1、1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学 习 目 标核 心 素 养1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法(难点).2. 掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线(重点).3. 理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系(易混点).通过画正弦函数的图象，“五点法”作图及图象应用，提升学生的直观想象素养.1正弦曲线正弦函数ysin x，xR的图象叫正弦曲线2正弦函数图象的画法(1)几何法：利用单位圆中正弦线画出ysin x，x0,2的图象；将图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)(2)五点法：画出正弦曲线在0,2上的图象的五个关键
2、点(0,0)，(，0)，(2，0)，用光滑的曲线连接；将所得图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)思考：把用“五点法”作出的图象向左、右平行移动2的整数倍单位就得到整条曲线，依据是什么？提示：依据是诱导公式(一)：sin(2k)sin (kZ)，或者说终边相同的角的正弦线相同3余弦曲线余弦函数ycos x，xR的图象叫余弦曲线4余弦函数图象的画法(1)要得到ycos x的图象，只需把ysin x的图象向左平移个单位长度即可(2)用“五点法”画余弦曲线ycos x在0,2上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，(，1)，(2，1)，再用光滑的曲线连接思考：ycos x(xR)的图象可由y
3、sin x(xR)的图象平移得到的原因是什么？提示因为cos xsin，所以ysin x(xR)的图象向左平移个单位可得ycos x(xR)的图象1用“五点法”作函数y2sin x1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是()A0，2B0，C0，2，3，4 D0，A根据“五点法”作图，x的取值为0，2.2函数ysin x，x的简图是()D函数ysin x与ysin x的图象关于x轴对称，故选D.3请补充完整下面用“五点法”作出ysin x(0x2)的图象时的列表x02sin x100 ； ； .01用“五点法”作ysin x(0x2)的图象的五个关键点为(0,0)，(，0)，(2，0)故为，为
4、0，为1.4函数ycos x，x0,2的图象与直线y的交点有 个2由图象可知：函数ycos x，x0,2的图象与直线y有两个交点正弦函数、余弦函数图象的初步认识【例1】(1)下列叙述正确的是()ysin x，x0,2的图象关于点P(，0)成中心对称；ycos x，x0,2的图象关于直线x成轴对称；正、余弦函数的图象不超过直线y1和y1所夹的范围A0B1个C2个D3个(2)下列函数图象相同的是()Af(x)sin x与g(x)sin(x)Bf(x)sin与g(x)sinCf(x)sin x与g(x)sin(x)Df(x)sin(2x)与g(x)sin x(1)D(2)D(1)分别画出函数ysin
5、 x，x0,2和ycos x，x0,2的图象，由图象(略)观察可知均正确(2)A中g(x)sin x；B中，f(x)cos x，g(x)cos x；C中g(x)sin x；D中f(x)sin x，故选D.解决正、余弦函数图象的注意点,对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.1关于三角函数的图象，有下列说法：ysin x1.1的图象与x轴有无限多个公共点；ycos(x)与ycos |x|的图象相同；y|sin x|与ysin(x)的图象关于x轴对称；ycos x与ycos(x)的图象关于y轴对称其中正确的序号
6、是 对，ycos(x)cos x，ycos |x|cos x，故其图象相同；对，ycos(x)cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知均不正确用“五点法”作三角函数的图象【例2】用“五点法”作出下列函数的简图(1)y1sin x(0x2)；(2)y1cos x(0x2)思路点拨：解(1)取值列表如下：x02sin x010101sin x10121描点连线，如图所示.#(2)取值列表如下：x02cos x101011cos x01210描点连线，如图所示用“五点法”画函数yAsin xb(A0)或yAcos xb(A0)在0,2上简图的步骤：(1)列表：x02sin x (或cos x
7、)0(或1)1(或0)0(或1)1(或0)0(或1)yb(或Ab)Ab(或b)b(或Ab)Ab(或b)b(或Ab)(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，(，y3)，(2，y5)，这里的yi(i1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数yAsin xb(yAcos xb)(A0)的图象提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上单位长度要统一2用“五点法”画出函数ysin x，x0,2上的图象解取值列表如下：x02sin x01010sin x描点，并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)正弦、余弦函数图
8、象的应用探究问题1解三角不等式sin xa(或cos xxa)一般有几种方法？提示：一般有两种方法：一是利用三角函数线，结合单位圆求解；一是利用正、余弦函数图象解决2如何处理方程f(x)g(x)的根的个数问题？提示在同一坐标中，分别画出yf(x)和yg(x)的图象，观察交点个数，如求sin xx的实根个数时，可以在同一坐标系内分别作出ysin x，yx图象(略)可知在x0,1内，sin xx没有交点，当x1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.【例3】(1)函数y的定义域为 (2)在同一坐标系中，作函数ysin x和ylg x的图象，根据图象判断出方程sin xlg x的解的个数思路点拨：(1
9、)(2) (1)由2sin x10得sin x，画出ysin x的图象和直线y.可知sin x的解集为.(2)解建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数ysin x，xR的图象描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到ylg x的图象，如图所示由图象可知方程sin xlg x的解有3个1本例(1)中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？解由2cos x10得cos x，画出ycos x的图象和直线y.观察图象可知cos x的解集是.2把本例(2)中两函数改为“y，ycos x”，方程“sin xlg x”改为“cos x”，应如何解答？解y中x的取值范围是0，)分别作出
10、y，ycos x的图象，如图由图象可观察到两个函数图象只有一个交点，所以方程cos x只有唯一一个根1用三角函数的图象解sin xa(或cos xa)的方法(1)作出ya，ysin x(或ycos x)的图象(2)确定sin xa(或cos xa)的x值(3)确定sin xa(或cos xa)的解集2利用三角函数线解sin xa(或cos xa)的方法(1)找出使sin xa(或cos xa)的两个x值的终边所在的位置(2)根据变化趋势，确定不等式的解集1“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关
11、键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点2作函数yAsin xb的图象的步骤1对于余弦函数ycos x的图象，有以下三项描述：向左向右无限延伸；与x轴有无数多个交点；与ysin x的图象形状一样，只是位置不同其中正确的有()A0个B1个C2个 D3个D根据正余弦函数图象可知，正确2函数ycos x与函数ycos x的图象()A关于直线x1对称 B关于原点对称C关于x轴对称 D关于y轴对称C由解析式可知ycos x的图象过点(a，b)，则ycos x的图象必过点(a，b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称3若方程sin x4m1在x0,2上有解，则实数m的取值范围是 因为x0,2时，1sin x1，方程有解可转化为14m11，解得m0.4用“五点法”画出函数y2sin x，x0,2上的图象解(1)列表：x022sin x02020(2)描点作图，如下：