1、2019-2020学年度第二学期高三最后一卷数学2020.06（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合，则，则实数的值是 2已知复数满足(i为虚数单位)，则 3某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取 名志愿者 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法
2、，最后输出的的值为 S0I 1While I4SS+5I I +1End WhilePrint S 第4题图 第9题图5已知抛物线的准线也是双曲线的一条准线，则该双曲线的两条渐近线方程是 6某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为 7已知数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是 8已知，则的解集为 9如图，已知正是一个半球的大圆的内接三角形，点在球面上，且面，则三棱锥与半球的体积比为 10已知，则 . 11设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为 .12已知点是边长为2的正内一点，且，若，则 的最小值为
3、 .13已知等腰梯形中，若梯形上底上存在点，使得，则该梯形周长的最大值为 .14锐角中，分别为角的对边，若，则的取值范围为 .二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）设函数，.(1) 求的最小正周期和对称中心；(2) 若函数，求函数在区间上的最值16（本小题满分14分）如图，四面体被一平面所截，平面与四条棱分别相交于四点，且截面是一个平行四边形，平面，. 求证：(1) ；(2) 平面.17.（本小题满分14分）如图，边长为1的正方形区域OABC内有以OA为半径的圆弧. 现决定从AB边上一点D引一条线段DE与圆弧相切于点E，从
4、而将正方形区域OABC分成三块：扇形COE为区域I，四边形OADE为区域II，剩下的CBDE为区域III.区域I内栽树，区域II内种花，区域III内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为、，总造价是W，设.(1) 分别用表示区域I、II、III的面积；(2) 将总造价W表示为的函数，并写出定义域；(3) 求为何值时，总造价W取最小值？18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，左顶点为，右焦点为. 已知斜率为2的直线经过点，与椭圆相交于两点，且到直线的距离为. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 若过的直线与直线分别相交于两点，且，求的值. 19（本小题满分16分
5、）已知函数. (1) 若曲线与直线在处相切. 求的值； 求证：当时，；(2) 当且时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.20（本小题满分16分）已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且. (1) 若，求的值；(2) 若，求证：数列是等差数列； (3) 若，是否存在实数，使得对任意正整数恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，说明理由.扬州市2020届高三考前调研测试数学（全卷满分40分，考试时间30分钟）20200621. 已知矩阵，求矩阵的逆矩阵的特征值22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是：.以为极点,轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为若直线与曲线相交于两点,且,求
6、实数的值.23. 如图，在三棱锥中，已知，都是边长为2的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记(1) 当时，求异面直线与所成角的余弦值；(2) 当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值.24. 一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫猫争先恐后地往外钻.如果10只猫都钻出了笼子，以表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数例如，在出笼顺序为“”中，则(1) 求三只黑猫挨在一起出笼的概率；(2) 求的分布列和数学期望.2019-2020学年度第二学期高三最后一卷参考答案一、填空题1. 2. 53. 154. 155. 6. 7. 18. 9. 10
7、. 11. 212. 13. 14. 二、解答题15解：(1) 由已知，f(x)cos x(sin xcos x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)+sin 2xcos 2xsin(2x) 4分来最小正周期为，对称中心为.7分(2) 8分在区间上单调递增 .10分 12分 14分16. 证明：(1) 因为四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面， .4分又平面，平面平面，所以. .7分(2) 因为平面，平面，所以， 由(1)知，所以. .10分因为，所以. .12分又，、平面， 所以平面. .14分17. 解：(1)如图， 2分连接OD，则， 4分.
8、 5分(2) ， 7分由，知，所以函数的定义域为 9分(3) ， 11分由，得或（舍去）又，所以 当时， ，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，所以当时，取最小值.答：时，总造价W取最小值 14分18解：(1) 设椭圆的焦距为，则直线的方程为，即.因为到直线的距离为，所以，则. .3分因为椭圆的右准线的为直线，则，所以，故椭圆的标准方程为. .4分(2) 由(1)知：，设，.由得，则 .6分由，可知，由得， .9分同理，因为，所以，由图可知， .12分所以，即，所以 .14分. .16分19. 解：(1) 因为，所以.因为曲线与直线在处相切，所以，所以.所以，所以. 又切点在直线上，所以
9、，所以，所以；4分 由知，可设，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，由，所以，所以存在，使得， 8分所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以当时， 故当时， 10分(3）先证. 构造函数，则.故当时，在上递增，当时，在上递减，所以，即 12分又当，且时，等价于故原题等价于时，有解.因为（当时取等号），所以. 16分20. (1) 解：由，令，得，因为数列的各项均为非零实数，所以，所以，所以. 3分(2) 证明：由得：，相乘得：，因为数列的各项均为非零实数，所以，当时：，所以，即，即，因为，所以，所以数列是等差数列，首项为，
10、公差为，所以，所以，所以，所以，所以，所以数列是等差数列. 9分(3) 解：当，时，由(2)知，所以，即，不妨设，则，所以，即对任意正整数（）恒成立，则，即对任意正整数恒成立，设，则，设，则，当时，所以，所以，所以，所以，当且时，所以不存在满足条件的实数. 16分三、加试题21. 解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故，.所以矩阵A的逆矩阵为. 5分矩阵的特征多项式为 令，解得的特征值为 10分22. 解：曲线的直角坐标方程为，表示圆心为，半径为的圆由，得，2分设圆心到直线的距离为，则， 4分所以，令，得或10分23. 解：连接CE，因为BCD为正三角形，所以DB又因为平面，平面BCD，所以AECE 以为正交基底建立如图空间直角坐标系，则，因为F为线段AB上一动点，且，则，所以.（1）当时，所以；4分（2）， 设平面的一个法向量为=由,得，化简得，取又平面的一个法向量为设平面与平面所成角为，则.解得或（舍去），所以. 10分24. 解：(1) 设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件A，则答：三只黑猫挨在一起出笼的概率为 3分(2) X的取值为：1、2、3、4.其中=1时，7只白猫相邻，则；时，；所以. 10分数学试题第18页
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