1、目标导航1掌握正切函数的性质(重点)2能借助单位圆中的正切线画出正切函数的图象(难点)3能够利用正切函数的图象与性质解决问题(重、难点)1 新知识预习探究 知识点一 正切函数的性质阅读教材 P42P43，完成下列问题【练习 1】(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数在整个定义域内是增函数()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数()(3)函数 ytanx 为奇函数，故对任意 xR 都有 tan(x)tanx.()知识点二 正切函数的图象阅读教材 P44，完成下列问题(1)函数 ytanx，x2，2 的图象画法作直角坐标系，并在直角坐标系 y 轴作单位圆左侧把单位圆右半圆分成 8 等份，分
2、别在单位圆中作出描点(横坐标是一个周期的 8 等分点，纵坐标是相应的正切线)连线正切线(2)函数 ytanx，xR，xk2，kZ 的图象画法根据正切函数的周期性，只要把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数 ytanx，xR，x2k，kZ 的图象，我们把它叫做正切曲线【思考】(1)正切曲线与直线 x2k(kZ)相交吗？为什么？(2)正切曲线是中心对称图形吗？对称中心是什么？【提示】(1)不会相交因为正切函数的定义域为x|xk2，kZ，所以正切曲线与直线 x2k(kZ)不会相交，即正切曲线是由相互平行的直线 x2k(kZ)隔开的无穷多支曲线组成的(2)由函数图象知，正切曲线是中心对称图形，对称
3、中心为k2，0，kZ.【练习 2】函数 ytan12x3 在一个周期内的图象是()ABCD解析：函数 ytan12x3 的周期为 2，排除 C、D 项；又当 x6时，y1，排除 B 项，故选 A.答案：A2 新视点名师博客1.正切函数和正弦函数、余弦函数的不同之处(1)正切函数 ytanx 的定义域是x|xR 且 x2k，kZ，这与正弦函数、余弦函数不同(2)正切函数 ytanx 的最小正周期是，这与正弦函数、余弦函数不同(3)正切函数无单调减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间(4)正切函数是奇函数，图象关于原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中心
4、坐标是k2，0，kZ，正切函数的图象无对称轴，而正弦函数、余弦函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形2正切函数的定义域(1)求与三角函数有关的函数定义域，对于自变量，必须满足：使三角函数有意义例如，若函数含有 tanx，则 xk2，kZ.分式形式的分母不等于零偶次根式的被开方数不小于零(2)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可以利用基本三角函数的图象或单位圆中的三角函数线直观地求得其解集3 新课堂互动探究 考点一 与正切函数有关的定义域问题例 1求函数 y tanx1lg(1tanx)的定义域分析：首先列出使每个式子有意义的不等式组，然后解不等式组解
5、析：由题意得tanx10，1tanx0，即1tanx1.在2，2 内，满足上述不等式的 x 的取值范围是4，4.又 ytanx 的周期为，所以所求 x 的范围是k4，k4，kZ.即为此函数的定义域点评：求有关正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数本身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式或不等式组变式探究 1 求函数 y3tanx的定义域解析：由 3tanx0，即 tanx 3，k2xk3，故函数的定义域为k2，k3(kZ)答案：k2，k3(kZ)考点二 正切函数的单调性及应用例 2(1)求函数 ytan12x4 的单调区间，并求其周期；(2)比较 tan1，tan2，tan3
6、 的大小分析：解(1)可先用诱导公式将 x 的系数化为正数，再把x24看作整体，代入相应的区间，解出 x 的范围；解(2)可先把角化到一个单调区间中，再利用单调性比较大小解析：(1)ytan12x4 tan12x4，由 k212x4k2，得 2k2x2k32(kZ)函数 ytan12x4 的单调递减区间是2k2，2k32(kZ)T|122，函数 ytan12x4 的周期为 2.(2)tan2tan(2)，tan3tan(3)，又22，220.23，230.显然22312，且 ytanx 在2，2 内是增函数，tan(2)tan(3)tan1，tan2tan3tan1.点评：(1)正切函数在每一
7、个单调区间内都是增函数，但在整个定义域内不是增函数，另外正切函数不存在减区间(2)对于求 yAtan(x)(A、为常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把 x 的系数化为正值，再由 k2xk2，求得 x 的范围即可(3)运用正切函数单调性比较大小的步骤：运用诱导公式将角化到同一单调区间内运用单调性比较大小关系变式探究 2(1)若 0，6，试比较 tan(sin)，tan(tan)，tan(cos)的大小；(2)求函数 ytan2x3 的单调区间解析：(1)06，0sintancos2，又ytanx 在0，2 上是增函数，tan(sin)tan(tan)tan(cos)(2)由 k22x3k2k6
8、2xk56k2 12xk2 512，kZ.故单调增区间为k2 12，k2 512(kZ).考点三 正切函数的周期性、奇偶性例 3画出函数 y|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性分析：画ytanx图象 y|tanx|图象 研究性质解析：由 y|tanx|得，y tanxkxk2kZtanx2kxkkZ)，其图象如图：由图象可知，单调递增区间为k，k2(kZ)，单调递减区间为k2，k(kZ)函数 y|tanx|是偶函数周期为.点评：(1)作函数 y|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：保留函数 yf(x)图象在 x 轴上方的部分；将函数 yf(x)的图象在 x
9、 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，扩展到定义域上即可变式探究 3 画出函数 ytan|x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性解析：由 ytan|x|得，y tanxx0且xk2，kZtanxxtan37Btan25tan158 Dtan134 tan125 答案：C5函数 f(x)tanx(0)的图象的相邻两支截直线 y1 所得线段长为4，则 f12 的值是_解析：由题意知4，4.f12 tan3 3.答案：35 辨错解走出误区易错点：对正切函数的单调性理解错误【典例】2014北大附中训练题求函数 y 3tanx 3的定义域【错解】由题意，得 tanx 33.解得 x6k，kZ.故原函数的定义域为x|x6k，kZ【错因分析】该解法错误地认为正切函数 ytanx 在整个定义域内是增函数，实际上，ytanx 只在区间2k，2k(kZ)上单调递增【正解】由题意，得 tanx 33.解得6kx2k，kZ.故原函数的定义域为x|6kx2k，kZ【反思】正切函数在每个单调区间内都是增函数，但不能说正切函数在整个定义域内是增函数.
