1、专题15 函数与导数（1）函数与导数小题：10年30考，平均每年3个，可见其重要性！主要考查基本初等函数的图象和性质，包括定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数与导数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？1（2019年）已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则（）AabcBacbCcabDbca【答案】B【解析】alog20.2log210，b20.2201，00.20.30.201，c0.20.3（0，1），acb，故选B2（2019年）函数f（x）在，的图象大致为（）A BC D【答案】D【解析】f（x
2、），x，f（x）f（x），f（x）为，上的奇函数，因此排除A；又f（），因此排除B，C；故选D3（2019年）曲线y3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为 【答案】y3x【解析】y3（x2+x）ex，y3ex（x2+3x+1），当x0时，y3，y3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k3，切线方程为y3x4（2018年）设函数f（x）x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay2xByxCy2xDyx【答案】D【解析】函数f（x）x3+（a1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（x）f（x），x3+（a1）x2ax（x3+（a1
3、）x2+ax）x3（a1）x2ax所以（a1）x2（a1）x2，可得a1，所以函数f（x）x3+x，可得f（x）3x2+1，曲线yf（x）在点（0，0）处的切线的斜率为1，则曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为yx故选D5（2018年）设函数f（x），则满足f（x+1）f（2x）的x的取值范围是（）A（，1B（0，+）C（1，0）D（，0）【答案】D【解析】函数f（x），的图象如图，满足f（x+1）f（2x），可得2x0x+1或2xx+10，解得x（，0）故选D6（2018年）已知函数f（x）log2（x2+a），若f（3）1，则a 【答案】7【解析】函数f（x）log2（x2+a），若
4、f（3）1，可得log2（9+a）1，可得a77（2017年）函数y的部分图象大致为（）A BC D【答案】C【解析】函数y是奇函数，排除选项B；当x时，f（），排除A；x时，f（）0，排除D故选C8（2017年）已知函数f（x）lnx+ln（2x），则（）Af（x）在（0，2）单调递增 Bf（x）在（0，2）单调递减Cyf（x）的图象关于直线x1对称 Dyf（x）的图象关于点（1，0）对称【答案】C【解析】函数f（x）lnx+ln（2x），f（2x）ln（2x）+lnx，即f（x）f（2x），即yf（x）的图象关于直线x1对称，故选C9（2017年）曲线yx2+在点（1，2）处的切线方程为
5、【答案】xy+10【解析】曲线yx2+，可得y2x，切线的斜率为k211切线方程为y2x1，即xy+1010（2016年）若ab0，0c1，则（）AlogaclogbcBlogcalogcbCacbcDcacb【答案】B【解析】ab0，0c1，logcalogcb，故B正确；当ab1时，0logaclogbc，故A错误；acbc，故C错误；cacb，故D错误；故选B11（2016年）函数y2x2e|x|在2，2的图象大致为（）ABCD【答案】D【解析】f（x）y2x2e|x|，f（x）2（x）2e|x|2x2e|x|，故函数f（x）为偶函数，当x2时，y8e2（0，1），故排除A，B；当x0，
6、2时，f（x）y2x2ex，f（x）4xex0有解，故函数y2x2e|x|在0，2不是单调的，故排除C，故选D12（2016年）若函数f（x）xsin2x+asinx在（，+）单调递增，则a的取值范围是（）A1，1B1，C，D1，【答案】C【解析】函数f（x）xsin2x+asinx的导数为f（x）1cos2x+acosx，由题意可得f（x）0恒成立，即为1cos2x+acosx0，即有cos2x+acosx0，设tcosx（1t1），即有54t2+3at0，当t0时，不等式显然成立；当0t1时，3a4t，由4t在（0，1上递增，可得t1时，取得最大值1，可得3a1，即a；当1t0时，3a4t
7、，由4t在1，0）上递增，可得t1时，取得最小值1，可得3a1，即a综上可得a的范围是，故选C13（2015年）已知函数f（x），且f（a）3，则f（6a）（）ABCD【答案】A【解析】由题意，a1时，23，无解；a1时，log2（a+1）3，7，f（6a）f（1）2112故选A14（2015年）设函数yf（x）的图象与y2x+a的图象关于yx对称，且f（2）+f（4）1，则a（）A1B1C2D4【答案】C【解析】与y2x+a的图象关于yx对称的图象是y2x+a的反函数，ylog2xa（x0），即g（x）log2xa，（x0）函数yf（x）的图象与y2x+a的图象关于yx对称，f（x）g（x）
8、log2（x）+a，x0，f（2）+f（4）1，log22+alog24+a1，解得：a2，故选C15（2015年）已知函数f（x）ax3+x+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a 【答案】1【解析】函数f（x）ax3+x+1的导数为f（x）3ax2+1，f（1）3a+1，而f（1）a+2，切线方程为ya2（3a+1）（x1），因为切线方程经过（2，7），所以7a2（3a+1）（21），解得a116（2014年）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）Af（x）g（x）是偶函数B|f（x）|g（x）是奇函数Cf（x）
9、|g（x）|是奇函数D|f（x）g（x）|是奇函数【答案】C【解析】f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）f（x），g（x）g（x），f（x）g（x）f（x）g（x）为奇函数，故A错误，|f（x）|g（x）|f（x）|g（x）为偶函数，故B错误，f（x）|g（x）|f（x）|g（x）|为奇函数，故C正确，|f（x）g（x）|f（x）g（x）|为偶函数，故D错误故选C17（2014年）已知函数f（x）ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）【答案】D【解析】f（x）ax33x2+1，f（x）3ax26x3
10、x（ax2），f（0）1；当a0时，f（x）3x2+1有两个零点，不成立；当a0时，f（x）ax33x2+1在（，0）上有零点，故不成立；当a0时，f（x）ax33x2+1在（0，+）上有且只有一个零点；故f（x）ax33x2+1在（，0）上没有零点；而当x时，f（x）ax33x2+1在（，0）上取得最小值；故f（）3+10；故a2；综上所述，实数a的取值范围是（，2），故选D18（2014年）设函数f（x），则使得f（x）2成立的x的取值范围是 【答案】【解析】x1时，ex12，xln2+1，x1；x1时，2，x8，1x8，综上，使得f（x）2成立的x的取值范围是19（2013年）函数f（x
11、）（1cosx）sinx在，的图象大致为（）ABCD【答案】C【解析】由题意可知：f（x）（1cosx）sin（x）f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除B，又因为当x（0，）时，1cosx0，sinx0，故f（x）0，可排除A，又f（x）（1cosx）sinx+（1cosx）（sinx）sin2x+cosxcos2xcosxcos2x，故可得f（0）0，可排除D，故选C20（2013年）已知函数f（x），若|f（x）|ax，则a的取值范围是（）A（，0B（，1C2，1D2，0【答案】D【解析】由题意可作出函数y|f（x）|的图象和函数yax的图象，如图所示由图象可知：函数yax的图象为过
12、原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y|f（x）|在第二象限的部分解析式为yx22x，求其导数可得y2x2，因为x0，故y2，故直线l的斜率为2，故只需直线yax的斜率a介于2与0之间即可，即a2，0，故选D21（2012年）当0x时，4xlogax，则a的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，2）【答案】B【解析】0x时，14x2，要使4xlogax，由对数函数的性质可得0a1，数形结合可知只需2logax，即对0x时恒成立，解得a1，故选B22（2012年）曲线yx（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为 【答案】y4x3【解析】求导函
13、数，可得y3lnx+4，当x1时，y4，曲线yx（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y14（x1），即y4x323（2012年）设函数f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m 【答案】2【解析】f（x），令，则为奇函数，的最大值与最小值的和为0函数f（x）的最大值与最小值的和为1+1+02即M+m224（2011年）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）Ay2x3By|x|+1Cyx2+4Dy2|x|【答案】B【解析】对于Ay2x3，由f（x）2x3f（x），为奇函数，故排除A；对于By|x|+1，由f（x）|x|+1f（x），为偶函数，当x0时，yx+1，是增函
14、数，故B正确；对于Cyx2+4，有f（x）f（x），是偶函数，但x0时为减函数，故排除C；对于Dy2|x|，有f（x）f（x），是偶函数，当x0时，y2x，为减函数，故排除D故选B25（2011年）在下列区间中，函数f（x）ex+4x3的零点所在的区间为（）A（，）B（，0）C（0，）D（，）【答案】A【解析】f（x）ex+4x3，f（x）ex+4，当x0时，f（x）ex+40，函数f（x）ex+4x3在（，+）上为f（0）e0320，f（）10，f（）20，f（）f（）0，函数f（x）ex+4x3的零点所在的区间为（，），故选A26（2011年）已知函数yf（x）的周期为2，当x1，1时 f
15、（x）x2，那么函数yf（x）的图象与函数y|lgx|的图象的交点共有（）A10个B9个C8个D1个【答案】A【解析】作出两个函数的图象如图所示，函数yf（x）的周期为2，在1，0上为减函数，在0，1上为增函数函数yf（x）在区间0，10上有5次周期性变化，在0，1、2，3、4，5、6，7、8，9上为增函数，在1，2、3，4、5，6、7，8、9，10上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为0，1，再看函数y|lgx|，在区间（0，1上为减函数，在区间1，+）上为增函数，且当x1时y0； x10时y1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选A27（2010年）曲线yx32x+
16、1在点（1，0）处的切线方程为（）Ayx1Byx+1Cy2x2Dy2x+2【答案】A【解析】验证知，点（1，0）在曲线上，yx32x+1，y3x22，所以ky|x=11，得切线的斜率为1，所以k1；所以曲线yf（x）在点（1，0）处的切线方程为y01（x1），即yx1故选A28（2010年）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）AB CD【答案】C【解析】通过分析可知当t0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选C29（2010
17、年）设偶函数f（x）满足f（x）2x4（x0），则x|f（x2）0（）Ax|x2或x4Bx|x0或x4Cx|x0或x6Dx|x2或x2【答案】B【解析】由偶函数f（x）满足f（x）2x4（x0），可得f（x）f（|x|）2|x|4，则f（x2）f（|x2|）2|x2|4，要使f（|x2|）0，只需2|x2|40，|x2|2，解得x4，或x0故选B30（2010年）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）f（b）f（c），则abc的取值范围是（）A（1，10）B（5，6）C（10，12）D（20，24）【答案】C【解析】作出函数f（x）的图象如图，不妨设abc，则，ab1，则abcc（10，12）故选C