1、课时训练(二十一)直角三角形与勾股定理(限时:30分钟)|夯实基础|1.能说明命题“对于任何实数a,|a|-a”是假命题的一个反例可以是( ) A.a=-2 B.a=13 C.a=1 D.a=22.2022青岛 如图K21-1,已知三角形纸片ABC,AB=AC,BAC=90,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A 重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=32,则BC的长是()图K21-1 A.322 B.32 C.3 D.333.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中 用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是(
2、 )图K21-24.2022湖州 如图K21-3,已知在RtABC中,C=90,AC=BC,AB=6,点P是RtABC的重心,则点P到AB所在直线的 距离等于()图K21-3 A.1 B.2 C.32 D.25.2022连云港 如图K21-4,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S1,S2,S3;如图,分别以直角三 角形三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为S4,S5,S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,则 S3+S4=( )图K21-4 A.86 B.64 C.54 D.486.2022十堰 如图K21-5,已知圆柱的底面直径BC
3、=6,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面 爬回C点,则小虫爬行的最短路程为()图K21-5 A.32 B.35 C.65 D.627.2022德州 如图K21-6,OC为AOB的平分线,CMOB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为.图K21-68.如图K21-7,在ABC中,ACB=90,M,N分别是AB,AC的中点,延长BC至点D,使CD=13BD,连接DM,DN,MN.若AB=6, 则DN=.图K21-79.如图K21-8所示,ABC中,CDAB于点D,E是AC的中点,若AD=6,DE=5,则CD的长等于.图K21-810.2022丽水 我国三国时期数
4、学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图K21-9所 示.在图中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJAB,则正方形EFGH的边长为.图K21-911.如图K21-10,折叠矩形纸片ABCD,得折痕BD,再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DF.若AB=4,BC=2,则 AF=.图K21-1012.如图K21-11,在RtABC中,BAC=90,点D在BC边上,且ABD是等边三角形.若AB=2,求ABC的周长.(结果保留 根号)图K21-11|拓展提升|13.2022成都 如图K21-12,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点
5、A和C为圆心,以大于12AC的长为半径作弧, 两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E,若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为.图K21-1214.2022重庆A卷 如图K21-13,把三角形纸片折叠,使点B,点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得到AGE=30,若 AE=EG=23厘米,则ABC的边BC的长为厘米.图K21-1315.2022衡阳 如图K21-14,在RtABC中,C=90,AC=BC=4 cm,动点P从点C出发以1 cm/s的速度沿CA匀速运动, 同时动点Q从点A出发以2 cm/s的速度沿AB匀速运动,当点P到达点A时,点P,Q同时停止运动.设运动时间为t(s
6、). (1)当t为何值时,点B在线段PQ的垂直平分线上? (2)是否存在某一时刻t,使APQ是以PQ为腰的等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. (3)以PC为边,往CB方向作正方形CPMN,设四边形QNCP的面积为S,求S关于t的函数关系式.图K21-14参考答案1.A解析 说明命题“对于任何实数a,|a|-a”是假命题的一个反例可以是a=-2,|-2|=2.故选A.2.B解析 AB=AC,BAC=90,B=45.由折叠的性质可得BEF=90,BFE=45,BE=EF=32.点E为AB中点,AB=3,AC=3.在RtABC中,BC=AB2+AC2=32+32=32.故选B.3
7、.D解析 如图,连接OP,由于OP是RtAOB斜边上的中线,所以OP=12AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,即OP是一个定值,点P就在以O为圆心,以OP长为半径的一段圆弧上,所以点P下落的路线是一段弧线.故选D4.A解析 在RtABC中,连接CP并延长至AB于点D,由三角形的重心性质得到,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21,即CPPD=21.又AC=BC,在等腰直角三角形ABC中,由三线合一,得到CD垂直平分线段AB,AB=6,CD=BD=3,点P到AB所在直线的距离即为PD的长度,即PD=1.5.C解析 如图,S1=34AC2,S2=34AB2,S3=34BC2.AB2=A
8、C2+BC2,S1+S3=34AC2+34BC2=34AB2=S2,S3=S2-S1.如图,易求S4=S5+S6,S3+S4=S2-S1+S5+S6=45-16+11+14=54.故选C. 6.D解析 把圆柱侧面展开,展开图如图所示,点A,C的最短距离为线段AC的长.在RtABC中,ABC=90,AB=3,CB为底面半圆弧长,CB=3,AC=32,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为2AC=62. 7.3解析 因为CMOB,OC=5,OM=4,所以CM=3,过点C作CNOA于N,又因为OC为AOB的平分线,CMOB,所以CN=CM=3,即点C到射线OA的距离为3.8.
9、3解析 连接CM,M,N分别是AB,AC的中点,NM=12CB,MNBC.又CD=13BD,MN=CD.又MNBC,四边形DCMN是平行四边形,DN=CM.ACB=90,M是AB的中点,CM=12AB=3,DN=3.9.8解析 CDAB于点D,ADC=90.点E是RtADC斜边上的中点,DE是RtADC斜边上的中线,根据直角三角形斜边中线定理可得DE=AE=CE=5,AC=10.因此CD=102-62=8.10.10解析 设直角三角形的勾(较短的直角边)为a,股(较长的直角边)为b,根据题意得a+b=14,b-a=2,解得a=6,b=8,由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为62+82=100=
10、10,即正方形EFGH的边长为10.11.5-1解析 在RtABD中,AB=4,AD=BC=2,BD=AB2+AD2=42+22=25,由折叠的性质可得,ADFEDF,ED=AD=2,EF=AF,EB=BD-ED=25-2,设AF=x,则EF=AF=x,BF=4-x,在RtEBF中,x2+(25-2)2=(4-x)2,解得x=5-1,即AF=5-1.12.解:ABD是等边三角形,B=60.BAC=90,C=180-90-60=30,BC=2AB=4.在RtABC中,由勾股定理得AC=BC2-AB2=42-22=23,ABC的周长=AC+BC+AB=23+4+2=6+23.13.30解析 连接A
11、E,由作图可知MN为线段AC的垂直平分线,AE=CE=3,在RtADE中,AE2=AD2+DE2,AD=AE2-DE2=5,在RtADC中,AC2=AD2+CD2,CD=DE+CE=5,AC=(5)2+52=30.14.(43+6)解析 如图,过点E作EMAG于点M,则由AE=EG,得AG=2MG.AGE=30,EG=23厘米,EM=12EG=3(厘米).在RtEMG中,由勾股定理,得MG=(23)2-(3)2=3(厘米),从而AG=6厘米.由折叠可知,BE=AE=23厘米,GC=AG=6厘米.BC=BE+EG+GC=23+23+6=43+6(厘米).15.解析 (1)由题意知CP=t,AQ=
12、2t,进而得出BQ=42-2t,BP=42+t2,点B在线段PQ的垂直平分线上,则有BQ=BP,即42-2t=42+t2,解方程即可求出t值;(2)应分两种情况讨论:若AQ=PQ,AQP=90;若AP=PQ,APQ=90,分别用t表示出AP的长,利用AP+PC=4,建立方程,求解即可;(3)连接QM,过Q作QGAC于G,则AQG为等腰直角三角形,且QG=AG=t,结合题意可证得四边形QMPG为矩形,从而得出Q,M,N三点共线,所以四边形QNCP为梯形,然后由QN=BN=4-t,CP=CN=t,利用梯形的面积公式求出四边形QNCP的面积即可.解:(1)由题意可知:CP=t,AQ=2t.C=90,
13、AC=BC=4,AB=BC2+AC2=42+42=42.BQ=42-2t.如果点B在线段PQ的垂直平分线上,则BQ=BP,42-2t=42+t2,t1=8-43,t2=8+434,舍去.当t=(8-43)s时,点B在线段PQ的垂直平分线上.(2)假设存在某一时刻t,使得APQ是以PQ为腰的等腰三角形.如图,若AQ=PQ,则AQP=90,AP=2AQ=2t,2t+t=4,即t=43.如图,若AP=PQ,则APQ=90,AP=PQ=t,AP+PC=2t=4,即t=2.存在t=43或t=2,使APQ是以PQ为腰的等腰三角形.(3)如图,连接QM,过Q作QGAC于G,则AQG为等腰直角三角形,QG=AG=t.四边形PMNC是正方形,PM=CN=PC=t.QGCN,QG=t,四边形QMPG为矩形.QMP=90.Q,M,N三点共线.四边形QNCP为梯形.QN=BN=4-t,CP=CN=t,四边形QNCP的面积S=QN+CP2CN=12(4-t+t)t=2t(0t4).11
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