1、1.1.2余弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.掌握余弦定理及其推论(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用(重点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状(易错点)1.借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养2.通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养1余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍公式表达a2b2c22bc cos A，b2a2c22ac cos B，c2a2b22ab cos C变形cos A；cos B；cos C思考：在ABC中，若a2a2b2C为钝角；c2a2b2C为锐角(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形
2、问题已知三边，求三角已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角思考：已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？提示由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2a2b22ab cos C，c唯一，cos B，因为0B，所以B唯一，从而A也唯一所以三角形其他元素唯一确定1在ABC中，已知a4，b6，C120，则边c 2根据余弦定理c2a2b22ab cos C1636246cos 12076，c2.2在ABC中，a1，b，c2，则B 60cos B，B60.3在ABC中，若a2b2bcc2，则A 120a2b2bcc2，b2c2a2bc，cos A，又A为ABC的内角，A12
3、0.4以下说法正确的是 (填序号).在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例错误由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解正确余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形正确结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确正确余弦定理可以看作勾股定理的推广已知两边与一角解三角形【例1】在ABC中，已知b3，c3，B30，求角A，角C和边a.解法一：由余弦定
4、理b2a2c22ac cos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.当a3时，A30，C120.当a6时，由正弦定理sin A1.A90，C60.法二：由bc sin 303知本题有两解由正弦定理sin C，C60或120，当C60时，A90，由勾股定理a6，当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.已知三角形的两边及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，)上，余弦值所对角
5、的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好1在ABC中，a2，c，B45，解这个三角形解根据余弦定理得，b2a2c22ac cos B(2)2()222()cos 458，b2.又cos AA60，C180(AB)75.已知三边解三角形【例2】已知ABC中，abc2(1)，求ABC的各角的大小思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解解设a2k，bk，c(1)k(k0)，利用余弦定理，有cos A，A45.同理可得cos B，B60.C180AB75.1已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝
6、角，其思路清晰，结果唯一2若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解2在ABC中，若a4b4c42c2(a2b2)，则角C()A60B45C135 D45或135Dcos C，cos2C.a4b4c42c2(a2b2)，a4b4c42c2a22c2b20，cos2C，cosC，C45或135.正、余弦定理的综合应用探究问题1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2，则sin2Asin2Bsin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？提示设ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a2R sinA，b2R sin B，c2
7、R sin C，代入a2b2c2可得sin2Asin2Bsin2C.反之将sinA，sin B，sin C代入sin2Asin2Bsin2C可得a2b2c2.因此，这两种说法均正确2在ABC中，若c2a2b2，则C成立吗？反之若C，则c2a2b2成立吗？为什么？提示因为c2a2b2，所以a2b2c20，由余弦定理的变形cosC0，即cos C0，所以C，反之若C，则cos C0，即0，所以a2b2c20，即c2a2b2.【例3】在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状思路探究：解法一：(角化边)(accos B)sin B(bccos A)sin
8、 A，由正、余弦定理可得：b(bc)a，整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，即(a2b2)(a2b2c2)0，a2b2c20或a2b2.a2b2c2或ab.故ABC为直角三角形或等腰三角形法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sin Asin C cos B)sin B(sin Bsin C cos A)sin A，即sin C cos B sin Bsin C cos A sin A.sin C0，sin B cos Bsin A cos A.sin 2Bsin 2A.2B2A或2B2A，即AB或AB.ABC是等腰三角形或直角三角形1(变条件)将例题中的条件“(ac c
9、os B)sin B(bc cos A)sin A”换为“a cos Ab cos Bc cos C”其它条件不变，试判断三角形的形状解由余弦定理知cos A，cos B，cos C，代入已知条件得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形2(变条件)将例题中的条件“(ac cos B)sin B(bc cos A)sin A”换为“lg alg clgsin Blg 且B为锐角”判断ABC的形状解由lgsin Blg lg ，可得sin B，又B为锐
10、角，B45.由lg alg clg ，得，ca.又b2a2c22ac cos B，b2a22a22a2a2，ab，即AB.又B45，ABC为等腰直角三角形利用余弦定理判断三角形形状的两种途径(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再根据边之间的关系判断(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin Ac sin Ca sin Cb sin B.(1)求角B的大小；(2)若A75，b2，求a，c.解(1)由题意及正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22ac cos B.故c
11、os B，因此B45.(2)sin Asin (3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故由正弦定理得ab1.由已知得，C180457560，cb2.1本节课要掌握的题目类型(1)已知三角形的两边与一角，解三角形(2)已知三边解三角形(3)利用余弦定理判断三角形的形状2本节课的易错点有两处(1)正弦定理和余弦定理的选择已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余
12、弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件1判断正误(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在ABC中，若a2b2c2，则ABC一定为钝角三角形()(3)在ABC中，已知两边和其夹角时，ABC不唯一()答案(1)(2)(3)提示由余弦定理可知，已知ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以ABC是唯一的，(3)错误2在ABC中，a7，b4，c，则ABC的最小角为()ABCDB由三角形边角关系可知，角C为ABC的最小角，则cos C，所以C，故选B.3已知a，b，c是ABC的三边长，若满足等式(abc)(abc)ab，则角C的大小为()A60 B90C120 D150C由(abc)(abc)ab，得(ab)2c2ab，c2a2b2aba2b22ab cos C，cos C，C120.4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC，2ba，则cos A 由BC，2ba，可得bca，所以cos A.5在ABC中，AC2B，ac8，ac15，求b.解在ABC中，AC2B，ABC180，B60.由余弦定理，得b2a2c22ac cos B(ac)22ac2ac cos B8221521519.b.