1、 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式题型1 基本公式的运用例 1 化简求值：(1)sin 14cos 16sin 76cos 74；(2)sinx3 2sinx3 3cos23 x；(3)tan 23tan 37 3tan 23tan 37.解析：(1)原式sin 14cos 16cos 14sin 16 sin()1416 sin 3012.(2)原式sin xcos3 cos xsin3 2sin xcos32cos xsin3 3cos23 cos x 3sin23 sin x 3sin xcos3 cos xsi
2、n3 3cos23 cos x 3sin23 sin x 3cos3 3sin23sin xsin3 3cos23cos x 312 3 32 sin x32 312 cos x0.(3)tan 60tan()2337 tan 23tan 371tan 23tan 37 3，tan 23tan 37 3 3tan 23tan 37，故得 tan 23tan 37 3tan 23tan 37 3.点评：化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用对于三角函数式的化简，要求：能求出值的应求出值；使三角函数的种数最少；使项数尽量少；尽量使分母不含有三角函数式；尽量使被开方数不含有
3、三角函数式 跟踪训练1化简求值：sin 15cos 15cos 15sin 15.解析：原式tan 1511tan 15 tan 15tan451tan 45tan 15 tan()1545 tan()30 tan 30 33.题型2 利用公式求值例 2 已知4 34，0 4，cos4 35，sin34 513，求 sin()的值分析：34 4 2().解析：4 34，2 4 0.cos4 35，sin4 45.04，34 34 32，得 3.又12sin()352，cos()45.()，cos cos()cos()cos sin()sin，45 55 352 55 2 525.题型3 利用公
4、式解决给值求角问题例 3 已知 cos 17，cos()1314，且 0 2.(1)求 tan 的值；(2)求.分析：本题中().解析：(1)cos 17，02，sin 4 37，tan sin cos 4 3.(2)02，02.cos()1314，sin()3 314.由()，得 cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 4971412.02，所以 3.点评：解答此类问题分三步：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求的角特别注意选取角的某一个三角函数值，是取正弦，还是取余弦应先缩小所求角的取值范围，
5、最好把角的范围缩小在某一三角函数值的一个单调区间内 跟踪训练3(1)已知 tan 2，tan 3，且，都是锐角，求；(2)已知，均为锐角，sin 55，cos 1010，求.解析：(1)tan()tantan 1tan tan 231231.，都是锐角，0，由上式知 34.(2)，都是锐角，sin 55，cos 1010，cos 2 55，sin 3 1010.，都是锐角，且 sin sin，2 0，sin()sin cos cos sin 55 1010 2 55 3 1010 22.4.题型4 化简与证明例 4 求证：sin()sin()sin2sin2.证明：左边()sin cos co
6、s sin()sin cos cos sin sin2cos2cos2sin2 sin2(1sin2)(1sin2)sin2 sin2sin2sin2sin2sin2sin2 sin2sin2右边 点评：这个恒等式很特别，与实数的平方差公式相似，为此，也把它称为三角正弦平方差公式事实上，还可以证明恒等式 cos()cos()cos2cos21.4在斜ABC 中，求证：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.分析：在ABC 中，ABC.证明：在ABC 中，ABC，ABC，tan()AB tan()C tan C，跟踪训练 tan Atan B1tan Atan Btan C，tan Atan Btan C(1tan Atan B)，即 tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，亦即 tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.