1、复习巩固 如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的_向量a，_实数1，2，使a_.1.平面向量的基本定理有且只有一对 1e12e2 若e1，e2_，我们把e1，e2叫做表示这一平面内_向量的一个基底.不共线 所有 2.基底不共线 任一 1e2eMNa2211eeaO第6章 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解、加减运算的坐标表示 3 3 学习目标XUE XI MU BIAO1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者
2、有何相互关系？OF1F2G 重力G可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的压力F2.把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做向量正交分解.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。1e2eMNa2211eeaO1.平面向量的正交分解 Oxy 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取i，j作为基底 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.思考 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的每一个向量呢
3、？ijMNajyixa我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，ijyxajyixaOxy 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.2.平面向量的坐标表示 记作:yxa,x叫做a在x轴上的坐标 y叫做a在y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量a的坐标表示，特殊向量的坐标：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).注：每个向量都有唯一的坐标.)1,0(10jij)0,0(0)0,1(01jii1212xxabyy aaijxyo,A x y2以原点O为起点作,OAa的坐标关系如何？a点A的坐标与向量两者相同1以原点O为起点作点A的位置由谁确定?,O
4、Aa由 唯一确定a注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同.概念理解 3向量 与 相等，利用坐标如何表示？),(11 yxa),(22 yxb 当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标.xy概念理解 4区别：（1）表达形式不同，如a(1,2)，A(1,2).（3）符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义：表示一个固定的点表示一个向量.为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y).向量有等号，点无等号（2）给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个.总结 区别表
5、示形式不同 向量a(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同例3.用基底,分别表示向量,并求出它们的坐标.ijabcd-4 -3 -2 -1 1 2 3 4-2-112453abcdABO23(2,3)ABij23(2,3)bij 23(2,3)cij 23(2,3)dij 请同学们研究此例四个向量的坐
6、标与表示该向量的有向线段的起点坐标、终点坐标的关系.一个向量坐标等于该向量终点坐标减去起点坐标 一、平面向量的坐标表示例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的BA坐标；OA a，ABb解 作AMx轴于点M，则OMOAcos 45 AMOAsin 45 4 22 2 2.A(2 2，2 2)，故 a(2 2，2 2).AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，C32，3 32，ABOC 32，3 32，即 b32，3 32.解 BAAB32，3 32.求点、向量坐标的
7、常用方法(1)求点的坐标:可利用已知条件,求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.(2)求向量的坐标:先求出这个向量的起点、终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标.两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)两个向量和(差)的坐标表示 坐标表示：若=1,1,=2,2,则 =(1 2,1 2)任一向量的坐标 1,1 2,2一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 如图，已知 1,1,2,2，坐标原点为O.则OA=1,1 ，OB=2,2 ，所以 AB=OB-OA=2,2 1,1=2 1,2 13.平面向量的加减坐标运算
8、求一个点的坐标，可以转化为求以坐标原点为起点，以该点为终点的有向线段表示的向量的坐标平面向量的坐标运算 3 重点笔记 在求一个向量的坐标时，可以首先求出表示这个向量的有向线段的起点坐标和终点坐标，再用终点的坐标减去起点的坐标从而得到该向量的坐标向量的坐标只与表示此向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关，而与他们的具体位置无关.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，坐标不变.例题2 已知向量a(2，1),b(-3，4),求a+b,a-b,3a4b的坐标.),(),(),(),(5141324312 ba),(),(),(),(3541324312ba3a4b3(2,1)
9、4(3，4)(6,3)(12，16)(6,19)二、平面向量加、减运算的坐标表示解法1：设顶点D的坐标为（x，y）BADCyx例题3 已知ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(-2，1)，(-1，3)，(3，4)，求顶点D的坐标)2,1()13),2(1(AB)4,3(yxDCyx4231)4,3()2,1(yxDCAB顶点D的坐标为（2，2）OyxABCDBCBAADBABD)34),1(3()31),1(2(），（13 BDOBOD)1,3()3,1()2,2(解法2：由向量加法的平行四边形法则可知 例题3 已知ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(-2，1)，(-1，3)，(3，
10、4)，求顶点D的坐标顶点D的坐标为（2，2）你能比较两种解法在思想方法上的异同点吗？例 2已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4，3)，则向量BC等于解析 设 C(x，y)，则ACOC OA(x，y1)(4，3)，A.(7，4)B.(7,4)C.(1,4)D.(1,4)即x4，y2，故 C(4，2)，则BCOC OB(7，4).解 ACABAD，巩固训练在ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，求BD的坐标.AD ACAB(1，1)，BD AD AB(3，5).平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.(2)若已
11、知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.课前预学 二、平面向量加、减坐标运算的应用如图所示,已知直角梯形 ABCD,ADAB,AB=2AD=2CD,过点C 作 CEAB 于点 E,用向量的方法证明:DEBC.解析如图,以 E 为原点,AB 所在直线为 x 轴,EC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,设|=1,则|=1,|=2.CEAB,AD=DC,四边形 AECD 为正方形,可求得各点坐标分别为 E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1).=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1),=,即 DEBC.课前预
12、学 方法总结通过建立平面直角坐标系,可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一有序实数对都表示一个向量.因此,向量的坐标表示实质上是向量的代数表示,引入向量的坐标后,可使向量运算代数化,将数和形结合起来,从而将几何问题转化为代数问题来解决.已知边长为 2 的正三角形 ABC,顶点 A 在坐标原点,AB 边在 x 轴上,C 在第一象限,D 为 AC 的中点,分别求向量 ,的坐标.【巩固训练】解析如图,由正三角形 ABC 的边长为 2,得顶点 A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60),所以 C(1,3),又 D 为 AC 的中点,所以 D12,32,所以 =
13、(2,0),=(1,3),=(1-2,3-0)=(-1,3),=12-2,32-0=-32,32.课前预学 直观想象、数学运算结合图形,分类讨论已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 =+(R),试求为何值时:(1)点 P 在第一、三象限的角平分线上;(2)点 P 在第三象限内.解析设点 P 的坐标为(x,y),则 =(x-2,y-3),+=(5-2,4-3)+(7-2,10-3)=(3+5,1+7).=+(R),(x-2,y-3)=(3+5,1+7),-2=3+5,-3=1+7,得 =5+5,=4+7,点 P 的坐标为(5+5,4+7).(1)若点 P 在第一、三象限的角平分
14、线上,则 5+5=4+7,解得=12.(2)若点 P 在第三象限内,则 5+5 0,4+7 0,解得-1.坐标形式下向量相等的条件及其应用:(1)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等.反之对应坐标相等的向量是相等向量.(2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可求某些参数的值.解析如图,设滚动后圆心位于点 C,过点 C 作 x 轴的垂线,垂足为 A,过点 P 作 PBBC,其中 BCx 轴.易知劣弧 =2,即圆心角PCA=2 rad,则PCB=2-2 rad,所以PB=sin 2-2=-cos 2,CB=cos 2-2=sin 2,所以点 P 的坐标为(2-s
15、in 2,1-cos 2),因此,的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).课前预学 如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置为(0,1),此时圆上一点 P 的位置为(0,0),圆在 x 轴上沿 x 轴正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为 .(2-sin 2,1-cos 2)4、如图，是圆上的三个不同点，且=120，=120，则=（）A2 33 +2 33 B2 33 2 33 C33 +33 D33 33 分析：建立直角坐标系，设圆的半径为1，则可求出,的坐标，即可得到向量,的坐标，由于,不共线，所以利用平面向量基本定理进行求解即可 5、（选做）在扇形中，=60，=1，为弧上的一个动点，且=+则+4的取值范围为（）A1,4)B 1,4 C 2,3)D 2,3 解：以O为原点,OB所在直线为轴建立平面直角坐标系，令 =,则=0,60 =1，则B（1，0）（12，32）（,）又=+，则=2+=32,则=13 =23 则+3=2 33 +4,又 0,60，=2 33 +4为减函数，故值域为1,4 1.知识清单：(1)平面向量的正交分解及坐标表示.(2)平面向量加、减运算的坐标表示.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标.课堂小结KE TANG XIAO JIEAB书面作业