1、上海市行知中学2020届高三数学上学期9月月考试题（含解析）一、填空题1.若集合，则用列举法表示集合=_【答案】【解析】【分析】根据题意，分析集合A可得A中的元素，将其元素代入yx2+1中，计算可得y的值，即可得B的元素，用列举法表示即可得答案【详解】根据题意，A2，1，0，1，2，对于集合By|yx2+1，xA，当x2时，y5，当x1时，y2，当x0时，y1；故答案为：【点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B中x所取的值为A中的元素且必须用列举法表示2.命题“如果且，那么”的否命题是_命题（填真或假）【答案】假【解析】【分析】判断逆命题的真假，再判断否命题即可【详解】“如果x2且y2，那么
2、x+y4”的逆命题是：“如果那么且”是假命题，例如，又命题的否命题与逆命题同真假，则否命题为假命题故答案为：假【点睛】本题考查四种命题的形式及真假，注意否命题与逆命题真假相同的应用，属于基础题3.不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】利用对数函数的定义与性质，化简不等式，即可求出不等式的解集【详解】由题故答案为：【点睛】本题考查了利用对数函数的定义与性质求解不等式的应用问题，是基础题目4.已知一元二次函数满足，若在区间上不单调，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由f（x）在区间上不单调可知对称轴x1且a+1，解不等式可求a的范围【详解】由f（x）在区间上不单调可知对称轴x1且a+1，解
3、不等式可得的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的单调性问题，是基础题5.关于的不等式的解集为，则实数为_【答案】【解析】【分析】利用一次不等式解集确定端点值即为所对方程根求解即可【详解】由题知m-x+1,再分1x2和0x1两种情况讨论恒成立问题，即得解.【详解】由题得|2x-a|-x+1,当1x2时，-x+10,所以不等式恒成立.当0x1时，-x+10，所以2x-a-x+1或2x-ax-1，所以a3x-1或ax+1在0,1上恒成立，所以a2,因为a0,综合得a2.故答案为：a2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力
4、.10.如果，已知正方形的边长为2，平行轴，顶点，和分别在函数，和的图像上，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】设B（x，2logax），利用BC平行于x轴得出C（x2，2logax），利用AB垂直于x轴 得出 A（x，3logax），则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为logaxx2x2，求出x，再求a 即可【详解】设B（x，2logax），BC平行于x轴，C（x，2logax）即logax2logax，xx2，正方形ABCD边长|BC|x2x2，解得x2由已知，AB垂直于x轴，A（x，3logax），正方形ABCD边长|AB|3logax2logaxlogax2，即loga22，
5、a，故答案为：【点睛】本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现出了数形结合的思想11.设、是的两个子集，对任意，定义：，若，则对任意，=_【答案】0【解析】【分析】由AB由xA时，m0，可得m（1n）xA时，必有xB，可得mn1【详解】AB则xA时，m0，m（1n）0xA时，必有xB，mn1，m（1n）0综上可得：m（1n）0故答案为：0【点睛】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.已知函数若方程且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是【答案】【解析】【详解】分别作图象，由图象可得实数的取值范围是二
6、、选择题13.下列各式中，正确的个数是（ ）（1），（2），（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据集合的相关定义逐个判断。【详解】表示空集，没有元素，有一个元素，则，故（1）错误空集是任何集合的子集，故（2）正确和都表示集合，故（3）错误0表示元素，表示集合，故（4）错误，故（5）正确，都表示集合，故（6）错误中的元素都是中的元素，故（7）正确由于集合的元素具有无序性，故，故（8）正确综上，正确的个数是4个故选D【点睛】本题主要考查了空集的辨析，一定要运用定义来进行判断，较为基础。14.设，则下列不等式恒成立的是A. B.
7、 C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质，合理推理，即可求解，得到答案.【详解】因为，所以，所以A项不正确；因，所以，则，所以B不正确；因，则，所以，又因为，则，所以等号不成立，所以C正确；由，所以，所以D错误.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为0,1上的增函数”是“为3，4上的减函数”的A. 既不充分也不必要的条件B. 充分而不必要的条件C. 必要而不充分的条件D. 充要条件【答案】D【解析】函数在上递增,利用偶函数得函数在上递减
8、,利用周期得函数在上递减,故充分性成立;函数在上递减,利用周期得函数在上递减,利用偶函数得函数在上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D.16.设，是的两个非空子集，如果存在一个函数满足： ； 对任意，当时，恒有，那么称这两个集合为“到的保序同构”，以下集合对不是“到的保序同构”的是（ ）A. B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】由题意可知S为函数的一个定义域，T为其所对应的值域，且函数yf（x）为单调增函数，对题目给出的4个选项中的集合逐一分析看是否能找到这样的函数yf（x）即可【详解】对于A中的两个集合，可取函数f（x）x-1，x，满足：（i）Bf（x）|xA；
9、（ii）对任意x1，x2A，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），故A是“保序同构”；对于B中的两个集合，可取函数 满足题意,是“保序同构”；对于C中的两个集合，可取函数f（x） （0x1），是“保序同构”利用排除法可知选：D故选：D【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思，是基础题三、解答题17.已知的反函数为，.（1）求；（2）若，求的取值范围；【答案】（1）（）；（2）.【解析】【分析】（1）利用反函数求法求解解析式及定义域即可（2）把解析式代入不等式，利用对数函数的单调性和定义
10、域解此不等式；【详解】（1）由y2x1得2xy+1，xlog2（y+1）f1（x）log2（x+1）（x1）（2）由f1（x）g（x）得log2（x+1）log4（3x+1）log4（x+1）2log4（3x+1）得【点睛】本题考查反函数的求法和函数的值域，属于对数函数的综合题，要会求一些简单函数的反函数，掌握有关对数函数的值域的求法，属中档题18.如图，在三棱锥中，平面，分别是，的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）若异面直线与所成的角为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）三棱锥PABC中，由PA平面ABC，ACAB，利用VPABCPA能求出三棱锥PABC的体积（2）取AC
11、中点F，连接DF，EF，则ABDF，得EDF（或其补角）就是异面直线AB与ED所成的角，由此能求出tan【详解】（1）三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACAB，APBC4，ABC30，D、E分别是BC、AP的中点，AC2，AB2，所以，体积VPABCPA （2）取AC中点F，连接DF，EF，则ABDF，所以EDF（或其补角）就是异面直线AB与ED所成的角 由已知，ACEAAD2，AB2，PC2，ABEF，DFEF 在RtEFD中，DF，EF，所以，tan【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用19.已知A、B两地的距离
12、是100km，按交通法规定，A、B两地之间的公路车速x应限制在60120km/h，假设汽油的价格是7元/L，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？【答案】80,280【解析】【分析】将总费用表示出来，再利用均值不等式得到答案.【详解】设总费用为则 当时等号成立，满足条件故最经济的车速是，总费用为280【点睛】本题考查了函数表达式，均值不等式，意在考查学生解决问题的能力.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素
13、个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】(1) ，;(2)见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2A，把2代入进行验证；（2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A中元素的个数，=1，求出x的值，从而求出集合A【详解】（1）证明：若xA，则 又2A，-1A，A中另外两个元素为，；（2），且，故集合中至少有3个元素，不是双元素集合；（3）由，可得 ，所有元素积为1，、，.【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题21.已知是偶函数，.（1）求的值，
14、并判断函数在上的单调性，说明理由；（2）设，若函数与的图像有且仅有一个交点，求实数的取值范围；（3）定义在上的一个函数，如果存在一个常数，使得式子对一切大于1的自然数都成立，则称函数为“上的函数”（其中，）.试判断函数是否为“上的函数”，若是，则求出的最小值；若不是，则说明理由.（注：）.【答案】（1），递减；理由见解析；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）由偶函数的定义可得f（x）f（x），结合对数函数的运算性质，解方程可得所求值；函数h（x）f（x）xlog4（4x+1）x在R上递减，运用单调性的定义和对数函数的单调性，即可证明；（2）由题意可得log4（4x+1）xlog4（a2xa
15、）有且只有一个实根，可化为2x+2xa2xa，即有a，化为a1，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围（3）利用求解即可详解】（1）f（x）log4（4x+1）+kx是偶函数，可得f（x）f（x），即log4（4x+1）kxlog4（4x+1）+kx，即有log42kx，可得log44xx2kx，由xR，可得k；又函数h（x）f（x）xlog4（4 x+1）x=在R上递减，理由：设x1x2，则h（x1）h（x2）log4（ ）log4（）log4（4x1+1）log4（4x2+1），由x1x2，可得x1x2，可得log4（4x1+1）log4（4x2+1），则h（x1）h（x2），即y
16、f（x）x在R上递减；（2）g（x）log4（a2xa），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，即为log4（4x+1）xlog4（a2xa）有且只有一个实根，可化为2x+2xa2xa，即有a，化为a1，可令t12x（t1），则2x，则a1，由9t34在（1，）递减，（，+）递增，可得9t34的最小值为2344，当a14时，即a3满足两图象只有一个交点；当t1时，9t340，可得a10时，即a1时，两图象只有一个交点，综上可得a的范围是（1，+）3（3）是函数，理由如下：由题当任意，有 因为单调递增，则，故的最小值为【点睛】本题考查函数的导函数与单调性，方程与函数零点，考查转化化归能力，是中档题
