1、2.5.2圆与圆的位置关系 知识要点要点圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为_、_、_、_、_.外离外切相交内切内含1几何法：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系_dr1r2 dr1r2d|r1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断 圆C1方程圆C2方程 消元，一元二次方程0 0 0 相交内切或外切外离或内含基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)圆C1：x2y22x2y20与圆
2、C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有2条()(4)如果两圆相外切，则有公切线3条()2圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系为()A相离 B相交C外切 D内切解析：圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r11；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r22；1r2r1|O1O2|5 r1r23，即两圆相交答案：B3圆x2y22xF0和圆x2y22xEy40的公共弦所在的直线方程是xy10，则()AE4，F8 BE4，F8CE4，F8 DE4，F8解析：由题意联立两圆方程x2y22xF0，x2y22xEy40，得4xEy4F0，则E4 1，4F41，解得E4，F8，故选C.答案
3、：C4已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B两点，则直线AB的方程是_解析：(x1)2(y3)220化为一般式为：x2y22x6y100，又圆x2y210，即x2y2100得：x3y0，即为直线AB的方程答案：x3y0题型一圆与圆的位置关系的判断1两圆 C1：x2y22x30，C2：x2y24x2y30 的位置关系是()A相离B相切C相交D内含解析：法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x1)2y24，(x2)2(y1)22，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，1)，半径为r12，r22，则|C1C2|122012 2，r1r22 2，r1r22 2，故
4、r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交法二：(代数法)联立方程x2y22x30，x2y24x2y30，解得x11，y12，x23，y20，即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数是2，故可判断两圆相交故选C.答案：C2已知圆C1：(x1)2(y2)24，圆C2：(x2)2(y2)29，则两圆的位置关系是_.解析：由题意知C1(1,2)，r12，C2(2，2)，r23，|C1C2|5，r1r25，因此两圆外切答案：外切方法技巧判断圆与圆的位置关系的一般步骤1将两圆的方程化为标准方程(若原方程已是标准形式，此步骤不需要)2分别求出两圆的圆心坐标和半径长 r1，r2.3求两圆的圆心距 d.4比较 d
5、 与|r1r2|，r1r2 的大小关系5根据大小关系确定位置关系题型二两圆相切问题例 1(1)以(3，4)为圆心，且与圆 x2y264 内切的圆的方程为_(2)圆 C1：(xm)2(y2)29 与圆 C2：(x1)2(ym)24外切，则 m 的值为_.解析：(1)设所求圆的半径为r，则3242|8r|，所以r3或r13，故所求圆的方程为(x3)2(y4)29或(x3)2(y4)2169.(2)C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22，由题意得|C1C2|5，即(m1)2(m2)225，解得m2或m5.答案：(1)(x3)2(y4)29或(x3)2(y4)2169(2)2或5方法技巧处理两
6、圆相切问题的两个步骤1定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑两圆内切还是外切两种情况讨论2转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)变式训练 1(1)半径为 6 的圆与 x 轴相切，且与圆 x2(y3)21 内切，则此圆的方程是()A(x4)2(y6)26B(x4)2(y6)26 或(x4)2(y6)26C(x4)2(y6)236D(x4)2(y6)236 或(x4)2(y6)236解析：(1)由题意可设圆的方程为(xa)2(y6)236，由题意，得 a295，所以a216，所以a4.故选D.答案：(1)D(
7、2)与圆x2y22x0外切且与直线x3 y0相切于点M(3，3)的圆的方程是_解析：(2)已知圆的方程可化为(x1)2y21，则圆心为C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)由题意，可得 a12b2r1，b 3a3 33 1，|a 3b|2r，解得a4，b0，r2或a0，b4 3，r6即所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4 3)236.答案：(2)(x4)2y24或x2(y4 3)236题型三两圆相交的问题例 2求圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y22x2y10 的公共弦所在直线被圆 C3：(x1)2(y1)2254 所截得的弦长分析：两圆作差求出公
8、共弦所在直线求弦长.解析：设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标是方程组x2y21，x2y22x2y10 的解，两式相减得xy10.因为A，B两点的坐标满足xy10，所以AB所在直线方程为xy10，即C1，C2的公共弦所在直线方程为xy10，圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d 12，由条件知r2d2254 12234，所以直线AB被圆C3截得的弦长为2 232 23.变式探究 1本例条件不变，如何求圆 C1与圆 C2的公共弦长？解析：由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为xy10，对于圆C1：x2y21，该圆
9、的圆心到直线xy10的距离为d|10101|1212 22，由条件知r2d2122212，所以公共弦长为2 22 2.方法技巧1两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.2公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解变式训练 2若O：x2y25 与O1：(xm)2y220(mR)相交于 A，B 两点，且两圆在
10、点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB的长度为_解析：如图所示，在RtOO1A中，|OA|5，|O1A|25，|OO1|5，|AC|52 552，|AB|4.答案：4易错辨析忘记求相交两圆的公共弦方程的前提致错例 3过两圆 C1：x2y22x2y10，C2：x2y24x210 的交点所在的直线的方程为()Axy110Bxy110Cxy110D不存在解析：由题意得 C1(1,1)，R11，C2(2,0)，R25|C1C2|2R2R1，两圆内含过两圆交点的直线不存在故选 D.答案：D【易错警示】易错原因纠错心得忘记了两圆相交的前提，直接把两圆方程相减得 xy110，错选 A.只有当两圆相交时，它的公共弦方程才是把两圆的方程对应相减得到；如果两圆不相交，则不能用这个结论今后遇到类似问题，要先判断两圆的位置关系，再作决定.谢谢 观 看