1、第2课时正弦定理(2)学 习 目 标核 心 素 养1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点)2.能根据条件，判断三角形解的个数3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点)1.通过三角形解的个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理素养2.借助求解三角形的面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养1正弦定理及其变形(1)定理内容：2R(R为外接圆半径)(2)正弦定理的常见变形：sin Asin Bsin Cabc；2R；a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C；sin A，sin B，sin C思考：在ABC中，已知a
2、cos Bb cos A你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?提示可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B2R sin B cos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin A cos Bcos A sin B0.2对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明图形关系式解的个数A为锐角ab sin A；ab一解b sin Aab两解ab sin A无解思考：在ABC中，a9，
3、b10，A60，判断三角形解的个数提示sin Bsin A，而1，所以当B为锐角时，满足sin B的角有60B90，故对应的钝角B有90B120，也满足AB180，故三角形有两解3三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)SABCbc sin Aac sin Bab sin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半(2)SABCah，其中a为ABC的一边长，而h为该边上的高的长(3)SABCr(abc)rl，其中r，l分别为ABC的内切圆半径及ABC的周长1在ABC中，sin Asin C，则ABC是()A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形B由正弦定理可
4、得sin Asin C，即ac，所以ABC为等腰三角形2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知B30，a3，c2，则ABC的面积为()A BC DB由题意可知，ABC的面积为ac sin B32sin 30.3在ABC中，A30，a3，b2，则这个三角形有()A一解 B两解C无解 D无法确定A由ba和大边对大角可知三角形的解的个数为一解4在ABC中，若，则B的值为 45根据正弦定理知，结合已知条件可得sin Bcos B，又0B180，所以B45.三角形解的个数的判断【例1】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(
5、2)a2，b6，A30.解(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010，ab sin A，本题无解(2)a2，b6，ab，A30b sin A，b sin Aa，AC，BC；ABABsin Acos B，cos Asin B【例3】在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C.(1)求C的大小；(2)若c2，A，求ABC的面积思路探究：(1)由mnsin 2C，利用三角恒等变换求出C的大小；(2)由正弦定理可得b的大小，利用三角形的面积公式求解解(1)由题意，mnsin A cos Bsin B cos
6、 Asin 2C，即sin (AB)sin 2C，sin C2sin C cos C.由0C0.所以cos C.C.(2)由C，A，得BAC.由正弦定理，即，解得b2.所以ABC的面积Sbc sin A22sin .(变条件，结论)将例题中的条件“m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C”换为“若ac2b，2cos 2B8cos B50”求角B的大小并判断ABC的形状解2cos 2B8cos B50，2(2cos2B1)8cosB50.4cos2B8cosB30，即(2cos B1)(2cos B3)0.解得cos B或cos B(舍去).0B，B.ac2b
7、.由正弦定理，得sin Asin C2sin B2sin .sin Asin ，sin Asin cos Acos sin A.化简得sin Acos A，sin 1.0A，Aa，所以BA，故B60或120.(3)当b sin Aab时，ABC有两解2满足a4，b3和A45的ABC的个数为()A0B1C2D无数多B因为A453b，所以ABC的个数为1.3在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a4，b3，C60，则ABC的面积为()A3 B3 C6 D6B由Sab sin C43得S3，故选B.4在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A ，a 2由tan A2，得sin A2cos A，由sin2Acos2A1，得sinA，b5，B，由正弦定理，得a2.5在ABC中，若abc135，求的值解由条件得，sin Asin C.同理可得sin Bsin C.