1、第十一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交答案B解析由棱台的定义知,各侧棱的延长线交于一点,所以选B.2.一直线l与其外三点A,B,C可确定的平面个数是()A.1B.3C.1或3D.1或3或4答案D解析当A,B,C共线且与l平行或相交时,确定一个平面;当A,B,C共线且与l异面时,可确定3个平面;当A,B,C三点不共线时,可确定4个平面.3.若三个平面两两相交,有三条交线,则下
2、列命题中正确的是()A.三条交线为异面直线B.三条交线两两平行C.三条交线交于一点D.三条交线两两平行或交于一点答案D解析三平面两两相交,交线如有2条平行,由线面平行性质定理知三条都平行,如三棱柱三侧棱;三条交线也可以交于一点,如三棱锥三侧棱.4.(2020全国,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5-14B.5-12C.5+14D.5+12答案C解析如图,设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h,则有h2=12ah,
3、h2=h2-a22,因此有h2-a22=12ah,化简得4ha2-2ha-1=0,解得ha=5+14.(负值舍去)5.设,为两个平面,则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.,平行于同一条直线D.,垂直于同一平面答案B解析内有无数直线与平行是的必要不充分条件,A不符合;内有两条相交直线与平行是的充要条件,B符合;,平行同一条直线是的必要不充分条件,C不符合;,垂直同一平面是的必要不充分条件,D不符合.6.(2020天津)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.24C.36D.144答案C解析2R=(232)2+(23)2=6,球
4、的表面积为4R2=36.故选C.7.如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线答案B解析如图,连接BD,BE.在BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,BM,EN是相交直线,排除选项C、D.作EOCD于点O,连接ON.作MFOD于点F,连接BF.平面CDE平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD.同理,MF平面ABCD.MFB
5、与EON均为直角三角形.设正方形ABCD的边长为2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,则EN=3+1=2,BM=34+254=7,BMEN.故选B.8.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为,直线PB与平面ABC所成的角为,二面角P-AC-B的平面角为,则()A.,B.,C.,D.,答案B解析如图G为AC中点,连接VG,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AC于点E,易得PEVG,过点P作PFAC交VG于点F,过点D作DHAC,交BG于点H,
6、则=BPF,=PBD,=PED,结合PFB,BOH,POB均为直角三角形,可得cos=PFPB=EGPB=DHPB,在RtPEO中,tan=PDEDPDBD=tan,所以.综上所述,故选B.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.设l为直线,是两个不同的平面,下列命题中错误的是()A.若l,l,则B.若l,l,则C.若l,l,则D.若,l,则l答案ACD解析A中,也可相交,A不正确;由垂直同一直线的两平面平行.10.(2020山东实验中学高三月考)九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直
7、于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,ACBC,且AA1=AB=2.下列说法正确的是()A.四棱锥B-A1ACC1为“阳马”B.四面体A1-C1CB为“鳖臑”C.四棱锥B-A1ACC1体积最大为23D.过A点分别作AEA1B于点E,AFA1C于点F,则EFA1B答案ABD解析由题意知在堑堵ABC-A1B1C1中,ACBC,侧棱AA1平面ABC.在选项A中,BC平面ABC,所以AA1BC.又ACBC,且AA1AC=A,所以BC平面AA1C1C.所以四棱锥B-A1ACC1为“阳
8、马”,故A正确.在选项B中,由ACBC,即A1C1BC,又A1C1C1C且C1CBC=C,所以A1C1平面BB1C1C.所以A1C1BC1,则A1BC1为直角三角形.又由BC平面AA1C1C,得A1BC为直角三角形.由“堑堵”的定义可得A1C1C为直角三角形,CC1B为直角三角形.所以四面体A1-C1CB为“鳖臑”,故B正确.在选项C中,有4=AC2+BC22ACBC,即ACBC2,当且仅当AC=BC时取等号.VB-A1ACC1=13SA1ACC1BC=13AA1ACBC=23ACBC43,故C不正确.在选项D中,已知BC平面AA1C1C,则BCAF,AFA1C且A1CBC=C,则AF平面A1
9、BC,所以AFA1B.又AEA1B且AFAE=A,则A1B平面AEF,则A1BEF,故D正确.11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,以下结论正确的是()A.异面直线A1D与AB1所成的角为60B.直线A1D与BC1垂直C.直线A1D与BD1平行D.三棱锥A-A1CD的体积为16a3答案ABD解析A1D与AB1所成角即A1D与DC1成的角,再连接A1C构成等边A1DC1,即A正确;A1D与BC1成的角即A1D与AD1成的角,由A1DAD1即B正确;由BD1平面A1DC1,BD1A1D,即C不正确;V三棱锥A-A1CD=V三棱锥A1-ACD=13a12a2=a36,即D正确.12
10、.已知空间中两条直线a,b所成的角为50,P为空间中给定的一个定点,直线l过点P且与直线a和直线b所成的角都是(090),则下列选项正确的是()A.当=15时,满足题意的直线l不存在B.当=25时,满足题意的直线l有且仅有1条C.当=40时,满足题意的直线l有且仅有2条D.当=60时,满足题意的直线l有且仅有3条答案ABC解析如图,过点P作a1a,b1b,则相交直线a1,b1确定一平面.a1与b1的夹角为50,设直线PA与a1,b1的夹角均为,如图l绕P转动始终与a1,b1夹角相等,当l在内为a,b夹角平分线时,最小为25,所以AB正确,当为40和60时直线l都有2条,所以C正确,D错.三、填
11、空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.答案如果l,m,则lm解析将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:(1)如果l,m,则lm,正确;(2)如果l,lm,则m,不正确,有可能m在平面内;(3)如果lm,m,则l,不正确,有可能l与斜交,l.14.在正方体ABCD-ABCD中,过对角线BD的一个平面交AA于点E,交CC于点F,则:四边形BFDE一定是平行四边形;四边形BFDE有可能是正方形;四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形
12、;平面BFDE有可能垂直于平面BBD.以上结论正确的为.(填序号)答案解析如图所示,BE和DF,BF和DE分别是正方体两平行平面被平面BFDE所截,所以BEDF,DEBF,四边形BFDE为平行四边形.正确.不正确,当E,F分别为AA,CC中点时,四边形BFDE为菱形,设正方体棱长为a,则BF2=DF2=54a2,BD2=3a2,即BF2+DF2BD2,四边形BFDE不可能为正方形.正确(其射影是正方形ABCD).正确.当E,F分别是AA,CC中点时,平面BFDE平面BBD.15.(2020山东)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,BAD=60.以D1为球心,5为半径的球面与侧面
13、BCC1B1的交线长为.答案22解析如图所示,B1C1D1=B1A1D1=BAD=60且B1C1=C1D1,B1C1D1为等边三角形.B1D1=2.设O1是B1C1的中点,则O1D1=3,易证D1O1平面BCC1B1,设P是球面与侧面BCC1B1交线上任意一点,连接O1P,则O1D1O1P,D1P2=D1O12+O1P2,即5=3+O1P2,O1P=2.即P在以O1为圆心,以2为半径的圆上.取BB1,CC1的中点分别为E,F,则B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2,O1E=O1F=2,O1E2+O1F2=EF2=4,EO1F=90,交线EPF=1422=22.16.已知ACB=90
14、,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为.答案2解析作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO平面ABC.连接CO,OD,由题意知CDPD,CDPO,PDPO=P,CD平面PDO,OD平面PDO,CDOD.PD=PE=3,PC=2,sinPCE=sinPCD=32,PCB=PCA=60.又易知POCO,CO为ACB平分线,OCD=45,OD=CD=1,OC=2.又PC=2,PO=4-2=2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图,已知E,F,G,H分别为正方体ABCD-A1B1C1
15、D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,求证:EF,HG,DC三线共点.证明点E,F,G,H分别为所在棱的中点,连接BC1,GF,如图.GF是BCC1的中位线,GFBC1.BEC1H,且BE=C1H,四边形EBC1H是平行四边形.EHBC1,GFEH.E,F,G,H四点共面.GFEH,故EF与HG必相交.设EFHG=I.IGH,GH平面CC1D1D,I平面CC1D1D.同理可证I平面ABCD.点I在平面ABCD和平面CDD1C1的交线DC上.即EF,HG,DC三线共点.18.(12分)(2020全国)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,AP
16、C=90.(1)证明:平面PAB平面PAC;(2)设DO=2,圆锥的侧面积为3,求三棱锥P-ABC的体积.(1)证明由题设可知,PA=PB=PC.由于ABC是正三角形,故可得PACPAB,PACPBC.又APC=90,故APB=90,BPC=90.从而PBPA,PBPC,故PB平面PAC,所以平面PAB平面PAC.(2)解设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.从而AB=3.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=62.所以三棱锥P-ABC的体积为1312PAPBPC=1312623=68.19.(12分)(2020全国)如图,
17、已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和点P的平面交AB于E,交AC于点F.(1)证明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;(2)设O为A1B1C1的中心.若AO=AB=6,AO平面EB1C1F,且MPN=3,求四棱锥B-EB1C1F的体积.(1)证明因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MNCC1.又由已知得AA1CC1,故AA1MN.因为A1B1C1是正三角形,所以B1C1A1N.又B1C1MN,故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)解AO平面EB1C1
18、F,AO平面A1AMN,平面A1AMN平面EB1C1F=PN,故AOPN.又APON,故四边形APNO是平行四边形,所以PN=AO=6,AP=ON=13AM=3,PM=23AM=23,EF=13BC=2.因为BC平面EB1C1F,所以四棱锥B-EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离.作MTPN,垂足为T,则由(1)知,MT平面EB1C1F,故MT=PMsinMPN=3.底面EB1C1F的面积为12(B1C1+EF)PN=12(6+2)6=24.所以四棱锥B-EB1C1F的体积为13243=24.20.(12分)(2020全国)如图,在长方体ABCD-A1B
19、1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EFAC;(2)点C1在平面AEF内.证明(1)如图,连接BD,B1D1.因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,故ACBD.又因为BB1平面ABCD,于是ACBB1.所以AC平面BB1D1D.由于EF平面BB1D1D,所以EFAC.(2)如图,在棱AA1上取点G,使得AG=2GA1,连接GD1,FC1,FG.因为D1E=23DD1,AG=23AA1,DD1AA1,所以ED1AG,于是四边形ED1GA为平行四边形,故AEGD1.因为B1F=1
20、3BB1,A1G=13AA1,BB1AA1,所以FGA1B1,FGC1D1,四边形FGD1C1为平行四边形,故GD1FC1.于是AEFC1.所以A,E,F,C1四点共面,即点C1在平面AEF内.21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,点E在线段PC上,PC平面BDE.(1)证明:BD平面PAC;(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.(1)证明PA平面ABCD,PABD,PC平面BDE,PCBD,PA平面PAC,PC平面PAC,PAPC=P.BD平面PAC.(2)解设A
21、C与BD交点为O,连接OE.PC平面BDE,即PC平面BOE,PCBE,PCOE,BEO为二面角B-PC-A的平面角.BD平面PAC,BDAC,四边形ABCD为正方形,BO=2.在PAC中,OEOC=PAPC,即OE2=13,则OE=23,tanBEO=BOOE=3,二面角B-PC-A的平面角的正切值为3.22.(12分)如图,DC平面ABC,EBDC,AC=BC=EB=2DC=2,ACB=120,P,Q分别为AE,AB的中点.(1)证明:PQ平面ACD;(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.(1)证明因为P,Q分别为AE,AB的中点,所以PQEB.又DCEB,因此PQDC,又PQ平面ACD,从而PQ平面ACD.(2)解如图,连接CQ,DP,因为Q为AB的中点,且AC=BC,所以CQAB.因为DC平面ABC,EBDC,所以EB平面ABC,因此CQEB.故CQ平面ABE.由(1)有PQDC,又PQ=12EB=DC,所以四边形CQPD为平行四边形,故DPCQ.因此DP平面ABE,DAP为AD和平面ABE所成的角,在RtDPA中,AD=5,DP=1,sinDAP=55,因此AD和平面ABE所成角的正弦值为55.11