1、第2课时函数奇偶性的应用1掌握用奇偶性求解析式的方法2理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式3理解函数的奇偶性的推广对称性奇函数、偶函数的性质(1)若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)0.(2)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致(3)若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反1观察下图，思考以下问题：(1)奇函数、偶函数在原点处一定有定义吗？若有定义，f(0)的值能确定吗？(2)函数的奇偶性如何影响函数的单调性？答案(1)不一定奇函数在原点处有定义，则f(0)0；偶函数在原点处有定义，f(0)的值不确定(2)奇函数
2、在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)0，xR既是奇函数又是偶函数()(2)在公共的定义域内，若f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则f(x)g(x)为奇函数()(3)偶函数f(x)在x0时有意义，则f(0)0.()(4)f(x)是定义在R上的奇函数的必要不充分条件是f(0)0.()答案(1)(2)(3)(4)题型一 利用奇偶性求函数的解析式【典例1】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1，求：(1)f(0)；(2)当x0时的解析式，确定x0时的解析式解(1)因为函数f(x)是定义
3、在R上的奇函数，所以f(0)f(0)，即f(0)0.(2)当x0，f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以f(x)2x23x1，x0.(3)函数f(x)在R上的解析式为f(x)变式若将本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x0时，函数f(x)的解析式解当x0，f(x)2(x)23(x)12x23x1.f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)2x23x1，x0时，f(x)2x1，求函数f(x)的解析式解当x0，f(x)2(x)12x1.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)2x1.又f(x)(xR)是奇函数，f(0)f(0)，即f(
4、0)0.所求函数的解析式为f(x)题型二 函数的单调性与奇偶性【典例2】(1)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，在2,6上是减函数，比较f(5)与f(3)的大小；(2)设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上是减函数，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围思路导引(1)利用函数奇偶性，得f(5)f(5)，将自变量的取值转化到同一单调区间内来比较大小；(2)利用偶数在对称区间上单调性相反，将问题转化为自变量取值与原点距离的大小问题求解解(1)因为f(x)是偶函数，所以f(5)f(5)，因为f(x)在2,6上是减函数，所以f(5)f(3)，所以f(5)f(3)(2)因为f(x)是偶函
5、数，所以f(x)f(x)f(|x|)所以不等式f(1m)f(m)可转化为f(|1m|)f(|m|)又当x0,2时，f(x)是减函数，所以解得1m.即m的取值范围是.奇偶性与单调性综合问题的2种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； 不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小(2)解不等式利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解针对训练2如果奇函数f
6、(x)的区间7，3上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间3,7上是()A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为5解析f(x)为奇函数，f(x)在3,7上的单调性与7，3上一致，且f(7)为最小值又已知f(7)5，f(7)f(7)5，选C.答案C3奇函数f(x)是定义在(1,1)上的减函数，若f(m1)f(32m)0，求实数m的取值范围解原不等式化为f(m1)f(32m)因为f(x)是奇函数，所以f(m1)2m3，所以m2.又f(x)的定义域为(1,1)，所以1m11且132m1，所以0m2且1m2，所以1m2.综上得1m0时，f(x)x1，则当x0
7、时，f(x)的解析式为()Af(x)x1Bf(x)x1Cf(x)x1Df(x)x1解析设x0.f(x)x1，又函数f(x)是奇函数f(x)f(x)x1，f(x)x1(xf(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf(3)f(2)f()Df(3)f()f(2)解析f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上单调递增，且23f(3)f(3)f(2)答案A3已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围为()A. B.C. D.解析由于f(x)为偶函数，且在0，)上单调递增，则不等式f(2x1)f，即2x1，解得x1时，f(x)0，且f(2
8、)1.(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(0，)上的单调性；(3)求函数f(x)在区间4,0)(0,4上的最大值；(4)求不等式f(3x2)4的解集解(1)令xy1，则f(11)f(1)f(1)，得f(1)0；再令xy1，则f(1)(1)f(1)f(1)，得f(1)0.对于条件f(xy)f(x)f(y)，令y1，则f(x)f(x)f(1)，f(x)f(x)又函数f(x)的定义域关于原点对称，函数f(x)为偶函数(2)任取x1，x2(0，)，且x11.又当x1时，f(x)0，f0.而f(x2)ff(x1)ff(x1)，函数f(x)在(0，)上是增函数(3)f(4)f(22
9、)f(2)f(2)，又f(2)1，f(4)2.又由(1)(2)知函数f(x)在区间4,0)(0,4上是偶函数，且在(0,4上是增函数，函数f(x)在区间4,0)(0,4上的最大值为f(4)f(4)2.(4)422f(4)f(4)f(16)，原不等式转化为f(3x2)f(16)又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，)上是增函数，原不等式又转化为|3x2|16，即3x216或3x216，不等式f(3x2)4的解集为x.点评对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段具体的解题策略是：首先通过赋值得到f(1)，f(0)，f(1)之类的特殊自变量的函数值，然后再通过赋值构造f(x)与
10、f(x)或f(x2)与f(x1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断课后作业(二十二)复习巩固一、选择题1下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，)上单调递减的函数为()AyByCyx2Dy2x解析易判断A、C为偶函数，B、D为奇函数，但函数yx2在(0，)上单调递增，所以选A.答案A2已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，则f(x)在R上的表达式是()Ayx(x2)Byx(|x|2)Cy|x|(x2)Dyx(|x|2)解析由x0时，f(x)x22x，f(x)是定义在R上的奇函数得，当x0，f(x)f(x)(x22x)x(x2)f(x)即f(x)x(|x|2)答案D
11、3若函数f(x)ax2(2a)x1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为()A(，0B0，)C(，)D1，)解析因为函数为偶函数，所以a20，a2，即该函数f(x)2x21，所以函数f(x)在(，0上单调递增答案A4f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2a)f(4a)0，则a的取值范围是()Aa1Ba1Da3解析f(x)在R上为奇函数，f(2a)f(4a)0转化为f(2a)a4，得a3.答案B5奇函数f(x)在区间3,6上是增函数，在区间3,6上的最大值为8，最小值为1，则f(6)f(3)的值为()A10B10C9D15解析由于f(x)在3,6上为增函数，f(x)的最大值为f(6)
12、8，f(x)的最小值为f(3)1，f(x)为奇函数，故f(3)f(3)1，f(6)f(3)819.答案C二、填空题6已知yf(x)是奇函数，若g(x)f(x)2且g(1)1，则g(1)_.解析因为g(x)f(x)2，g(1)1，所以1f(1)2，所以f(1)1，又因为f(x)是奇函数，所以f(1)1，则g(1)f(1)23.答案37设函数yf(x)是偶函数，它在0,1上的图象如图则它在1,0)上的解析式为_解析由题意知f(x)在1,0)上为一条线段，且过(1,1)，(0,2)，设f(x)kxb(1x0)，代入解得k1，b2，所以f(x)x2(1x0)答案f(x)x2(1x0时，f(x)x22x
13、1，求函数f(x)的解析式解当x0，f(x)(x)22x1.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)x22x1，f(x)(xR)是奇函数，f(0)0.所求函数的解析式为f(x)10设f(x)在R上是偶函数，在(，0)上递减，若f(a22a3)f(a2a1)，求实数a的取值范围解由题意知f(x)在(0，)上是增函数又a22a3(a1)220，a2a120，且f(a22a3)f(a2a1)，所以a22a3a2a1，解得a.综上，实数a的取值范围是.综合运用11若f(x)满足f(x)f(x)在区间(，1上是增函数，则()Aff(1)f(2)Bf(1)ff(2)Cf(2)f(1)fDf(2)ff(
14、1)解析由已知可得函数f(x)在区间1，)上是减函数，ff，f(1)f(1)1ff(2)，即f(2)ff(1)答案D12若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)x23x1，则f(x)()Ax2B2x2C2x22Dx21解析因为f(x)g(x)x23x1, 所以f(x)g(x)x23x1.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)；g(x)为奇函数，g(x)g(x)，所以f(x)g(x)x23x1. 联立可得f(x)x21.答案D13已知函数f(x)是定义在x|x0上的奇函数，当x0时，f(x)的递减区间是_解析当x0时，f(x)的递减区间是.答案14若函数f(x)是定义在R上
15、的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是_解析由题意知f(2)f(2)0，当x(2,0)时，f(x)f(2)0，由对称性知，x0,2)时，f(x)为增函数，f(x)f(2)0，故x(2,2)时，f(x)0.答案(2,2)15定义在R上的函数f(x)，满足对x1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在0，)上是增函数，试求实数x的取值范围解(1)令x1x20，得f(0)0，令x1x，x2x，得f(0)f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)因为f(4)1，所以f(8)f(4)f(4)2，所以原不等式化为f(x1)f(8)又因为f(x)在0，)上是增函数，f(0)0且f(x)是奇函数，所以f(x)在(，)上是增函数，因此x18，所以x9，所以实数x的取值范围是(，9)
