1、常州市教育学会学业水平监测高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解根式不等式以及绝对值不等式得到集合，再求结果即可.【详解】，或，.故选：B2. 在中，“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据解三角形知识依次判断充分性和必要性即可得到结果.【详解】，充分性成立；，必要性成立；“”是“”的充要条件.故选：C.3. 已知等比数列的公比，且，则（ ）A. 8B.
2、 12C. 16D. 20【答案】A【解析】【分析】根据等比数列通项公式列方程求出公比和首项，再结合通项公式求.【详解】因为，所以，又，所以，因为，所以，所以，又，所以q2，所以，所以，故选：A4. 如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据特殊值的函数值，结合已知函数图象，即可选择.【详解】由图可知，当或时，函数值都大于零，对A：当时，故排除A；对B：当时，故排除B；对C：当时，故排除C；故选：D.5. 若的展开式中含的项的系数为21，则a（ ）A. 3B. 2C. 1D. 1【答案】C【解析】【分析】根据二项式展
3、开式可求得的展开式中含的项的系数，由条件列方程，解方程求.【详解】解：展开式第r1项，的展开式中含的项的系数为，所以，解方程可得a1，故选：C6. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）附：若，则，A 0.1587B. 0.1359C. 0.2718D. 0.3413【答案】B【解析】【分析】首先根据函数没有零点求出的取值范围，再根据没有零点的概率是，得到，再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出的值即可【详解】函数没有零点，即二次方程无实根，又没有零点的概率是，由正态曲线对称性知，所以，故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查正态分布的曲线的性质，二次方程的解等
4、知识点，考查运算求解能力；解本题的方法是根据没有零点得到，再结合正态分布的图象的对称性得到值，然后再利用正态分布函数图象的性质求解即可；解题的关键点是要熟知正态分布函数图象的对称性7. 如图是一个近似扇形的湖面，其中OAOBr，弧AB的长为l（lr）为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB若当时，则的值约为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据弧长公式，结合余弦公式、余弦二倍角公式进行求解即可.【详解】令，则，则，故选：D8. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】观察可得，故考虑设， ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性比较大小即
5、可.【详解】记x0.2，则，令，其中，则，令，则，因为，所以，故在上单调递减，所以当时，即当时，所以函数在上单调递减，所以当时，所以，所以，令，其中，则，因为时，所以，在上单调递增，故，所以，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知等差数列的公差，且的前项和记为，若是的最大值，则k的可能值为（ ）A. 5B. 6C. 10D. 11【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件，结合数列的单调性以及的单调性，即可判断和选择.【详解】，即，又，故数列单调递减，则，故该数列的前项都为正数，且
6、从第7项开始都为负数，故是的最大值，则的可能只为或.故选：AB10. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（ ）A. B的最小值为B. C. D. 的取值范围为【答案】BC【解析】【分析】这道题是数列结合三角函数的一道综合题目，由a，b，c成等比数列，则可以求得B的取值范围，进而对选项进行逐一判断.【详解】因为a，b，c成等比数列，所以，则，A错对选项B，B对对于选项C，C对对于选项D，令，则，baq，D错故选：BC11. 已知函数及其导函数定义域均为，若，对任意实数x都成立，则（ ）A. 函数是周期函数B. 函数是偶函数C. 函数的图象关于中心对称D. 函数与
7、的图象关于直线对称【答案】ABC【解析】【分析】根据函数奇偶性与对称性得函数的周期性，再根据导数运算确定导函数的奇偶性与对称性即可判断，由函数对称性可确定函数与的图象的对称轴.【详解】解：由题为奇函数关于原点对称，由于关于对称，所以则，故，即，所以，即是周期为8的周期函数，故A对；因为，所以，即，即，即为偶函数，故B对；因为，即，关于对称，故C对；函数与函数的图象关于直线对称，故D错故选：ABC.12. 在棱长为1的正方体中，以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K三角形，12条棱中的任意2条叫做棱对，则（ ）A. 一个K三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为B.
8、 一个K三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为C. 一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率为D. 一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为【答案】BCD【解析】【分析】由条件求出K三角形中的直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形，等边三角形的个数，利用古典概型概率公式判断A，B，再求平行的棱对数，及其中距离为棱对数，结合古典概型概率公式判断C，再求垂直的棱对数和异面且垂直的棱对数，利用古典概型概率公式判断D.【详解】对于A，从8个顶点中的任取3个顶点构成的直角三角形共有个，其中等腰直角三角形有24个，所以一个K三角形在它是直角三角形
9、的条件下，它又是等腰直角三角形的概率，A错对于B，从8个顶点中任取3个顶点构成的等腰三角形共有，其中的等边三角形有8个，一个K三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率，B正确对于C，相互平行的棱对有对，其中距离为的棱对有6对，一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率，C正确对于D，相互垂直的棱对有12448对，其中相互异面的棱对有12224对，故一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率，D正确选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 函数的最小正周期为_【答案】【解析】【分析】根据正弦函数的最小正周期，结合正切函数的周
10、期性质进行求解即可.【详解】因为的最小正周期为，而，所以函数的最小正周期为，故答案为：14. 已知正方体中，过点A作平面的垂线，垂足为H，则直线AH与平面所成角的正弦值为_【答案】【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合正方体的性质、线面角的定义进行求解即可.【详解】因为平面，平面，所以，又因为是正方形，所以，因为平面，所以平面，而平面，因此，同理，因为平面，所以平面，而平面，即 在一条直线上，因此与平面所成角与AH与平面所成角相等，因为平面，所以为与平面所成角，设该正方体的棱长为因此故答案为：15. 在中，边上的中线长为，则的面积为_【答案】【解析】【分析】由正弦定理将角化边，即可
11、求出，设中点为，根据数量积的运算律及定义求出，从而求出，最后由面积公式计算可得.【详解】解：因为，由正弦定理可得，又，所以，设中点为，所以所以，解得，所以，所以故答案为：.16. 将数列与的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列，则_【答案】2022【解析】【分析】先确定数列的第684项大小为2025，从而可根据数列的第10项与第11项的数值来确定的值.【详解】解：数列的第684项为，而数列的第10项为，第11项，当等差数列算到是的第674项时，包含恰好的前10项，故答案为：2022.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知等差数列的公差为2，
12、前n项和为，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量的计算，结合已知条件，求得首项，即可写出数列的通项公式；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，即可求得结果.【小问1详解】因为等差数列的公差为2，前项和为，则，因为，成等比数列，所以，即，化为，解得所以故数列的通项公式为.【小问2详解】根据（1）中所求可得：，故，故数列的前n项和.18. 已知两个变量y与x线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次实验，得到10个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点，剩余的8个样本点满足，根据这8个样本
13、点求得的线性回归方程为（其中）后为稳妥起见，研究小组又增加了2次实验，得到2个偏差较小的样本点，根据这10个样本点重新求得线性回归方程为（其中，）（1）求的值；（2）证明回归直线经过点，并指出与3的大小关系参考公式：线性回归方程，其中，【答案】（1）4.5 （2）证明见解析，【解析】【分析】（1）求解样本点的横坐标平均数，与纵坐标平均数，再根据线性回归方程为经过样本中心点，则可得的值；（2）增加两个差较小的样本点，重新计算10个样本点的坐标平均数，与纵坐标平均数，即可验证回归直线经过点，从而可得与3的大小关系.【小问1详解】解：这8个样本点横坐标平均数，纵坐标平均数，线性回归方程为经过样本中心
14、点，则【小问2详解】证明：样本点，分别记为，则这10个样本点横坐标平均数，纵坐标平均数根据线性回归方程系数公式得，故过点且19. 记函数的最小正周期为T若，且的图象关于直线对称（1）求的值；（2）将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的值域【答案】（1）2 （2）【解析】【分析】整理函数为正弦型函数，再根据对称性得取值情况，结合最小正周期的范围，转化为的取值范围，结合可得的值；根据三角函数的图象变换得函数的解析式，再根据自变量的取值范围得函数的值域.【小问1详解】解：，所以因为函数图象关于直线对称，所以，所以，因为函数的最
15、小正周期T满足，所以，解得，所以【小问2详解】解：由（1）得，所以则因为，所以，在上的值域为20. 甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况） 性别 人数参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数男生4515女生6010今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导
16、员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，m，其中0m1（1）判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；（2）若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y当E（X）E（Y）时，证明：P（A）P（B）参考公式与临界值表：，nabcd0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635【答案】（1）没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关 （2）证明见解析【解析】【分析】(1
17、)依据列联表中的数据代入，求出后参考临界值表.(2)分别列出小明参加甲乙程序的分布列，算出E（X）与E（Y），通过E（X）E（Y）即可证明：P（A）P（B）【小问1详解】因为，且，所以没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关【小问2详解】因为小明参加各程序的结果相互不影响，所以，则Y的可能取值为0，1，2，3，随机变量Y的分布列：Y0123P因为E（X）E（Y），所以，即，所以，所以P（A）P（B）21. 如图，在三棱锥中，已知平面平面，为的中点（1）若，求直线与所成角的余弦值；（2）已知点在线段上，且，求二面角的大小【答案】（1）；
18、（2）.【解析】【分析】（1）以中点为坐标原点建立空间直角坐标系，求得对应点和向量的坐标，通过向量法即可求得结果；（2）求得两个平面的法向量，再用向量法求其夹角即可.【小问1详解】取中点，连结，如下所示：因为，为中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面ABD，所以，因为，OC，平面，所以平面，又因为平面，所以中，为中点，所以，中，为中点，所以，以，为坐标轴，建立空间直角坐标系如下所示：则，所以，所以直线BD与AE所成角的余弦值为【小问2详解】设，则，则，设平面法向量为，则，所以，取，得到平面的一个法向量，又因为平面一个法向量为，所以，可得平面平面，所以二面角的大小为22
19、. 已知函数，（1）若在x0处的切线与在x1处的切线相同，求实数a的值；（2）令，直线ym与函数的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，证明：【答案】（1）a1 （2）证明见解析【解析】【分析】(1) 由于在x0处的切线与在x1处的切线相同，即可.(2)本问题为极值点偏移问题，可转化为单变量的不等式证明，构造函数，利用导数证明即可.【小问1详解】，1aa1，a1检验a1时两个函数切线方程都是y1【小问2详解】，x0，令，则，在递增，因为函数连续不间断，所以存在唯一实数，从而在递减，递增不妨设，则，当时，当，则，在递减，令，令，令，在递减，因为，在递减，所以在递减，所以，即，即，因为，在递减，所以，所以综上可得，【点睛】导数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，转化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.
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