1、高考资源网（） 您身边的高考专家第九章解三角形9.1正弦定理与余弦定理9.1.1正弦定理课后篇巩固提升基础达标练1.在ABC中,下列关系式中一定成立的是()A.absin AB.a=bsin AC.absin AD.absin A答案D解析由正弦定理,得asinA=bsinB,所以a=bsinAsinB.在ABC中,0b=4,AB.B=6.故选A.3.在ABC中,已知b=3,c=8,A=3,则ABC的面积等于()A.6B.12C.63D.123答案C解析SABC=12bcsinA=1238sin3=63.故选C.4.(2020黑龙江大庆四中高一月考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,
2、c.若sinAa=cosBb,则B=()A.4B.34C.6D.4或34答案A解析由正弦定理得sinAsinA=cosBsinB=1,所以tanB=1.又因为B(0,),所以B=4.5.(2020江苏南京秦淮中学高一期中)在ABC中,若a=23,A=30,则b+csinB+sinC的值为()A.43B.23C.4D.2答案A解析由题可知a=23,A=30,令asinA=bsinB=csinC=2R(R为ABC的外接圆半径),所以b+csinB+sinC=2RsinB+2RsinCsinB+sinC=2R=asinA=2312=43,即b+csinB+sinC=43.6.(2020浙江绍兴一中高
3、一期中)在ABC中,若A=6,b=2,则下列说法错误的是()A.若a=1,则c有一解B.若a=3,则c有两解C.若a=116,则c有两解D.若a=3,则c有两解答案D解析由b=2,A=6知bsinA=2sin6=1.当a=1或a2时,c有一解,当1aB,则sin Asin BD.若sin 2A=sin 2B,则ABC是等腰三角形答案AC解析由A+B+C=,得sin(B+C)=sin(-A)=sinA,故A正确;cos(A+B)=cos(-C)=-cosC,故B不正确;由三角形中大角对大边,AB,则ab,根据正弦定理有sinAsinB,故C正确;在三角形中,若sin2A=sin2B,则2A=2B
4、或2A+2B=,所以A=B或A+B=2,则ABC是等腰三角形或直角三角形,故D不正确.故选AC.8.在ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边.若A=105,B=45,b=22,则c=,ABC的面积为.答案23+1解析由题得C=180-105-45=30.根据正弦定理bsinB=csinC,可知22sin45=csin30,解得c=2.故ABC的面积为S=12bcsinA=12222sin105=226+24=3+1.9.已知在ABC中,BC=15,AC=10,A=60,则cos B=.答案63解析由正弦定理得ACsinB=BCsinA,所以sinB=ACsinABC=103215=33,
5、因为ACBC,所以BA=60,则B为锐角,所以cosB=1-sin2B=63.10.在ABC中,若acosA2=bcosB2=ccosC2,则ABC是三角形.答案等边解析由正弦定理得sinAcosA2=sinBcosB2=sinCcosC2,所以sinA2=sinB2=sinC2.因为A,B,C(0,),所以A2,B2,C20,2,所以A2=B2=C2,所以A=B=C.故ABC为等边三角形.11.在ABC中,a=2,c=2,sin A+cos A=0,则角B的大小为.答案12解析因为角A是三角形的内角,所以A(0,).又因为sinA+cosA=0,所以tanA=-1.所以A=34.由正弦定理可
6、知asinA=csinC,则222=2sinC,所以sinC=12.因为A=34,所以C0,4,因此C=6.由三角形内角和定理可知B=-A-C=12.12.在ABC中,求证:a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.证明因为在ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R(R为ABC的外接圆半径),所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.所以等式成立,即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.能力提升练1.满足
7、条件C=60,AB=3,BC=95的ABC有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案C解析由于BCsinC=9310395,所以ABC有两解.故选C.2.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,acos B=(2c-b)cos A,则角A的大小为()A.6B.4C.3D.2答案B解析由正弦定理得sinAcosB=(2sinC-sinB)cosA,即sin(A+B)=2sinCcosA,即sinC=2sinCcosA,所以cosA=22,故A=4.故选B.3.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=6,c=26,tan A+tan B=2sinCcosA,则SABC=
8、()A.32B.92C.93D.33答案B解析由tanA+tanB=2sinCcosA,得sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=2sinCcosA,因为cosA0,所以sinCcosB=2sinC.因为sinC0,所以cosB=12,又因为B(0,),所以B=3,所以SABC=12acsinB=1262632=92.4.在锐角ABC中,若C=2B,则cb的范围为()A.(2,3)B.(3,2)C.(0,2)D.(2,2)答案A解析由正弦定理得cb=sinCsinB=sin2BsinB=2cosB.ABC是锐角三角形,三个内角均为锐角,即0B2,02B2,0-3B2,解得6B4,2
9、2cosB32,cb(2,3).5.(多选题)(2020山东济南历城第二中学高一月考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若C=6,c=3且该三角形有两解,则a的值可以为()A.4B.5C.6D.7答案AB解析该三角形有两解,C=6,c=3,asin6ca,即3a6.故选AB.6.在ABC中,AB=AC=4,BC=2.D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是.答案152解析过点A作BC的垂线,交BC于点E,则AE=15,所以sinABC=154,则sinCBD=sin(-ABC)=154,所以SBCD=12BDBCsinCBD=1222154=152.7.在A
10、BC中,B=120,AB=2,角A的平分线AD=3,则AC=.答案6解析如图,由正弦定理易得ABsinADB=ADsinB,即2sinADB=3sin120,故sinADB=22,即ADB=45.在ABD中,已知B=120,ADB=45,即BAD=15.由于AD是BAC的角平分线,故BAC=2BAD=30.在ABC中,B=120,BAC=30,易得ACB=30.在ABC中,由正弦定理得ACsinABC=ABsinACB.即ACsin120=2sin30,故AC=6.8.(2020浙江高一检测)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+3asin C=b+c,则A=;若
11、a=3,且ABC只有唯一解,则b的取值范围为.答案3(0,32解析因为acosC+3asinC=b+c,所以由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC,则sinAcosC+3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,所以3sinA=cosA+1,则sinA-6=12,所以A=3.当a=bsin3或ab时,ABC有唯一解,即b=asin60=2,或01,所以ABC不能同时满足条件,所以ABC同时满足条件,所以ABC的面积S=12bcsinA=12b832=103,所以b=5,与矛盾,所以ABC同时满足条件.(2)在ABC中,由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=23,因为C=23-B,所以b=23sinB,c=23sin23-B,所以L=a+b+c=23sinB+sin23-B+3=632sinB+12cosB+3=6sinB+6+3.因为B0,23,所以B+66,56,sinB+612,1,所以ABC周长L的取值范围为(6,9.- 7 - 版权所有高考资源网