1、高考资源网（） 您身边的高考专家2016年福建省南平市浦城县高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合A=x|3x4，集合B=x|x1，则AB等于（）A（3，1）B4，1）C（，4）D（1，4）2已知复数z=的实部为1，则实数a等于（）A2B2C1D13已知向量=（2，1），=（1，7），则下列结论正确的是（）ABC（+）D（）4已知，则cosx等于（）ABCD5已知，是平面，m，n是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（）（ 1 ）若m，m，则（ 2 ）若m，n，m，n，则（ 3 ）如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交（ 4 ）若=m，nm，
2、且n，n，则n且nA1B2C3D46某单位从包括甲、乙在内的5名应聘者中招聘2人，如果这5名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是（）ABCD7已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=By=xCy=2xDy=8若函数f（x）=x2+x2alnx在1，e上单调递增，则实数a的取值范围是（）A（，B（，1C（1，D1，+）9已知函数f（x）=2sinxsin（x+3）是奇函数，其中（0，），则函数g（x）=cos（2x）的图象（）A关于点（，0）对称B可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D可由函数f（x）的图象向
3、左平移个单位得到10执行如图所示的程序框图，则“3m5”是“输出i的值为5”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）A3AB5AC2AD4A12已知函数f（x）=，且函数g（x）=loga（x2+x+2）（a0，且a1）在，1上的最大值为2，若对任意x11，2，存在x20，3，使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是（）A（，B（，C，+）D，+二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。13在ABC中，A=，b2sinC=sinB，则ABC的面积为14已知函数f（x）=，若不等
4、式f（x）a恒成立，则实数a的取值范围是15如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为16已知椭圆C； +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），P是椭圆C上一点，且|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=相切，则椭圆的离心率为三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17在等差数列an中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b1=1，b2+S3=21，b3=S2（1）求an与bn；（2）设数列bn的前n项和为Tn，求使不等式4TnS15成立的最小正整数n的值18如图，在四棱锥PABCD中，PA底面
5、ABCD，底面ABCD为梯形，ABDC，ABBC，AB=BC=PA=1，CD=2，点E在棱PB上，且PE=2EB（1）求证：PD平面EAC；（2）求证：平面APD平面EAC19某中学进行教学改革试点，推行“高效课堂”的教学法，为了比较教学效果，某化学老师分别用原传统教学和“高效课堂”两种不同的教学方式，在甲乙两个平行班进行教学实验，为了了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于70分者为“成绩优良”（1）分别计算甲乙两班20各样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）由以上统计数据填写下面的22列
6、联表，并判断“成绩优良”与教学方式是否有关？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：K2（x2）=独立性检验临界值表P（K2k）0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.63520已知圆M与圆N：（x）2+（y+）2=r2关于直线y=x对称，且点D（，）在圆M上（1）判断圆M与圆N的位置关系（2）设P为圆M上任意一点，A（1，）B（1，），与不共线，PG为APB的平分线，且交AB于G，求证PBG与APG的面积之比为定值21已知函数f（x）=x3mx2+mx（m0）（1）当m=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，且当0x
7、4m时，f（x）mx2+（m3m2）x+恒成立，求m的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E（1）求证：ABDE=BCCE；（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长选修4-4：坐标系与参数方程23已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是=asin，直线l的参数方程是（t为参数）（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）直线l被圆C截得的
8、弦长等于圆C的半径的倍，求a的值选修4-5：不等式选讲24已知实数a、b满足：a0，b0（1）若xR，求证：|x+a|+|xb|2（2）若a+b=1，求证： +122016年福建省南平市浦城县高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合A=x|3x4，集合B=x|x1，则AB等于（）A（3，1）B4，1）C（，4）D（1，4）【考点】并集及其运算【分析】结合集合并集的定义，可得答案【解答】解：集合A=x|3x4=（3，4），集合B=x|x1=（，1），则AB=（，4），故选：C2已知复数z=的实部为1，则实数a等于（）A2B2C1D1【考点
9、】复数代数形式的乘除运算【分析】由复数代数形式的除法运算化简，然后由实部等于1求解【解答】解：复数z=，复数z=的实部为1，6a=5，即a=1，故选：C3已知向量=（2，1），=（1，7），则下列结论正确的是（）ABC（+）D（）【考点】平面向量的坐标运算【分析】求出+，然后通过向量的数量积求解即可【解答】解：向量=（2，1），=（1，7），+=（3，6）（+）=66=0（+）=0故选：C4已知，则cosx等于（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值【解答】解：，sin（x+）=sin（x）=cosx=，cosx=故选：B5已知，是平
10、面，m，n是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（）（ 1 ）若m，m，则（ 2 ）若m，n，m，n，则（ 3 ）如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交（ 4 ）若=m，nm，且n，n，则n且nA1B2C3D4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用面面平行和妈妈垂直的判定定理分别分析解答【解答】解：对于（ 1 ），若m，m，则满足面面垂直的判定定理，所以正确；对于（ 2 ），若m，n，m，n，如果mn，则，可能相交，所以错误；对于（ 3 ），如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交或者平行；故（3）错误；对于（ 4 ），若=m，nm，且n，n，满足线面平行的判定定理，所
11、以n且n正确故选B6某单位从包括甲、乙在内的5名应聘者中招聘2人，如果这5名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】列举出所有可能的基本事件和符合条件的基本事件，使用古典概型的概率计算公式计算概率【解答】解：设剩余三名应聘者为a，b，c，则从5人中录用两人的所有可能结果共有10个，分别为（甲，乙），（甲，a），（甲，b），（甲，c），（乙，a），（乙，b），（乙，c），（a，b），（a，c），（b，c）其中甲乙两人至少有1人被录用的基本事件有7个，分别是（甲，乙），（甲，a），（甲，b），（甲，c），（乙，a），（乙，b
12、），（乙，c）甲、乙两人中至少有1人被录用的概率P=故选：B7已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=By=xCy=2xDy=【考点】双曲线的简单性质【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得a=，b=，由题意可得2=4，解得k，即有双曲线的方程和渐近线方程【解答】解：双曲线（k0）即为=1，可得a=，b=，由题意可得2=4，解得k=2，即有双曲线的方程为=1，即有渐近线方程为y=x故选：D8若函数f（x）=x2+x2alnx在1，e上单调递增，则实数a的取值范围是（）A（，B（，1C（1，D1，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由函数f（x）在1，e上单调递增，可得f
13、（x）0在1，e上恒成立即2x+10，x1，ea2x2min，x1，e利用二次函数的单调性求出即可【解答】解：函数f（x）=x2+x2alnx，（x1，e），f（x）=2x+1，函数f（x）在1，e上单调递增，f（x）0在1，e上恒成立2x+10，x1，ea（2x2+x）min，x1，e令g（x）=（2x2+x），则g（x）在1，e单调增函数g（x）g（1）=a故选：A9已知函数f（x）=2sinxsin（x+3）是奇函数，其中（0，），则函数g（x）=cos（2x）的图象（）A关于点（，0）对称B可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D可由函数f（
14、x）的图象向左平移个单位得到【考点】余弦函数的对称性【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数f（x）=2sinxsin（x+3）是奇函数，其中（0，），=，f（x）=2sinxsin（x+）=sin2x=cos（2x）=cos2（x），则函数g（x）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x） 的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，故选：C10执行如图所示的程序框图，则“3m5”是“输出i的值为5”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】程序框图；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】
15、根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，求出m的范围，结合充要条件的定义，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，S=2，i=2，应该不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S=6，i=3，应该不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S=13，i=4，应该不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S=23，i=5，应该满足退出循环的条件；故，解得：，故“3m5”是“输出i的值为5”的必要不充分条件，故选：B11某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）A3AB5AC2AD4A【考点】由三视图求面积、体积【分析】
16、由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，即可得到答案【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，四边形ABCD是一个边长为4的正方形，且AF面ABCD，DEAF，DE=4，AF=2，AFAB、DEDC、DEBD，EC=4，EF=FB=2，BE=4，A为此几何体所有棱的长度构成的集合，A=2，4，4，4，4，故选：D12已知函数f（x）=，且函数g（x）=loga（x2+x+2）（a0，且a1）在，1上的最大值为2，若对任意x11，2，存在x20，3，使得f（x1）g（x2），则实数m
17、的取值范围是（）A（，B（，C，+）D，+【考点】对数函数的图象与性质【分析】由已知函数g（x）=loga（x2+x+2）（a0，且a1）在，1上的最大值为2，先求出a值，进而求出两个函数在指定区间上的最小值，结合已知，分析两个最小值的关系，可得答案【解答】解：函数f（x）=31xm，当x11，2时，f（x1）m，9m；t=x2+x+2的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故x，1时，t，4，若函数g（x）=loga（x2+x+2）（a0，且a1）在，1上的最大值为2，则a=2，即g（x）=log2（x2+x+2），当x20，3时，g（x2）1，log214，若对任意x11，2，存在
18、x20，3，使得f（x1）g（x2），则m1，解得m（，故选：A二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。13在ABC中，A=，b2sinC=sinB，则ABC的面积为2【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理将角化边得到bc=4，代入面积公式即可求出【解答】解：b2sinC=sinB，b2c=4b，即bc=4SABC=bcsinA=2故答案为：214已知函数f（x）=，若不等式f（x）a恒成立，则实数a的取值范围是（，1【考点】函数恒成立问题【分析】求得f（x）的值域，运用二次函数和指数函数的单调性即可求得，再由不等式恒成立思想即可得到所求a的范围【解答】解：当x1时，f（x）=x22递
19、减，可得f（x）f（1）=12=1；当x1时，f（x）=2x1递增，可得f（x）f（1）=1=综上可得，f（x）的值域为（1，+）由不等式f（x）a恒成立，即有a1则a的范围是（，1故答案为：（，115如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，易知z=的几何意义是点B（x，y）与点A（1，0）连线的直线的斜率，从而解得【解答】解：由题意作平面区域如下，z=的几何意义是点B（x，y）与点A（1，0）连线的直线的斜率，故当B（1，1）时，z=有最小值，z=；故答案为：16已知椭圆C； +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），P是
20、椭圆C上一点，且|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=相切，则椭圆的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意画出图形，求解三角形得到F2到PF1所在直线距离，进一步得到O到PF1所在直线距离，结合直线PF1与圆x2+y2=相切列式求得椭圆的离心率【解答】解：如图，设直线PF1与圆x2+y2=相切于G，连接OG，过F2作F2HPF1于H，|PF2|=|F1F2|=2c，|PF1|=2a|PF2|=2a2c，则|PH|=ac，=|OG|=即3c2+2aca2=c2，2e2+2e1=0，解得e=（舍）或e=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、
21、证明过程或演算步骤17在等差数列an中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b1=1，b2+S3=21，b3=S2（1）求an与bn；（2）设数列bn的前n项和为Tn，求使不等式4TnS15成立的最小正整数n的值【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式【分析】（1）通过设等差数列an的公差为d、等比数列bn的公比为q（q0），利用b2+S3=21、b3=S2联立方程组计算可知q=d=3，进而计算可得结论；（2）通过（1）及等比、等差数列的求和公式计算可知Tn=、S15=360，代入化简即得结论【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q（q0），
22、则：b2+S3=b2+3a2=q+3（3+d）=21，q2=3+（3+d），整理得：，解得：或（舍），数列an是首项、公差均为3的等差数列，数列bn是首项为1、公比为3的等比数列，an=3n，bn=3n1；（2）由（1）可知Tn=，S15=360，不等式4TnS15成立等价于4360，即3n181，34=8118135=243，满足条件的最小正整数n=518如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为梯形，ABDC，ABBC，AB=BC=PA=1，CD=2，点E在棱PB上，且PE=2EB（1）求证：PD平面EAC；（2）求证：平面APD平面EAC【考点】平面与平面垂直的判定；直
23、线与平面平行的判定【分析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出AOBDOC，从而=，进而，推导出OEPD，由此能证明PD平面EAC（2）取CD中点F，连结AF，推导出PAAC，ACAD，从而AC平面PAD，由此能证明平面APD平面EAC【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，底面ABCD为梯形，ABDC，AB=BC=PA=1，CD=2，AOBDOC，=，点E在棱PB上，且PE=2EB，OEPD，PD平面AEC，OE平面AEC，PD平面EAC（2）取CD中点F，连结AF，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为梯形，ABDC，ABBC，AB=BC=PA=
24、1，CD=2，PAAC，四边形ABCF是正方形，AF=DF=CF，AFCD，ACAD，PAAD=A，AC平面PAD，AC平面PAC，平面APD平面EAC19某中学进行教学改革试点，推行“高效课堂”的教学法，为了比较教学效果，某化学老师分别用原传统教学和“高效课堂”两种不同的教学方式，在甲乙两个平行班进行教学实验，为了了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于70分者为“成绩优良”（1）分别计算甲乙两班20各样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）由以上统计数据填写下面的22列联表，并判断“成绩优
25、良”与教学方式是否有关？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：K2（x2）=独立性检验临界值表P（K2k）0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635【考点】独立性检验的应用；茎叶图【分析】（1）根据茎叶图计算甲、乙两班数学成绩前10名学生的平均分即可；（2）填写列联表，计算K2，对照数表即可得出结论【解答】（本题满分为12分）解：（1）甲班数学成绩前10名学生的平均分为=（72+74+74+79+79+80+81+85+89+96）=80.9，乙班数学成绩前10名学生的平均分为=（78+80+81+85+86+93+96+97+99+99）=89.4；=80
26、.9=89.4，由此判断使用“高效教学法”的乙班教学效果更佳；5分（2）根据茎叶图中的数据，列出列联表，如下；甲班乙班（B方式）总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040计算K2=3.9563.841，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良”与数学方式有关12分20已知圆M与圆N：（x）2+（y+）2=r2关于直线y=x对称，且点D（，）在圆M上（1）判断圆M与圆N的位置关系（2）设P为圆M上任意一点，A（1，）B（1，），与不共线，PG为APB的平分线，且交AB于G，求证PBG与APG的面积之比为定值【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）先求得点N关于直线y
27、=x对称点M的坐标，可得圆M的方程，再根据圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆相离（2）设PAB=2，则APG=BPG=，可得=设点P（x，y），求得PA2和 PB2的值，可得的值【解答】解：（1）由于点N（，）关于直线y=x对称点M（，），故圆M的方程为：（x+）2+（y）2=r2把点D（，）在圆M上，可得r2=，故圆M的方程为：（x+）2+（y）2=可得圆N：（x）2+（y+）2=，N（，），根据|MN|=，故两圆相离（2）设PAB=2，则APG=BPG=，=设点P（x，y），则（x+）2+（y）2=PA2=（x+1）2+（y）2=（x+1）2+（x+）2=x；PB2=（x1）2+（y）2=
28、（x1）2+（x+）2=x；=4，=2，即=221已知函数f（x）=x3mx2+mx（m0）（1）当m=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，且当0x4m时，f（x）mx2+（m3m2）x+恒成立，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）m=2时，可求出f（x），然后求导数，解f（x）0即可得出y=f（x）的单调递增区间；（2）求导数，根据题意可知一元二次方程f（x）=0有两个不同实数根，从而可得出，构造函数，根据导数在0，4m上的符号情况即可求出函数g（x）在0，4m上的最大值为，然后解不等式即可得出m
29、的取值范围【解答】解：（1）m=2时，f（x）=x24x+3；解f（x）0得，x1，或x3；函数f（x）的单调递增区间是（，1，3，+）；（2）；f（x）既有极大值又有极小值；方程f（x）=0有两个不同实数根；=4m26m0，m0；令=，g（x）=x24mx+3m2；解g（x）=0得，x=m或x=3m，且m；x0，m）时，g（x）0，x（m，3m）时，g（x）0，x（3m，4m时，g（x）0；x=m时，g（x）有极大值，x=3m时，g（x）有极小值0，且g（0）=0，g（4m）=；g（x）的最大值为，则恒成立；m2；m的取值范围为请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
30、第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E（1）求证：ABDE=BCCE；（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）连接BE，OC，OCBE=F，证明EDCBCA，即可证明ABDE=BCCE；（2）证明四边形EFCD是矩形，OBC是等边三角形，即可得出结论【解答】（1）证明：连接BE，OC，AC，OCBE=F，则CD是圆O的切线，OCl，ADl，ADOC，AB是圆O的直径，ADBE，ADl，lBE，DCE=CBE=CAB，EDC=BCA=90，ED
31、CBCA，=，ABDE=BCCE；（2）解：由（1）可知四边形EFCD是矩形，DE=CF，圆O的直径AB=8，BC=4，ABC=60OBC是等边三角形，EBA=30，AE=4选修4-4：坐标系与参数方程23已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是=asin，直线l的参数方程是（t为参数）（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，M点坐标，则|MN|的最大值为|MC|+r；（2）由垂径定
32、理可知圆心到直线l的距离为半径的，列出方程解出【解答】解：（1）当a=2时，圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y1）2=1圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1令y=0得t=0，把t=0代入x=得x=2M（2，0）|MC|=|MN|的最大值为|MC|+r=（2）由=asin得2=asin，圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay，即x2+（y）2=圆C的圆心为C（0，），半径为|，直线l的普通方程为4x+3y8=0直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半=|，解得a=32或a=选修4-5：不等式选讲24已知实数a、b满足：a0，b0（1）若xR，求证：|x+a|+|xb|2（2）若a+b=1，求证： +12【考点】不等式的证明；绝对值三角不等式【分析】（1）运用绝对值不等式的性质和均值不等式，即可得证；（2）由均值不等式可得ab，即4，原不等式左边化简即为，即可得证【解答】证明：（1）由a0，b0，可得|x+a|+|xb|（x+a）（xb）|=a+b2，当且仅当a=b取得等号；（2）由a，b0，1=a+b2，可得ab，即4，则+=+=12，当且仅当a=b=，取得等号2016年7月29日高考资源网版权所有，侵权必究！
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