1、上海市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.过点，且一个法向量为的直线的点法向式方程是_.【答案】【解析】【分析】根据直线的方向向量与其法向量垂直列式可得.【详解】在所求直线上任取一点,则所求直线的方向向量为,再根据直线的方向向量与法向量垂直可得,即.故答案为: .【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量以及直线的点法向式方程,属于基础题.2.三角形的重心为，则顶点的坐标为_【答案】【解析】【分析】利用三角形的重心坐标，可求得顶点的坐标.【详解】设顶点的坐标为，由三角形的重心坐标得：解得：故填：.【点睛】本题所用的公式实际上是从共线向量定理抽象得到的，如果
2、懂得利用这个结论能使运算的速度更快.3.已知矩阵A=，矩阵B=，计算：AB= 【答案】【解析】试题分析：AB=。考点：矩阵的乘法运算。点评：直接考查矩阵的乘法运算：当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的。4.点到直线的距离为，则_.【答案】或11【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离,再根据已知距离列等式可解得.【详解】由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为, ,依题意可得,化简得,所以或,解得或.故答案为或11.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题.5.设满足约束条件，则最大值为_.【答案】【解析】【分析】作出可行域后,将目标函数
3、化为斜截式,比较两条直线的斜率可找到最优解,再将最优解的坐标代入目标函数可得.【详解】作出可行域如图阴影部分:将目标函数化为斜截式可得,即求直线的纵截距最大值,比较直线与直线的斜率可知,由图可知,最优解为点,将最优解的坐标带入目标函数可得的最大值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查了利用线性规划求线性目标函数的最大值,解题关键是比较斜率找到最优解.属于中档题.6.已知点，则与向量方向相同的单位向量的坐标为_.【答案】【解析】点，可得，因此，与向量同方向的单位向量为：故答案为：7.已知，则“”是“直线与直线平行”的_.条件【答案】充分不必要【解析】【分析】当时,两直线的斜率相等,纵截距不相等,说
4、明是充分条件,而两直线平行时,也能推出,所以不是必要条件,由此可得.【详解】因为时,直线,直线,即,斜率,纵截距;,斜率 ,纵截距,因为,所以,即“”能够推出“直线与直线平行,因为时, ,此时也有,所以由可能推出,不一定推出,所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要条件.【点睛】本题考查了两条直线平行条件以及充分不必要条件,易错警示容易漏掉这种情况,属于基础题.8.三阶行列式中，元素的代数余子式的值为_.【答案】【解析】【分析】元素代数余子式的定义计算可得.【详解】根据代数余子式的定义可得元素的代数余子式的值为:.故答案为:29.【点睛】本题考查了根据行列式中元素的代
5、数余子式的定义求值.属于基础题.9.已知向量，则向量在向量上的投影为_.【答案】【解析】【分析】根据向量在向量上的投影的定义,结合向量数量积和模长公式计算可得.【详解】由定义可得向量在向量上的投影为 .故答案为:.【点睛】本题考查了向量在向量上的投影,平面向量数量积和模长公式,属于基础题.,10.中，则_.【答案】【解析】【分析】先根据,得到,然后将平方开方,利用向量的数量积计算可得.【详解】在三角形中,因为,所以,所以 .故答案为.【点睛】本题考查了向量夹角,向量数量积,向量的模的计算,属于基础题.本题易错警示是容易将三角形内角当成向量的夹角.11.已知点，若直线过点，且与线段相交，则该直线
6、的斜率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用直线的斜率公式分别计算出直线的斜率，观察图象，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围【详解】解：作出直线和点对应的图象如图：要使直线与线段相交，则直线的斜率满足或，或，则直线斜率的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，要求熟练掌握直线斜率的坐标公式，比较基础12.已知、是直线上的不同的三个点，点不在直线上，则关于的方程的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据三点共线得向量共线,再根据共线向量定理得,然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得,最后验证可知不符合题意,故解集为空集.【详解】因
7、为、是直线上的不同的三个点,所以与共线,根据共线向量定理可得,存在实数,使得,因为,所以,所以,所以,又由已知得,根据平面向量基本定理可得,且,消去得且,解得,当时,此时与两点重合,不符合题意,故舍去,故于的方程的解集为,故答案: .【点睛】本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理,三角形减法法则的逆运算,属于中档题.二.选择题13.设，则方程的解集为（ ）A. B. C. D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】按照行列式的计算法则计算行列式的值,然后解方程可得.【详解】因为 ,由,得,即,所以或.所以方程的解集为.故选.【点睛】本题考查了行列式的计算法则,属于基础题.14.如果命题
8、“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）A. 曲线是方程的曲线B. 方程的每一组解对应的点都在曲线上C. 不满足方程的点不在曲线上D. 方程是曲线的方程【答案】C【解析】【详解】由曲线与方程的对应关系,可知:由于不能判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线C上,故方程的曲线不一定是C,所以曲线C是方程的曲线不正确;方程的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确;不能推出曲线C是方程的轨迹,从而得到A,B,D均不正确,不满足方程的点不在曲线C上是正确的.故选 C.15.已知直线：，：，和两点（0,1），（-1,0），给出如下结论：不论为何值时，与都互相垂直；当变化时，与分别经
9、过定点A（0,1）和B（-1,0）；不论为何值时，与都关于直线对称；如果与交于点，则的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4.【答案】C【解析】对于，当时，两条直线分别化为:，此时两条直线互相垂直，当时，两条直线斜率分别为:,满足,此时两条直线互相垂直，因此不论为何值时，与都互相垂直，故正确；对于，当变化时，代入验证可得:与分别经过定点和，故正确；对于，由可知:两条直线交点在以为直径的圆上，不一定在直线上，因此与关于直线不一定对称，故不正确；对于，如果与交于点，由可知:，则，所以的最大值是1，故正确.所有正确结论的个数是3.故选C16.已知两个不相等的非
10、零向量与，两组向量，和，均有2个和3个按照某种顺序排成一列所构成，记，且表示所有可能取值中的最小值，有以下结论：有5个不同的值；若，则与无关； 若，则与无关； 若，则；若，且，则与的夹角为；正确的结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】按照中的对数分3种情况,求出的值:共3个值,故不正确;作差比较可得最小,再逐个分析可得.【详解】当有零对时,;当有2对时,;当有4对时,;所以有3个不同的值,所以不正确;因为,因为,所以,所以,所以,对于,因为,所以,则与无关,只与有关,所以正确;对于,当时,设,则与有关,所以不正确;对于,设与的夹角为,因为,所以 ,所以,故正确;对
11、于,因为,所以,因为,所以,所以, 因为,所以,所以与的夹角为,故不正确.故选.【点睛】本题考查了分类讨论思想,平面向量数量积和夹角,向量共线和垂直,属于难题.三.解答题17.已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组.【答案】当时, 方程组有无数组解;当时,方程组无解;当时, 方程组有唯一组解,.【解析】【分析】先交换第一行与第二行,然后第一行乘以加到第二行,再对分类讨论即可得到.【详解】对于增广矩阵 ,当时,矩阵化为,方程组有无数组解;当时,矩阵化为 ,方程组无解;当时,矩阵第二行有.,得,将代入到,得,进一步得.综上,当时, 方程组有无数组解;当时,方程组无解;当时, 方程
12、组有唯一组解,.【点睛】本题考查了利用矩阵变换解线性方程组,属于基础题.18.已知、都是单位向量，与满足，其中.(1)用k表示；(2)求的最小值，并求此时、的夹角的大小.【答案】(1)；(2)，【解析】【分析】(1)对两边平方，化简即可求解;(2)利用基本不等式求出的最小值，再结合数量积公式求出此时、的夹角.【详解】(1) 即(2)由(1)可知 当且仅当时，取最小值此时、的夹角的余弦值为，所以的最小值为，此时、的夹角为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及夹角的求法，属于中档题.19.边长为1的正三角形，、分别是边、上的点，若，其中，设的中点为，中点为.（1）若、三点共线，求证：；（
13、2）若，求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为.【解析】【分析】(1)利用共线向量基本定理得,根据三角形的中线对应的向量等于相邻两边对应的向量的和的一半,将已知条件代入得到要证的结论;(2)利用向量的运算法则:三角形减法法则的逆运算将用三角形的边对应的向量表示,利用向量模的平方等于向量的平方,将表示为的二次函数,求出二次函数的最小值.【详解】(1)由三点共线,得共线,根据共线向量定理可得,存在使得,即,所以,根据平面向量基本定理可得,所以.(2)因为,又,所以,因为三角形是边长为1的正三角形,所以,所以 ,所以时,取得最小值.【点睛】本题考查了共线向量定理,平面向量基本定理,平面
14、向量的数量积,平面向量三角形的减法法则的逆运算,二次函数求最小值,属于中档题.20.已知倾斜角为的直线过点和点，点在第一象限，.（1）求的坐标；（2）若直线与两平行直线，相交于、两点，且，求实数的值；（3）记集合直线经过点且与坐标轴围成的面积为，针对的不同取值，讨论集合中的元素个数.【答案】（1）；（2）或23；（3）答案不唯一，见解析【解析】【分析】(1)先求出直线的方程,再根据方程设出的坐标,利用以及在第一象限,可解得;(2)解方程组得的坐标,根据两点间的距离可解得;(3)设出直线的截距式方程,代入的坐标并根据面积公式可得,再分2种情况去绝对值,利用判别式讨论一元二次方程的根的个数可得.【
15、详解】(1)因为倾斜角为的直线过点,所以由点斜式得,即,因为直线过点,所以设,所以,因为,所以,化简得,解得或,因为点在第一象限,所以,所以,所以.(2)联立, 解得 ,所以,联立,解得,所以,因为,所以,化简得,解得或.(3)因为,所以可设直线的截距式方程为,因为直线经过点,所以,所以,因为直线与坐标轴围成的面积为,所以即,所以或,当时,整理得,因为恒成立,所以一元二次方程恒有两个非零实根,当时,整理得,当,即时, 无解,当,即时, 有且只有一个非零实根,当,即时, 有两个不相等的非零实根,所以,当 时,直线有两条,集合有两个元素,当时,直线有三条, 集合有三个元素,当时,直线有四条, 集合
16、有四个元素.【点睛】本题考查了两点间的距离公式,求两直线交点坐标,讨论一元二次方程实根个数,属于中档题.21.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此点为.（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当时，求折痕长的最大值.【答案】（1）；（2）；(3).【解析】试题分析：（1）若折痕的斜率为时，由于点落在线段上，可得折痕必过点，即可得出；（2）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程，当时，将矩形折叠后点落在
17、线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，有，故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，即可得出；（3）当时，折痕为2，当时，折痕所在直线交于点，交轴于，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出试题解析：（1）折痕的斜率为时，点落在线段上折痕必过点直线方程为（2）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程.当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，则与关于折痕所在的直线对称，有，即点坐标为从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，折痕所在的直线方程，即综上所述，由得折痕所在的直线方程为：（3）当时，折痕长为2当时，折痕所在直线交于点，交轴于，折痕长的最大值为.综上所述，折痕长度的最大值为点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题
