1、第2课时三角函数线及其应用学 习 目 标核 心 素 养1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(难点)通过三角函数线的学习，培养学生数学抽象，直观想象和数学建模素养.1有向线段(1)定义：带有方向的线段(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP.2三角函数线(1)作图：的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.过A(1,0)作x轴的垂线，交的终边或其反向延长线于点T.(2)图示：(3)结论：有向线段MP、OM、AT，分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线思考：当角的终边落在坐标轴上
2、时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？提示：当角的终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在1角和角有相同的()A正弦线B余弦线C正切线 D不能确定C角和角的终边互为反向延长线，所以正切线相同2如图，在单位圆中角的正弦线、正切线完全正确的是()A正弦线OM，正切线ATB正弦线OM，正切线ATC正弦线MP，正切线ATD正弦线MP，正切线ATC为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确3若角的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为_1若角的余弦线长度为0时，的终边落在y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0,1)或(0，1)，所以正弦线长度为
3、1.作已知角的三角函数线【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线(1)；(2)；(3).解如图其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交的终边(为第一或第四象限角)或终边的反向延长线(为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.1作出的正弦线、余弦线和正切线解如图：sinMP，cosOM，tanAT.利用三角函数线比较大小【例2】(1)已知cos cos ，那么下列结论成立的是()A若、是第一象限角，则
4、sin sin B若、是第二象限角，则tan tan C若、是第三象限角，则sin sin D若、是第四象限角，则tan tan (2)利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小思路点拨：(1) (2) (1)D由图(1)可知，cos cos 时，sin sin ，故A错误；图(1)由图(2)可知，cos cos 时，tan tan ，故B错误；图(2)由图(3)可知，cos cos 时，sin sin ，C错误；图(3)由图(4)可知，cos cos 时，tan tan ，D正确图(4)(2)解：如图，sinMP，cosOM，tanAT，sinMP，cosOM，t
5、anAT.显然|MP|MP|，符号皆正，sinsin；|OM|OM|，符号皆负，coscos；|AT|AT|，符号皆负，tantan.(1)利用三角函数线比较大小的步骤：角的位置要“对号入座”；比较三角函数线的长度；确定有向线段的正负.(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.,注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.2已知asin，bcos，ctan，则()AabcBacbCbca DbacD由如图的三角函数线知：MPAT，因为，所以MPOM，所以cossintan，所以bac.3设，试比较角的正弦线、余弦线和正切线的长
6、度如果，上述长度关系又如何？解如图所示，当时，角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，ATMPOM；当时，角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，ATMPOM.利用三角函数线解三角不等式探究问题1利用三角函数线如何解答形如sin a，sin a(|a|1)的不等式？提示：对形如sin a，sin a(|a|1)的不等式：图画出如图所示的单位圆；在y轴上截取OMa，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P，并作射线OP和OP；写出终边在OP和OP上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin a的角的范围，其余部分即为满足不等式sin a的角的范围2
7、利用三角函数线如何解答形如cos a，cos a(|a|1)的不等式？提示：对形如cos a，cos a(|a|1)的不等式：图画出如图所示的单位圆；在x轴上截取OMa，过点(a,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P和P，作射线OP和OP；写出终边在OP和OP上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos a的角的范围，其余部分即为满足不等式cos a的角的范围【例3】利用三角函数线确定满足下列条件的角的取值范围(1)cos ；(2)tan ；(3)|sin |.思路点拨：解(1)如图，由余弦线知角的取值范围是.(2)如图，由正切线知角的取值范围是.(3)由|sin |，得sin .如图，由正弦线
8、知角的取值范围是.1将本例(1)的不等式改为“cos ”，求的取值范围解如图，由余弦线知角的取值范围是.2将本例(3)的不等式改为“sin ”，求的取值范围解由三角函数线可知sinsin，sinsin，且sin ，故的取值集合是(kZ)3利用本例的方法，求函数y的定义域解要使函数有意义，只需2sin x10，即sin x.由正弦线可知定义域为(kZ)利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角满足条件的终边的位置.(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.(3)写角的范围时，抓住边界值，然
9、后再注意角的范围的写法要求.提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.1本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题(1)三角函数线的画法，见类型1；(2)利用三角函数线比较大小，见类型2；(3)利用三角函数线解简单不等式，见类型3.2三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重3利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于sin xb，cos xa(sin xb，cos xa)，求解关键是寻求恰当的点，只需作直线yb或xa
10、与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围正切型不等式的解法对于tan xc，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围1下列判断中错误的是()A一定时，单位圆中的正弦线一定B在单位圆中，有相同正弦线的角相等C和有相同的正切线D具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上BA正确；B错误，如与有相同正弦线；C正确，因为与的终边互为反向延长线；D正确2如果OM，MP分别是角的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是()AMPOM0BMP0OMCMPOM0 DOMMP0D角的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角的余弦线和正弦线满足OMMP0.3若asin 4，bcos 4，则a，b的大小关系为_ab因为4，画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图)，观察可知sin 4cos 4，即ab.4在单位圆中画出适合下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合(1)sin ；(2)cos .解(1)作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则角的终边在如图所示的阴影区域内(含边界)，角的取值集合为.图图(2)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则角的终边在如图所示的阴影区域内(含边界)，角的取值集合为.