1、第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设命题，则为（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】本题主要考查命题及其关系，全称量词与存在量词.因为全称量词的否定是存在量词，的否定是.所以 ： ，故本题正确答案为B.2. 已知复数，若复数，则实数的值为（ ）A. B. 6 C. D. 【答案】D点睛：本题是一道有关复数基本概念及其运算的题目，关键是熟悉复数的除法法则和复数的基本概念.3. 已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为，则等于（ ）A. B. C. 7 D. 【答案】D【解析】因为双曲线的焦
2、点在轴上，所以该双曲线的标准方程为（其中）.又因为焦距为，所以.所以. 故本题正确答案为D.4. 已知，则的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以.所以 .故选B.5. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）A. 60 B. 65 C. 80 D. 81【答案】B点睛：本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容，先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住只能取相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问题，要注意分类列举方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况.6. 如图是某
3、个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 7. 设实数，满足，则的最大值为（ ）A. 25 B. 49 C. 12 D. 24【答案】A【解析】不等式组的图象如图由图象知 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，经检验 在可行域内，故 的最大值为25.故选A. 8. 已知等比数列，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由定积分的几何意义，表示圆 在第一象限的部分与坐标轴所围成的扇形的面积，即=4 ，所以 .又因为为等比数列，所以 .故选D.9. 若实数、，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D点睛：本题主要考查均值不等式的灵活
4、应用，关键是对已知等式分解为.10. 椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，当的周长最大时，的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设椭圆右焦点为，则，当三点共线时，等号成立，所以 的周长，此时，所以此时的面积为，故选择C.点睛：本题关键是通过图形分析，考虑到，当三点共线时，等号成立，这样就可以根据椭圆定义将周长转化为定值，这样就可以得出直线过右焦点，此时为通径，于是的面积易求.本题把直线与椭圆的位置关系巧妙的结合，考查学生分析问题，转化问题的能力.11. 四面体中，则四面体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】将四面体置于一个长方体中，所以四面体的外接
5、球即为长方体的外接球，设长方体的长、宽、高分别为，则根据图形可有，则外接球的直径，所以，则球的表面积为，故选择C. 点睛：解决关于四面体外接球的问题关键是抓住外接的特点，即四面体各个顶点在球面上，且球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用.对于特殊类型的问题，我们可以将其还原为规则的几何题，如正方体、正四棱柱、长方体、正三棱柱等等，还原后可以转化为求长方体等特殊几何体的外接球，使问题变得简单、易于理解.12. 设函数满足，则时，的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D点睛：本题主要考察导数的灵活应用，技巧性很强，关键是把条件等式化为的形式，再构造函数即可求解.
6、第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为_【答案】【解析】因为数字5288的个位数字8用，百位数字2用纵式分别表示为，数字5288的十位位数字8用，千
7、位数字5用横式分别表示为，.故答案为.14. 若数列的前项和为，且，则的通项公式是_【答案】点睛：本题主要考察数列项与和的关系，数列的通项an与前n项和Sn的关系：数列的前n项和通常用Sn表示，记作Sna1a2an，则通项an (提示：若当n2时求出的an也适合n1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示)15. 已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率_【答案】【解析】如图所示16. 在中，为平面内一点，且，为劣弧上一动点，且，则的取值范围为_【答案】【解析】由题可知为的外接圆圆心，如图所示，则，所以由有 ，即，由于为劣弧上一动
8、点，所以，所以 ，即，又可得：，所以，则，所以.点睛：平面向量中的最值或取值范围问题是考查的热点内容，多以下列角度进行考查：（1）求数量积的最值或范围；（2）求模的最值；（3）球夹角的最值或范围；（4）求其他参数的取值范围或最值.这类题往往具有较强的综合性，常常与不等式、函数相结合进行考查，难度较大，通常以客观题形式考查. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，角、所对的边分别是、，已知，且.（1）当，时，求、的值；（2）若角为锐角，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：试题解析：由题意得,. (I) 当时，, 解得 (
9、II),又由可得所以.18. 为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标）、推理（能力指标）、建模（能力指标）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养；若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：学生编号（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求随机变量的分布列及其数学期望.【答案】（
10、1）（2）【解析】试题分析：(1)由题可知：建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是.(2) 由题可知，数学核心素养一级：，数学核心素养不是一级的：；的可能取值为1,2,3,4,5. 具体如下：学生编号综合指标7795786846核心素养等级一级一级一级二级一级一级二级一级三级二级随机变量的分布列为12345 .19. 如图，在四边形中，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由，可得.由可得.从而平面（2）分别以直线，为轴，轴
11、，轴的如图所示建立空间直角坐标系，令(). 平面的一个法向量=(1,), =(1,0,0)是平面的一个法向量.,当时，有最小值. (II)由(I)可建立分别以直线，为轴，轴，轴的如图所示建立空间直角坐标系，,当时，有最小值，点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.20. 已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由圆与直线相切，可得.然后设动点，即可求解.（2）设出直线的，分斜率存
12、在和不存在两种情形，以为直径的圆过坐标原点可转化为 .再把直线方程和椭圆方程联立（II）（1）假设直线的斜率存在，设其方程为，设联立，可得 由求根公式得（*）以为直径的圆过坐标原点，即即化简可得，将（*）代入可得，即即，又将代入，可得 当且仅当，即时等号成立又由，点睛：本题第（2）容易忘记讨论斜率不存在的情形.21. 已知函数，.（1）函数，求函数的最小值；（2）对任意，都有成立，求的范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由题意知.由，得.分三种情形讨论即可求解.（2）设，则对任意，都有成立.由 ，对分三种情形讨论，需要再次对导函数求导，难度较大.试题解析：（I）.，令得.
13、当即时，在上，递增，的最小值为.当即时，在上，为减函数，在在上，为增函数. 的最小值为.当即时，在上，递减，的最小值为. 综上所述，当时的最小值为，当时的最小值为,当时，最小值为. 递增，当时，递减. ，又由于,在上，递增，又,所以在上，显然不合题意. 综上所述：.点睛：第（1）问对.分三种情形讨论，相对简单.第（2）问对分三种情形讨论，难度较大，符合课标全国卷的特点.22. 以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.【答案
14、】（1）（2）2.【解析】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标互化公式，根据可得，所以曲线C的直角坐标方程为 ；（2）本问考查直线参数方程标准形式下的几何意义，即将直线参数方程的标准形式，代入到曲线C的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，设两点对应的参数分别为，列出，于是可以求出的最小值.考点：1.极坐标方程；2.参数方程.23. 已知函数.（1）若，使得成立，求的范围；（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）本问考查不等式有解问题，若，使得成立，则转化为，可以转化为分段函数求的最小值，也可以根据绝对值三角不等式求最小值；（2）本问考查绝对值不等式的解法，分区间进行讨论，分别求出，不等式的解集，然后取并集即可. 试题解析：（I）当 所以 考点：1.不等式有解问题；2.绝对值不等式的解法.
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