1、专题二十 数学填空题解题突破 【典题导引】（一）直接求解法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法它是解填空题的常用基本方法使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法例1.（1）过双曲线的左顶点作斜率为的直线，若与双曲线的两条渐近线分别相交于，且，则双曲线的离心率是 （2）已知是奇函数，且，若，则 （3）已知向量，则的最大值与最小值之和为 （4）已知函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是 解：（1）由题设，直线的方程为，双曲线的两条渐近线方程为， 由得，即，双曲线的离心率（2）函数为奇函
2、数，即，又，（3）法（一）代数方法：(利用向量模的坐标计算公式) ，的最大值与最小值之和为法（二）借助模的运算性质：(不等式) ，左右等号成立的条件分别是向量、同向和反向，的最大值与最小值之和为法（三）几何角度：（圆）不妨设，则，其中在圆上，由圆的性质可得：，的最大值与最小值之和为（4）法一：转化为在定义域上有正有负.即在上有正有负. 当时，满足；当时，对称轴，所以只需，；当时，开口向下的抛物线且经过点，满足综上所述，法二：先求“当函数在定义域内是单调函数，实数m的取值范围”即转化为问题的对立事件 函数在定义域内是单调函数 ，或 ，或， 令，则， ，时， 函数在定义域内是单调函数， 在定义域内
3、不是单调函数时，（二）特殊化法 当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论一般性存在于特殊性之中，只要是求一般性的问题，绝大多数可以用特殊化法来解决例2. （1）已知函数为奇函数，则函数上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为 （2）在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为_（3）设，若时，均有，则 （4）如图，在平行四边形中 ，垂足为，且 ，则=例2（4）图.（5）观察下列等式： ； ；可以推测， （6）已知二次函数有零点与，设，则常数的值为
4、（7）椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是 解：（1）为奇函数可求得：，题设暗示：所围成的三角形面积为定值，故可用“特殊点”探求定值可就图象上点求得切线方程为，从而求得直线与直线和直线所围成的三角形面积为（2）题设暗示：为定值，故可用“特例”探求定值易知满足题设，（3）时均有，应用特殊元素法，取，得，（4）题设暗示：为定值，故可用“特殊图形”探求定值平行四边形是特殊的平行四边形菱形时，则与共线，（5）首先，由，联想等比数列，得；其次，由，分别除并去负号后，得，这是一个正整数的平方序列，最后，对，令，则，于是，故（6）（特殊函数）令，则两零点分别为，（7）设P(x，y
5、)，则当时，点的轨迹方程为，由此可得点的横坐标，由此可得点P横坐标的取值范围是（三）数形结合法借助图形的直观性，通过数与形的关系，迅速作出判断的方法称为数形结合法文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形例3.（1）已知函数，的零点依次为，则由小到大的顺序是_（2）满足条件的三角形的面积的最大值为 （3）若方程仅有一个实根，那么的取值范围是_解：（1）零点依次为分别为函数，与直线的交点横坐标，在同一直角坐标系中作出他们的图象，易得（2）（定长），可以以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由可得，化简得，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，又，（3）且，题设有直线
6、与函数且的图象有一个公共点，作出函数且的图象后易知或（四）构造模型法例4.（1） 已知函数 的最大值为，最小值为，则 （2）在四面体中，则该四面体的体积 （3）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，则不等式的解集为解：（1）函数式f(x)不熟悉，形式较为陌生，那先变形，后再作定夺=，其中，因为为奇函数，而奇函数的图象关于原点对称， 所以的最大值与最小值的代数和为0，即注意到，故DQCHBPRA（2）构造如图所示的长方体，并且满足， ，现设， 则，将以上三式分别相加得，于是故（3）着眼于题中的条件，构造函数求解. 令，则，在上是减函数为偶函数，令，则，【归类总结】所谓填空题，就是不要
7、求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出的“求解题”填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法较为灵活一般地，根据所填内容的形式，常将填空题分为两类：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解集、函数的最值、几何体的体积、两点间的距离、取胜的概率等；二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者给定的数学对象的某种性质，如曲线的形状、所给一组公式中的正或误的判断等填空题不需要中间过程，因而解答时可以心算、估算、速算，也可以省略、跳步、猜测，甚至还可以凭印象、靠直觉解答的基本策略是：快反应快，不要小题大做；稳变形稳，不可操之过急；全答案全，力避残缺不齐；活过程少，不要生搬硬套；细审题细，答案表述要慎解题的基本方法一般有：直接求解法、图象法、特殊化法等