令恒成立，在闭区间1，2上为减函数，则。由，解得。【答案】见解析请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，圆的半径为6，线段与圆相交于点，与圆相交于点.（）求长；（）当时，求证：.【知识点】几何选讲【试题解析】解：（I），（II），【答案】见解析23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为.（为参数）（）写出直线与曲线的直角坐标方程；（）过点且平行于直线的直线与曲线交于两点，若， 求点轨迹的直角坐标方程.【知识点】参数方程【试题解析】解（I）直线，曲线（II）设点及过点的直线为（为参数）由直线与曲线相交可得：，即：，表示一椭圆，取代入，得：，由得，故点的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段弧【答案】见解析24. （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲（）设不等式2|x1|x+2|2恒成立，求实数a的取值范围。【知识点】绝对值不等式【试题解析】解：（）记由，解得，则，所以（）不等式等价于，于是，即，所以【答案】见解析高考资源网版权所有，侵权必究！
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