1、1.2.2同角三角函数的基本关系教学设计 使用教材：一、 设计理念：著名教育学家布鲁纳说过:“知识的获得是一个主动过程. 学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.”数学课程标准又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是以此为理念。 二、 教材分析：1.本节教材地位和作用：本节课是在学生学习了任意角和弧度制，并且理解了任意角三角函数的定义和三角函数线等知识的基础后。与圆的几何性质建立联系，来研究同角三角函数的基本关系，从而找到了同一个角的不同三角函数间的联系。在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的
2、地位，很多知识都与它有着密切联系。因此，本课时的教学内容起到一个巩固旧知、拓展新知上的承上启下的作用。 “承上”，探究同角三角函数的基本关系时，都用到了三角函数函数的定义。 “启下”，为后续的三角函数的图像与性质的学习奠定了坚实的基础，并且最近几年的高考17题都以其为背景。另外，本节内容还是学生运用化归思想、数形结合思想的良好素材，培养了学生的探究意识和创新精神。2.教学目标：（一）知识与技能目标：1.通过学生的合作探究，归纳出同角三角函数的基本关系。2.理解并记住同角三角函数的基本关系，并学会简单运用。（二）过程与方法目标：1.通过观察、交流、猜想、探究等教学活动，进一步培养学生分析问题、解
3、决问题的思维能力。 2.灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力。3.渗透化归与转化、分类讨论的思想解决问题。（三）、情感、态度与价值观目标：通过对同角三角函数的基本关系的探究和运用，使学生感受数学思考过程中的合理性、严谨性，学会用辨证的观点分析事物。在师生互动、平等与和谐的交流中，激发学生学习数学的兴趣、热情和自信心。渗透法制与安全教育，让学生学法、用法、守法和护法。3.教学重点、难点：（一） 教学重点：1.同角三角函数的基本关系的探究。2.同角三角函数的基本关系综合运用。（二） 教学难点： 1.同角三角函数的基本关系的知识的形成。 2.三角函数值符号的确定。 3.同角三
4、角函数的基本关系灵活运用。三、学情分析：根据学生已有的知识，在教材“探究”的引导下，利用几何关系中的勾股定理及三角函数的定义，学生容易得出同角三角函数的基本关系，但灵活应用关系解题是学生感到困难的地方，特别是求三角函数值时符号的确定。四、教学方法、学法和手段分析：1. 教学方法：根据本节课的教学内容和学生的认知水平，本节课主要采用以下教学方法：（1）引导启发：本节课的教学中，教师所起的作用不再是一味“传授”，而是巧妙地创设问题情境，以问题的形式启发学生发现、解决问题，在学生思维受阻时给予适当引导并启发。（2）激趣教学：教师通过探究活动极大地激发学生的学习兴趣，提高了学习的效率。即：变“苦学”为
5、“乐学”。2.学习方法：本节课的知识点相对较容易，因此在学法上，我强调学生主体意识，以学生自主探究为主，利用图形直观启迪思维，让学生主动参与到课堂教学中，体验成功的喜悦。本节课主要指导学生以下两种学法：（1）探究式学习：本节课的同角三角函数的基本关系都是通过学生的动手操作、观察、交流、猜想、探究等活动得出的，使学生亲历了知识的发生、发展、形成的全过程，从而变被动接受为主动探究。（2）合作式学习：教学中鼓励学生积极合作，充分交流，帮助学生在学习活动中获得最大的成功，促使学生学习方式的改变。即：变“要我学”为“我要学”。3. 教学手段：用几何画板、用软件自制课件,利用多媒体教学，以简化教师板书工作
6、,增加课堂教学的信息容量,保证学生探究活动时间和空间，课前要求学生自己准备了作图文具。五、教学过程设计：（一）、创设情境、引入课题回顾：上节课，我们已学会利用单位圆上点的坐标来定义任意角的三角函数；在单位圆中，如何定义角的三角函数及三角函数线的呢？问题：你能从圆的几何性质出发，寻找出同一个角的不同三角函数之间的关系吗？ 观察：你能发现以下三个特殊角的三角函数之间存在怎样的关系？ 猜想： （出示课题：同角三角函数的基本关系）设计意图：本节课采用复习回顾不仅巩固、检测了学生对知识点的掌握情况，以问题唤醒学生的回忆，引起学生的思考。问题让学生明确本节课的学习任务，起到了提纲挈领的作用。（二）、和谐互
7、助、探究新知OxYPM1A(1，0) 如图，设是一个任意角(象限角)，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？ 推导：以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即，称为同角三角函数的“平方关系” 当角(非象限角)的终边在坐标轴上时上述关系成立吗？根据三角函数的定义,当时,有，称为同角三角函数的“商数关系”归纳：同角三角函数的基本关系： 同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.注意：1.“同角”的概念包含两层意思：a.角是相同的，与角的表达形式无关， b.对“任意”一个角（在使得函数有意义的
8、前提下）关系式都成立。 如： 2.sin2a是（sina）2的简写，读作“sina”的平方，不能将sin2a写成sina2，前者是a的正弦的平方，后者是a的平方的正弦，两者是不同的。3.变形 ：设计意图：问题与探究让学生通过观察、猜想经历知识的发展形成过程，体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究。归纳同角三角函数的基本关系是一个难点，因此采用先独立思考、小组合作、再由教师引导，体会运用“观察猜想探究推理”的研究方法，并在探究的过程中学会与人合作。（三）、例题分析、应用新知例1 已知拓展与探究一：已知sin，且为第四象限角，求sin和tan.拓展与探究二：已知拓展与探究三：已知，求sin
9、和tan.设计意图：例1角的象限确定，其三角函数的符号是确定的。探究一、二、三的角所在的象限不知道，需要先判断角可能的象限，然后分情况讨论。让学生比较两者的区别，让学生注意利用平方关系求值时正负号的选择问题，解决的关键是确定角所在的象限。向学生渗透分类讨论的数学思想和“知一求二”解法。例2 求证： 拓展与探究：求证： 分析：思路1把左边分子分母同乘以，再利用公式变形； 思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求； 思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零； 思路4：用作商法，但先要确定一边不为零； 思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果； 思路
10、6：由乘积式转化为比例式； 思路7：用综合法设计意图：培养学生学会分析问题、解决问题的能力；培养学生优秀学习习惯和格式书写习惯；培养学生学会总结此类型问题的解题方法、所涉及的知识点和数学思想方法。（四） 课堂练习、巩固新知1.2.化简： 3求证： 设计意图： 例题是加深对知识点了理解的一个途径，而练习可以检测学生的对知识点的掌握情况：因此我在例1讲解后做练习1、2；例2后让学生做练习3加以巩固。巩固知识点，加深对知识的理解，使学生体会解题的关键。（五）、课堂小结、归纳新知1.这节课我们探究了哪些知识？ 2.我们是用哪些数学思想方法获得这些知识的？3.你认为还有什么问题需要继续探究？4.今天，你
11、进步了多少？5.今天，你学会了多少？设计意图： 师生互动从探究的知识、探究的方法、数学思想方法等多个角度去回顾、总结。通过小结，融合知识，深化理解.（六） 、课后作业、强化新知1必做题：（基础题） (1)化简： （2）已知，并且是第二象限角，求 2选做题：（提升题） 已知，求 3自学完成：教材20-21页习题。 设计意图：设置必做题（是基础题）和选做题（能力提升题），让学生明白本节课的重点和难点。另外设置预习是培养学生的自学能力。为下一节的学习作了很好的铺垫。五、板书设计：同角三角函数的基本关系：1.平方关系：2.商数关系：说明：例1：拓展与探究一：拓展与探究二：拓展与探究三：例2：拓展与探究：课堂练习：学生扮演：设计意图： 黑板与多媒体有机整合展示，整个板书由三板块组成，这样设计是为了展示重点与难点，层次与结构清楚，同时体现美观。六、教学反思：在本节课的教学中，同角三角函数的理解和应用是一个重点和难点。为了抓住重点，突破难点。让学生结合三角函数单位圆的定义，通过观察、交流、猜想、探究等教学活动。通过拓展与探究培养学生的综合应用能力，以便满足学生发展的要求。同时对学生学法、用法、守法、护法的法制理念和法律意识。