1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（实验班）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1若P是平面外一点，A为平面内一点，为平面的一个法向量，则点P到平面的距离是（）ABCD2命题“x0R，x0+10或x02x00”的否定形式是（）Ax0R，x0+10或BxR，x+10或x2x0Cx0R，x0+10且DxR，x+10且x2x03下列有关命题的说法正确的是（）A“若xa且xb，则x2（a+b）x+ab0”的否命题为：“若x=a且x=b，则x2（a+b）x+ab=0”B“x=1”是“x2
2、5x6=0”的根的逆命题是真命题C命题“xR，使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题4如图，空间四边形OABC中，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）ABCD5三棱锥ABCD中，AB=AC=AD=2，BAD=90，BAC=60，CAD=60，则=（）A2B2CD6如图在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AA1=2，AC=BC=1 则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）ABCD7已知抛物线y2=8x，点Q是圆C：x2+y2+2x8y+13=0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x=2的距离为d，则
3、|PQ|+d的最小值为（）A5B4C3D28已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）ABC2D39与圆（x+1）2+y2=1和圆（x5）2+y2=9都相切的圆的圆心轨迹是（）A椭圆和双曲线B两条双曲线C双曲线的两支D双曲线的一支10直线l过抛物线x2=2py（p0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是（）Ax2=12yBx2=8yCx2=6yDx2=4y11已知椭圆和双曲线焦点F1，F2相同，且离心率互为倒数，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当F1PF2=60时
4、，椭圆的离心率为（）ABCD12设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与椭圆的交于A，B两点，若F1AB是以A为顶点的等腰直角三角形，则e2=（）A32B53C96D64二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13已知命题：“存在x1，2，使x2+2x+a0”为真命题，则a的取值范围是14与双曲线y2=1有相同渐近线，且与椭圆=1有共同焦点的双曲线方程是15如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy所在的平面为，且二面角y轴的大小等于30已知内的曲线C的方程是3（x2）2+4y236=0，则曲线C在内的射影在坐标系xOy下的曲
5、线方程是16已知F1，F2是椭圆+=1（m2）的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|PF2|=2m，则该椭圆离心率的取值范围为三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知命题P：方程+=1表示双曲线；命题q：1mt1+m（m0），若p是q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围18如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上（1）求该抛物线方程；（2）若AB的中点坐标为（1，1），求直线AB方程19在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，B
6、D与AB1交于点O，CO侧面ABB1A1（）证明：BCAB1；（）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值20直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BAD=60，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E面D1AC设AB=2（）求二面角EACD1的大小；（）在D1E上是否存在一点P，使A1P面EAC？若存在，求D1P：PE的值；不存在，说明理由21如图所示，点F1（1，0），F2（1，0），动点M到点F2的距离是，线段MF1的中垂线交MF2于点P（）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；（）设直线l：y=kx+m与轨迹G交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾
7、斜角分别为、，且+=，求证：直线l经过定点，并求该定点的坐标22如图，已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B，C在该抛物线上，其中A，C关于x轴对称（A在第一象限），且直线BC经过点F（）若ABC的重心为G（），求直线AB的方程；（）设SABO=S1，SCFO=S2，其中O为坐标原点，求S12+S22的最小值2015-2016学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1若P是平面外一点，A为平面内一点，为平面的一个法向量，则点P到平面的距离是（）ABCD【考点】点、线、
8、面间的距离计算【分析】直接利用向量数量积的几何意义，求出点P到平面的距离即可【解答】解：设点P到平面的距离为d，P是平面外一点，A为平面内一点，为平面的一个法向量，=，又d=，d=点P到平面的距离是故选：C2命题“x0R，x0+10或x02x00”的否定形式是（）Ax0R，x0+10或BxR，x+10或x2x0Cx0R，x0+10且DxR，x+10且x2x0【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x0R，x0+10或”的否定形式是：xR，x+10且x2x0故选：D3下列有关命题的说法正确的是（）A“若xa且x
9、b，则x2（a+b）x+ab0”的否命题为：“若x=a且x=b，则x2（a+b）x+ab=0”B“x=1”是“x25x6=0”的根的逆命题是真命题C命题“xR，使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】四种命题【分析】一一判断即可得出结论【解答】解：命题“若xa且xb，则x2（a+b）x+ab0”的否命题是：若x=a或x=b，则x2（a+b）x+ab=0，故A错误；x=1”是“x25x6=0”的根的逆命题是：x25x6=0的根是x=1，是假命题，故B错误；命题“xR使x2+x+10”是特称命题，其否定命题为：xR
10、，使x2+x+10，故C错误；命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为命题“若sinxsiny”，则“xy”，正确；故选：D4如图，空间四边形OABC中，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）ABCD【考点】向量在几何中的应用【分析】=【解答】解： =；又，故选B5三棱锥ABCD中，AB=AC=AD=2，BAD=90，BAC=60，CAD=60，则=（）A2B2CD【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果【解答】解： =02=2故选A6如图在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC
11、B=90，AA1=2，AC=BC=1 则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】由ACA1C1，知C1A1B是异面直线A1B与AC所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值【解答】解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，C1A1B是异面直线A1B与AC所成角，ACB=90，AA1=2，AC=BC=1，A1C1=1，cos=异面直线A1B与AC所成角的余弦值是故选：D7已知抛物线y2=8x，点Q是圆C：x2+y2+2x8y+13=0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x=2的距离为d，则|PQ|+d的最小值为（）A5B4
12、C3D2【考点】抛物线的简单性质【分析】圆C：x2+y2+2x8y+13=0，以C（1，4）为圆心，半径等于2，抛物线y2=8x的准线为l：x=2，焦点为F（2，0），当P，Q，F三点共线时，P到点Q的距离d与点P到抛物线的焦点距离|PQ|之和最小，从而d+|PQ|的最小值为|FC|r【解答】解：如图所示，由题意知抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），连接PF，则d=|PF|圆C的方程配方，得（x+1）2+（y4）2=4，圆心为C（1，4），半径r=2d+|PQ|=|PF|+|PQ|，显然，|PF|+|PQ|FQ|（当且仅当F，P，Q三点共线时取等号）而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离，
13、显然当F，Q，C三点共线时取得最小值，最小值为|CF|r=2=52=3故选：C8已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）ABC2D3【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意画出图形，联立方程组求出A，B的坐标，进一步得到|AF|，|BF|的长度，结合=m把m转化为线段的长度比得答案【解答】解：如图，联立，解得，A在x轴上方，则|AF|=xA+1=4，|BF|=，由=m，得故选：D9与圆（x+1）2+y2=1和圆（x5）2+y2=9都相切的圆的圆心轨迹是（）A椭圆和双曲线B两条双曲线C双曲线的两支D双曲线的一支【考点】曲线与方程
14、【分析】由题意画出图形，利用圆心距与半径的关系结合双曲线的定义得答案【解答】解：如图，设动圆M的半径为r，当动圆M与圆C1、C2均外切时，|MC1|=r+1，|MC2|=r+3，|MC2|MC1|=2，这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支；当动圆M与圆C1、C2均内切时，|MC1|=r1，|MC2|=r3，|MC1|MC2|=2，这表明动点M到两定点C1，C2的距离之差是常数2根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的右支；当动圆M与圆C1外切，与C2内切时，|MC1|=r+1，|MC2|=r3，|MC1|MC2|=4，动点P的轨迹是以C1
15、，C2为焦点，实轴长为4的双曲线右支；当动圆M与圆C1内切，与C2外切时，|MC1|=r1，|MC2|=r+3，|MC2|MC1|=4，动点P的轨迹是以C1，C2为焦点，实轴长为4的双曲线左支综上，与圆（x+1）2+y2=1和圆（x5）2+y2=9都相切的圆的圆心轨迹是两条双曲线故选：B10直线l过抛物线x2=2py（p0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是（）Ax2=12yBx2=8yCx2=6yDx2=4y【考点】抛物线的简单性质【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得到x1+x2=2，x1+x2+p=6，由此能
16、求出此抛物线方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l过抛物线x2=2py（p0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，AB的中点到x轴的距离是1，x1+x2=2，线段AB的长是6，x1+x2+p=6，解得p=2，此抛物线方程是x2=4y故选：D11已知椭圆和双曲线焦点F1，F2相同，且离心率互为倒数，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当F1PF2=60时，椭圆的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】可设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理便得到4c2=m2+n2mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义即可得到m+n=2a1，
17、mn=2a1，从而可以求出m，n再根据离心率互为倒数便可得到c2=a1a2，将m，n及c2都带入上式便可得出a1=3a2，从而有，这样便可求出椭圆的离心率【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c；由余弦定理得，（2c）2=m2+n22mncos60，即4c2=m2+n2mn；设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴；由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，mn=2a2；m=a1+a2，n=a1a2，将它们代入前式得3a224c2+a12=0；离心率互为倒数；，c2=a1a2；（a2a1）=0；根据题意，a2a1，a1=3a2；e1e2=即3e12=1；e1=故选：A12设椭圆的左、
18、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与椭圆的交于A，B两点，若F1AB是以A为顶点的等腰直角三角形，则e2=（）A32B53C96D64【考点】椭圆的简单性质【分析】设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得e2=【解答】解：解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2
19、（2）a，则|AF2|=2am=（22）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2）2a2+4（1）2a2，c2=（96）a2，则e2=96故选：D二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13已知命题：“存在x1，2，使x2+2x+a0”为真命题，则a的取值范围是8，+）【考点】特称命题【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论【解答】解：若存在x1，2，使x2+2x+a0，则等价为存在x1，2，使x2+2xa，当存在x1，2时，设y=x2+2x=（x+1）21，则3y8，要使x2+2xa，则8a，即a8，故答
20、案为：8，+）14与双曲线y2=1有相同渐近线，且与椭圆=1有共同焦点的双曲线方程是=1【考点】双曲线的简单性质【分析】设所求双曲线的方程为=1（a，b0），求得已知椭圆的焦点，可得c=，即a2+b2=6，再求已知双曲线的渐近线方程，可得=，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程【解答】解：设所求双曲线的方程为=1（a，b0），由椭圆=1的焦点（0，），可得c=，即a2+b2=6，又双曲线y2=1的渐近线方程为y=x，可得=，解得a=，b=2，即有所求双曲线的方程为=1故答案为：=115如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy所在的平面为，且二面角y轴的大小等于30已知内的曲线
21、C的方程是3（x2）2+4y236=0，则曲线C在内的射影在坐标系xOy下的曲线方程是（x3）2+y2=9【考点】二面角的平面角及求法【分析】设出所给的图形上的任意一点的坐标，根据两坐标系之间的坐标关系，写出这点的对应的点，根据所设的点满足所给的方程，代入求出方程【解答】解：设3（x2）2+4y236=0上的任意点为A（x，y），A在平面上的射影是（x，y）直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy所在的平面为，且二面角y轴的大小等于30根据题意，得到x=x，y=y，3（x2）2+4y236=0，3（x2）2+4y236=0（x3）2+y2=9故答案为：（x3）2+y2=916已知F1，F
22、2是椭圆+=1（m2）的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|PF2|=2m，则该椭圆离心率的取值范围为【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m，利用基本不等式的性质可得：|PF1|+|PF2|，化简整理即可得出另一方面：设F1PF2=，由余弦定理可得： +2|PF1|PF2|cos=（2c）2=16+2|PF1|PF2|=4m2相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得出【解答】解：由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m，2m=|PF1|+|PF2|=2，化为，又m2，解得另一方面：设F1PF2=，由余弦定理可得： +2|PF1|PF2|cos=（2
23、c）2=16+2|PF1|PF2|=4m2相减可得：1+cos=0，），02m22m+=，该椭圆离心率的取值范围为，故答案为：三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知命题P：方程+=1表示双曲线；命题q：1mt1+m（m0），若p是q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程【分析】由p是q的充分非必要条件可知q是p的充分条件，利用基本不等式即可求出【解答】解：由命题P得（t+2）（t10）0，即2t10，即t（2，10），由命题q：1mt1+m（m0），即t（1m，1+m）由题意及逆否命题的等
24、价性可知qp，即（1m，1+m）（2，10），由1m2，1+m10（不同时取等号）及m0得0m3，所求m的取值范围为（0，318如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上（1）求该抛物线方程；（2）若AB的中点坐标为（1，1），求直线AB方程【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）由题意设出抛物线方程，代入P点坐标求p，则抛物线方程可求；（2）把A，B的坐标代入抛物线方程，作差后结合AB的中点坐标求出AB所在直线的斜率，由点斜式得AB所在直线方程【解答】解：（1）由题意可设抛物线方程为y2=2px（p0），P（1，2）在抛物线
25、上，22=2p，即p=2抛物线方程为：y2=4x；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，两式作差得：（y1y2）（y1+y2）=4（x1x2），又AB的中点坐标为（1，1），y1+y2=2，则直线AB方程为y+1=2（x1），即2x+y1=019在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO侧面ABB1A1（）证明：BCAB1；（）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角【分析】（）要证明BCAB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已
26、知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=1，AA1=，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tanAB1B=，在直角三角形ABD中，tanABD=，所以AB1B=ABD，又BAB1+AB1B=90，BAB1+ABD=90，所以在直角三角形ABO中，故BOA=90，即BDAB1，又因为CO侧面A
27、BB1A1，AB1侧面ABB1A1，所以COAB1所以，AB1面BCD，因为BC面BCD，所以BCAB1（）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0），B（，0，0），C（0，0，），B1（0，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（，0），=（0，），=（），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，）是平面ABC的一个法向量，设直线C1D与平面ABC所成角为，则sin=20直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BAD=60，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E面D1AC设AB
28、=2（）求二面角EACD1的大小；（）在D1E上是否存在一点P，使A1P面EAC？若存在，求D1P：PE的值；不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）设AC与BD交于O，以O为原点，OA，OB，为x轴，y轴，过O作面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EACD1的大小（）设=（），得=（0，），=（，），由此能求出存在点P使A1P面EAC，此时D1P：PE=2：3【解答】解：（）设AC与BD交于O，如图以O为原点，OA，OB，为x轴，y轴，过O作面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，1，0），C（
29、，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，2），设E（0，1，2+h），则=（0，2，h），=（2，0，0），=（），D1E平面D1AC，D1EAC，D1ED1A，22h=0，h=1，即E（0，1，3），=（0，2，1），=（，1，3），设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则由，令z=1，得=（0，3，1），D1E面D1AC，平面D1AC的法向量为=（0，2，1），cos=，二面角EACD1的大小为45（）设=（），得=（0，），=+=（，1，0）+（0，）=（，），A1P面EAC，=0，解得，存在点P使A1P面EAC，此时D1P：PE=2：321如图所示，点F1（1，0），F2（1，0
30、），动点M到点F2的距离是，线段MF1的中垂线交MF2于点P（）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；（）设直线l：y=kx+m与轨迹G交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为、，且+=，求证：直线l经过定点，并求该定点的坐标【考点】椭圆的简单性质【分析】（）连接PF1，运用垂直平分线定理和椭圆的定义，可得P的轨迹为椭圆，方程为；（）联立直线方程和椭圆方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，再由直线恒过定点的方法，即可得到所求定点【解答】解：（）连接PF1，由，又|PM|=|PF1|，由椭圆的定义可知2a=2，c=1，b=1即
31、有动点P的轨迹G的方程为；（）证明：依题意，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，又=， =依题意得， +=0，即+=0，化简得：2kx1x2+（mk）（x1+x2）2m=0，2k+（mk）（）2m=0，整理得，m=2k，直线l的方程为y=k（x2），因此直线l经过定点，该定点坐标为（2，0）22如图，已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B，C在该抛物线上，其中A，C关于x轴对称（A在第一象限），且直线BC经过点F（）若ABC的重心为G（），求直线AB的方程；（）设SABO=S1，SCFO=S2，其中O为坐标原
32、点，求S12+S22的最小值【考点】抛物线的简单性质【分析】（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，y1），运用三角形的重心坐标公式和抛物线方程，即可求得A，B的坐标，进而得到直线方程；（）通过直线BC，AB的方程和抛物线方程，运用韦达定理，可得恒过定点（1，0），即有SABO=|OE|y2y1|=|y2y1|，SCFO=|OF|y1|=|y1|，y1y2=4，再由基本不等式计算即可得到最小值【解答】解：（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，y1），则ABC的重心坐标为G（，），由题意可得2x1+x2=，且y2=4，由y22=4x2，y12=4x1，可得x2=4，y2
33、=4，和x1=，y1=1，直线AB的斜率k=，即有直线AB的方程为4x5y+4=0；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，y1），设直线BC：x=my+1，代入抛物线方程y2=4x，可得y24my4=0，可得y1y2=4，即y1y2=4，再设直线AB：y=kx+n，代入抛物线方程，可得ky24y+4n=0，y1y2=4，即n=k，则有直线AB：y=k（x+1），即有直线AB恒过定点E（1，0），则SABO=|OE|y2y1|=|y2y1|，SCFO=|OF|y1|=|y1|，即有S12+S22=（y2y1）2+y12=（2y12+8）（28）=22即有S12+S22的最小值为22，当且仅当y1=，y2=2016年8月1日高考资源网版权所有，侵权必究！
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