1、高三阶段检测 理倾向数学 2013.11本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.第卷 选择题（共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若，则 A. B. C
2、. D.2.已知集合，则A. B. C. D.3.已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为A. B. C. D. 4.函数的图像为 5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”给出下列函数： ； ； 其中“同簇函数”的是A. B. C. D. 6.若数列的前项和，则数列的通项公式A. B. C. D. 7.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.8.已知，满足约束条件，若的最小值为，则A.B.C.D.9.在中,角的对边分别为,且.则 ABCD10.函数是上的奇函数，,则的解集是 A . B. C. D. 11.设函数，若实数满足，则 A B C D
3、12.给出下列四个命题，其错误的是 已知是等比数列的公比，则“数列是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 若定义在上的函数是奇函数，则对定义域内的任意必有. 若存在正常数满足 ，则的一个正周期为 . 函数与图像关于对称. A. B. C. D.第卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡中相应题的横线上13. （）14. 15.在中，则 16.设, 则当 _时, 取得最小值. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）已知,.()若,求的值;()设,若,求的值.
4、18.(本小题满分12分）已知函数和的图象关于轴对称，且. ()求函数的解析式； ()解不等式19. (本小题满分12分）设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.() 若，求数列的通项公式；() 记,，且成等比数列,证明:().CBA20.(本小题满分12分）如图,游客在景点处下山至处有两条路径.一条是从沿直道步行到,另一条是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直道步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,索道长为,经测量,.() 求山路的长;() 假设乙先到，为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行
5、的速度应控制在什么范围内?21（本小题满分12分）新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.（）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求. （）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： ； 试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.22(本小题满分14分)设函数 ()当时，求函数的最大值；()令（），其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；()当，方程有唯一实数解，求正数的值2013.11
6、理科数学 参考答案及评分标准一、二、13. 14. 15. 16. 三解答题17解: () 又,3分 , 5分 .6分() 即 8分两边分别平方再相加得: 10分且 12分18.解：()设函数图象上任意一点，由已知点关于轴对称点一定在函数图象上，2分代入，得 4分 ()方法1或 8分 或 10分 或 不等式的解集是12分方法2：等价于或解得或所以解集为19解()因为是等差数列，由性质知，2分所以是方程的两个实数根，解得，4分或即或.6分()证明:由题意知 7分成等比数列， 8分 10分 左边= 右边= 左边=右边()成立. 12分20解: () , , 2分 4分根据得 所以山路的长为米. 6
7、分 ()由正弦定理得() 8分甲共用时间：，乙索道所用时间：，设乙的步行速度为 ，由题意得，10分整理得 为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在内. 12分21解：（）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：当时，是增函数；恒成立；恒成立3分（）对于函数模型：当时，是增函数，则显然恒成立 4分而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而，不恒成立故该函数模型不符合公司要求 7分对于函数模型：当时，是增函数，则恒成立 8分设，则当时，所以在上是减函数， 10分从而，即，恒成立故该函数模型符合公司要求 12分22.解：()依题意，的定义域为，当时，2分由 ，得，解得由 ，得，解得或，在单调递增，在单调递减； 所以的极大值为，此即为最大值4分()，则有在上有解， ， 所以 当时，取得最小值8分()方法1由得，令， 令，在单调递增，10分而，在，即，在，即，在单调递减，在单调递增，12分极小值=,令，即时方程有唯一实数解. 14分方法2：因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则令，因为所以（舍去），当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 当时，取最小值. 10分若方程有唯一实数解，则必有 即 所以因为所以12分设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.，方程(*)的解为，即，解得14分