1、2015-2016学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）只需直接写出结果1若集合A=x|x24x0，B=x|x22x0，则AB=_2复数z=1+i，且（aR）是纯虚数，则实数a的值为_3若直线mx2y1=0经过第一、三、四象限，则实数m的取值范围是_4cos275+cos215+cos75cos15的值等于_5若实数x满足x4，则函数f（x）=x+的最小值为_6设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列四个命题：若mn，n，则m；若m，m，则；若m，n，则mn；若m，n，则mn其中真命题的序号为_7设ABC的三边长分
2、别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r=_8若圆x2+y24mx+（2m3）y+4=0被直线2x2y3=0所截得的弦最长，则实数m的值为_9如图，在ABC中，已知B=，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB=_10设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球O的表面积为_11若实数x，y满足x+y40，则z=x2+y2+6x2y+10的最小值为_12已知在平面直角坐标系中，点A（2，0
3、），B（0，1）到直线l的距离分别为1和2，则这样的直线l共有_条13定义在R上的函数f（x）满足：f（x）1f（x），f（0）=6，f（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为_14已知等比数列an的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，记数列log2an的前n项和为Tn，若a1，且=9，则当n=_时，Tn有最小值二、解答题（本大题共6小题，满分90分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）在ABC在，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，sinA=cosB（1）求tanB的值；（2）若c=，求ABC的面积16（14分
4、）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=a，ABC=60，平面ACEF平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上（1）求证：BC平面ACEF；（2）当FM为何值时，AM平面BDE？证明你的结论17（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），B（9，0），C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD（1）若AC=4，求直线CD的方程；（2）证明：OCD的外接圆恒过定点18（16分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x
5、的函数关系为y=（p0，1x16，xN*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围19（16分）已知函数f（x）=exa（x1），其中，aR，e是自然对数的底数（1）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知bR，若函数f（x）b对任意xR都成立，求ab的最大值20（16分）若数列an满足条件：存在
6、正整数k，使得an+k+ank=2an对一切nN*，nk都成立，则称数列an为k级等差数列（1）已知数列an为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a8+a9的值；（2）若an=2n+sinn（为常数），且an是3级等差数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列an的前3n项和S3n；（3）若an既是2级等差数列an，也是3级等差数列，证明：an是等差数列2015-2016学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）只需直接写出结果1若集合A=x|x24x0，B=x|x22x0，则AB=（2，4【考点】交集及其运算 【专题
7、】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合【分析】解一元二次不等式分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可【解答】解：由A=x|x24x0=x|0x4，B=x|x22x0=x|x0或x2，则AB=x|0x4x|x0或x2=（2，4故答案为：（2，4【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2复数z=1+i，且（aR）是纯虚数，则实数a的值为1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于得答案【解答】解：z=1+i，由=是纯虚数，得，解得：a=1【
8、点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3若直线mx2y1=0经过第一、三、四象限，则实数m的取值范围是m0【考点】直线的一般式方程 【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆【分析】由直线过定点（0，），结合图象可得【解答】解：直线mx2y1=0经过第一、三、四象限，直线y=x经过第一、三、四象限，直线过定点（0，），结合图象可得m0故答案为：m0【点评】本题考查直线的一般式方程，数形结合是解决问题的关键，属基础题4cos275+cos215+cos75cos15的值等于【考点】两角和与差的余弦函数 【专题】计算题【分析】观察题目中两角75和15的互余关系，结合三角
9、函数的同角公式化简前二项，反用二倍角公式化简后一项即可【解答】解：cos275+cos215=cos275+sin275=1，且cos75cos15=cos75sin75=sin150=，cos275+cos215+cos75cos15=故填：【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题5若实数x满足x4，则函数f（x）=x+的最小值为2【考点】基本不等式 【专题】函数思想；数学模型法；不等式【分析】由题意可得x+40，变形可得f（x）=x+=x+4+4，由基本不等式可得【解答】解：x4，x+40，f（x）=x+=x+4+424=2当且仅当x+4=即x=1时取等号，故答案为：2【点评】本
10、题考查基本不等式求最值，凑出可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题6设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列四个命题：若mn，n，则m；若m，m，则；若m，n，则mn；若m，n，则mn其中真命题的序号为【考点】命题的真假判断与应用 【分析】根据线面垂直、面面平行的性质来求解【解答】若ma，则m要垂直a中的两条相交的直线，通过分析，m只垂直来a中的一条直线，故不能做出判断，错根据面和面垂直的性质：只要一个面当中能找出一条垂直于其他的平面的线，就可以推出这两个面相互垂直，故正确两条不同的直线逗垂直同一个平面，则这两条直线必平行，对相互平行的面，两个面之间的直线不相交，但可以是
11、异面直线，还可以垂直，故错【点评】熟悉教材，清楚线面之间的关系，借助图形辅导学习更佳7设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r=【考点】类比推理 【专题】计算题；推理和证明【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积
12、等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）rr=故答案为：【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）8若圆x2+y24mx+（2m3）y+4=0被直线2x2y3=0所截得的弦最长，则实数m的值为1【考点】直线与圆的位置关系 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】确定圆心坐标，利用圆x2+y24mx+（2m3）y+4=0被直线2x2y3=0所截得的弦最长，可得圆心
13、在直线上，代入计算，可得结论【解答】解：圆x2+y24mx+（2m3）y+4=0的圆心坐标为（2m，m+），圆x2+y24mx+（2m3）y+4=0被直线2x2y3=0所截得的弦最长，圆心在直线上，4m+2m33=0，m=1故答案为：1【点评】本题考查直线与圆相交的性质，考查学生的计算能力，比较基础9如图，在ABC中，已知B=，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB=5【考点】余弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；解三角形【分析】根据余弦定理弦求出C的大小，利用正弦定理即可求出AB的长度【解答】解：AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cosC
14、=，sinC=，由正弦定理得，即AB=5，故答案为：5【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的公式10设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球O的表面积为3【考点】球的体积和表面积 【专题】计算题【分析】先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，就是球的直径，然后求出表面积【解答】解：先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，即：对角线边长为，所以球的半径为，所以球的表面积为【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及公式的利用，是基础题11若实数x，y满足x+y40，则z=x2+y2+6x2y+
15、10的最小值为18【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】利用配方得到z的几何意义，作出不等式对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：z=x2+y2+6x2y+10=（x+3）2+（y1）2，则z的几何意义为区域内的点到点D（3，1）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当BD垂直直线x+y4=0时，此时BD的距离最小，最小值为点D到直线x+y4=0的距离d=，则z=（）2=18，故答案为：18【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义结合数形结合是解决本题的关键12已知在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，1）到直线l的距
16、离分别为1和2，则这样的直线l共有3条【考点】直线的截距式方程 【专题】数形结合；综合法；直线与圆【分析】由于AB=2+1，故满足条件的且和线段AB有交点的直线存在，故满足条件的直线有三条，另外两条直线位于线段AB的两侧【解答】解：AB=3=2+1，故存在和线段AB有交点的直线故满足条件的直线有三条，如图：故答案为：3【点评】本题考查点到直线的距离，两直线的位置关系，体现了数形结合的数学思想13定义在R上的函数f（x）满足：f（x）1f（x），f（0）=6，f（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+）【考点】导数的乘法与除法法则 【专题】
17、函数的性质及应用【分析】构造函数g（x）=exf（x）ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=exf（x）ex，（xR），则g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1，f（x）1f（x），f（x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+5，g（x）5，又g（0）=e0f（0）e0=61=5，g（x）g（0），x0，不等式的解集为（0，+）故答案为：（0，+）【点评】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键14已知等比数列an
18、的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，记数列log2an的前n项和为Tn，若a1，且=9，则当n=11时，Tn有最小值【考点】等比数列的前n项和 【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的前n项和公式可得q，利用对数的运算性质及其等差数列的前n项和公式可得Tn，再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：q=1不满足条件，舍去=9，=1+q3=9，解得q=2，log2an=log2a1+（n1）Tn=nlog2a1+=+n，a1，log2a1log22016，log21949，=，1024=210194920162048=211，当n=11时，Tn取得最小
19、值故答案为：11【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，满分90分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）在ABC在，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，sinA=cosB（1）求tanB的值；（2）若c=，求ABC的面积【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】（1）由cosC=，C（0，），可得sinC=，由A+B+C=，可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，又sinA=cosB即可得出tanB
20、（2）由（1）知tanB=，可得sinB，cosB利用正弦定理得，又sinA=cosB，利用S=bcsinA即可得出【解答】解：（1）cosC=，C（0，），sinC=，A+B+C=，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，又sinA=cosBcosB=，tanB=（2）由（1）知tanB=，cosB=由正弦定理得，=，又sinA=cosB=，S=bcsinA=【点评】本题考查了正弦定理、两角和差的正弦函数、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（14分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=a，ABC=60，
21、平面ACEF平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上（1）求证：BC平面ACEF；（2）当FM为何值时，AM平面BDE？证明你的结论【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】（1）由已知可得ADC是等腰三角形，且BDC=ADC=120，解得BCAC，又平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCD=AC，即可证明BC平面ACEF；（2）在RtACB解得AC=a，AB=2a，在梯形ABCD中，设ACBD=N，连接EN，有：CN：NA=1：2，又ACEF是平行四边形，FM=a，可得EF=AC=，且FM：
22、ME=1：2，从而证明四边形EMAN为平行四边形，AMNE，即可得证AM平面BDE【解答】解：（1）在等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=a，ABC=60，ADC是等腰三角形，且BDC=ADC=120，DCA=DAC=30，ACB=90，即BCAC，又平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCD=AC，BC平面ABCD，BC平面ACEF；7分（2）当FM=a，AM平面BDE，证明：在RtACB，ACB=90，ABC=60，BC=a，AC=a，AB=2a，在梯形ABCD中，设ACBD=N，连接EN，则有：CN：NA=1：2，又ACEF是平行四边形，FM=a，EF=AC=，且FM：ME
23、=1：2，EM=AN，又EMAN，四边形EMAN为平行四边形，AMNE，又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE14分【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查17（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），B（9，0），C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD（1）若AC=4，求直线CD的方程；（2）证明：OCD的外接圆恒过定点【考点】圆的一般方程；直线的一般式方程 【专题】直线与圆【分析】（1）根据条件确定C，D的坐标，根据直线的两点式方程即可求直线CD的方程；（2）根据AC=BD，
24、根据待定系数法表示出C，D的坐标，利用圆的一般式方程，即可得到结论【解答】解：（1）若AC=4，则BD=4，B（9，0），D（5，0），A（3，4），|OA|=，则|OC|=1，直线OA的方程为y=x，设C（3a，4a），1a0，则|OC|=5|a|=5a=1，解得a=，则C（，），则CD的方程为，整理得x+7y5=0，即直线CD的方程为x+7y5=0；（2）证明：OCD的外接圆恒过定点设C（3a，4a），1a0，则|AC|=5|a+1|=5（a+1），则|BD|=|AC|=5（a+1），则D（45a，0），设OCD的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，O（0，0），C（3a，4
25、a），1a0，D（45a，0），圆的方程满足，即，则，解得E=10a3，F=0，D=5a4，则圆的一般方程为x2+y2+（5a4）x+（10a3）y=0，即x2+y24x3y+5a（x+2y）=0，由，解得或，即：OCD的外接圆恒过定点（0，0）和（2，1）【点评】本题主要考查直线方程的求解，以及圆的一般式方程的应用，利用待定系数法是解决本题的关键综合性较强，难度较大18（16分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p0，1x16，xN*），并
26、且前4个月，区域外的需求量为20万吨（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围【考点】根据实际问题选择函数类型 【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10（1x16，xN*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）由题意0mxx10+1030（1x16，xN*），分离参数求最值，即可得出结论【解答】解：（1）由题意，20
27、=，2p=100，y=10（1x16，xN*），油库内储油量M=mxx10+10（1x16，xN*）；（2）0M30，0mxx10+1030（1x16，xN*），（1x16，xN*）恒成立；设=t，则t1，由（x=4时取等号），可得m，由20t2+10t+1=（x16时取等号），可得m，m【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，确定函数解析式，正确分离参数求最值是关键19（16分）已知函数f（x）=exa（x1），其中，aR，e是自然对数的底数（1）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知bR，
28、若函数f（x）b对任意xR都成立，求ab的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出a=1的函数的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到；（2）求出导数，讨论当a0时，当a0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（3）由（2）可得，a0时f（x）取得极小值也为最小值，由恒成立思想可得a（2lna）b，则aba2（2lna），令t=a2（2lna），求得导数，求出极大值也为最大值，即可得到【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=ex+x1的导数为f（x）=ex
29、+1，函数f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为e+1，又切点为（1，e），则切线方程为ye=（e+1）（x1），即为（e+1）xy1=0；（2）函数f（x）=exa（x1）的导数f（x）=exa，当a0时，f（x）0，f（x）递增，则f（x）的增区间为（，+）；当a0时，f（x）0，解得，xlna，f（x）0，解得，xlna即有f（x）的增区间为（lna，+），减区间为（，lna）；（3）由（2）可得，a0时，f（x）递增，无最值；当a0时，f（x）在（，lna）上递减，在（lna，+）上递增，则f（x）在x=lna处取得极小值也为最小值，且为aa（lna1）=a（2lna）函数f（x）b
30、对任意xR都成立，则有a（2lna）b，则aba2（2lna），令t=a2（2lna），则t=2a（2lna）a=a（32lna），当0a时，t0，t递增；当a时，t0，t递减则t在a=时取得极大，也为最大，且为e3（2）=e3则ab的最大值为e3【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查构造函数运用导数求最值的思想方法，考查运算能力，属于中档题20（16分）若数列an满足条件：存在正整数k，使得an+k+ank=2an对一切nN*，nk都成立，则称数列an为k级等差数列（1）已知数列an为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a8+a
31、9的值；（2）若an=2n+sinn（为常数），且an是3级等差数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列an的前3n项和S3n；（3）若an既是2级等差数列an，也是3级等差数列，证明：an是等差数列【考点】等差数列的性质；数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由新定义结合已知求出a8、a9的值，则a8+a9的值可求；（2）由an=2n+sinn，且an是3级等差数列，列式得到2sinn=2sinncos3（nN*），求得sinn=0，或cos3=1进一步求出的取值集合，求出的最小正值后求出，得到a3n2+a3n1+a3n=6（3n1），然后利用分组求和求得S3n；（3）由
32、an为2级等差数列，即an+2+an2=2an，得到a2n1，a2n均成等差数列，分别设出等差数列a2n1，a2n的公差为d1，d2由an为3级等差数列，即an+3+an3=2an，得到a3n2成等差数列，设公差为D由a1，a7既是a2n1中的项，也是a3n2中的项，a4，a10既是中a2n的项，也是a3n2中的项列式得到a2n=a1+（2n1）d（nN*）从而说明an是等差数列【解答】（1）解：a8=a2+3（a4a2）=0+3（30）=9，a9=a1+4（a3a1）=2+42=10，a8+a9=19；（2）an是3级等差数列，an+3+an3=2an，2（2n+sinn）=2（n+3）+s
33、in（n+3）+2（n3）+sin（n3）（nN*），2sinn=sin（n+3）+sin（n3）=2sinncos3（nN*），sinn=0，或cos3=1sinn=0对nN*恒成立时，=k（kZ）cos3=1时，3=2k（kZ），最小正值等于，此时，由于（nN*），a3n2+a3n1+a3n=6（3n1）（nN*）.=9n2+3n（nN*）；（3）证明：若an为2级等差数列，即an+2+an2=2an，则a2n1，a2n均成等差数列，设等差数列a2n1，a2n的公差分别为d1，d2an为3级等差数列，即an+3+an3=2an，则a3n2成等差数列，设公差为D，a1，a7既是a2n1中的项，也是a3n2中的项，a7a1=3d1=2Da4，a10既是中a2n的项，也是a3n2中的项，a10a4=3d2=2D3d1=3d2=2D设d1=d2=2d，则D=3da2n1=a1+（n1）d1=a1+（2n2）d（nN*），a2n=a2+（n1）d2=a2+（2n2）d，（nN*）又a4=a1+D=a1+3d，a4=a2+d2=a2+2d，a2=a1+d，a2n=a1+（2n1）d（nN*）综合得：an=a1+（n1）d，an为等差数列【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的性质，是新定义题，关键是对k级等差数列概念的理解，考查了学生的逻辑思维能力和推理论证能力，是有一定难度题目
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