1、20212022学年高三第一学期期中试卷数学(满分：150分考试时间：120分钟)202111一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1. 已知集合Ax|x22x0，B1，2，3，4，则(RA)B()A. 1，2 B. 2，3 C. 1，2，3 D. 1，2，3，42. 已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则a4()A. B. C. D. 3. 已知角A是ABC的内角，则“sin A”是“A”的()A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件4. 某个班级有55名学生，其中男生35名
2、，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为()A. B. C. D. 5. 已知函数f(x)若x1，x2，x3，x4是方程f(x)t的四个互不相等的实数解，则x1x2x3x4的取值范围是()A. 6，) B. (，2C. (4e，2 D. 4e，2)6. 已知(12x)2 021a0a1xa2 021x2 021，则()A. 2 B. 1 C. 0 D. 27. 已知函数f(n)n2cos (nN*)，则f(1)f(2)f(100)()A. 5 100 B. 5 150 C. 5 200 D. 5 2508. 若过点
3、(a，b)可以作曲线yln x的两条切线，则()A. eba B. eab C. 0aeb D. 0bea二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中有多个选项符合要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分9. 已知随机变量X服从正态分布N(10，102)，则()A. 随机变量X的均值为10 B. 随机变量X的方差为10C. P(X10) D. P(X0)P(X20)110. 已知关于x的不等式aexbxc0的解集为(1，2)，则()A. a0B. b0 C. c0 D. abc011. 已知等比数列an的公比为q，其前n项之积为Tn，且满足0a11，a2
4、020a2 02110，0，则()A. q1B. a2 019a2 02110C. T2 021的值是Tn中最小的D. 使Tn1成立的最大正整数n的值为4 03912. 已知函数f(x)sin axasin x，其中a0，且a1，则()A. f(x)为奇函数B. f(x)为周期函数C. 若0a1，则f(x)在区间(0，)上单调递增D. 若0a1，则f(x)在区间(0，2)内没有零点三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 一个直角三角形的三条边的长度成等差数列，则该直角三角形的内角中最小角的余弦值是_14. 已知为锐角，且满足tan 34tan ，则tan 2的值为_15. 已知
5、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为线段A1C的中点，则三棱锥OABC的体积为_，过点O且垂直于A1C的平面与底面ABCD的交线长为_16. 已知函数f(x)x(xex2)4ln x，对于任意x0，f(x)a恒成立，则整数a的最大值为_四、 解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)为了解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图、22列联表(将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的观众称为“球迷”).性别非球迷球迷合计男女20110合计20
6、0(1) 根据已知条件完成上图的22列联表；(2) 据此调查结果，是否有95%的把握认为“球迷”与性别有关？参考公式和数据：2(其中nabcd).P(2x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818. (本小题满分12分)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsin 2Aasin B0，点D为边BC上一点，ADAC.(1) 求BAC的大小；(2) 若AC4，AD3，求AB.19. (本小题满分12分)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD是矩形，AB2
7、BC2A1B12，平面A1D1DA平面ABCD，平面A1B1BA平面ABCD.(1) 求证：AA1平面ABCD；(2) 若二面角ABB1D的大小为，求四棱台ABCDA1B1C1D1的高20. (本小题满分12分)已知数列an满足a15，且an2an12n1(n2且nN*).(1) 设bn，是否存在实数，使得bn是等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2) 求an的前n项和Sn.21. (本小题满分12分)全国高中数学联赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生喜爱数学，学习数学，激发学生的钻研精神，独立思考精神以及合作精神现有同学甲、乙二人积极准备参加数学竞赛选拔
8、，在5次模拟训练中，这两位同学的成绩如下表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互独立第1次第2次第3次第4次第5次甲8692878986乙9086898887(1) 从5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；(2) 从5次训练中随机选取2次，用X表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求X的分布列和数学期望；(3) 根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差s222. (本小题满分12分)已知函数f(x).(1) 求函数f(x)的极大值；(2) 设实数a，b互不相等，且aebbeaeaeb，求证：abab0.(电子稿下载邮箱：zgk_001 密
9、码：zGkzgk001)20212022学年高三第一学期期中试卷(常州)数学参考答案及评分标准1. A2. D3. C4. B5. D6. B7. A8. C9. ACD10. BCD11. ABD12. AC13. 14. 15. 16. 017. 解：(1) 22列联表为性别非球迷球迷合计男603090女9020110合计15050200(4分)(2) 因为263.841，所以，有95%的把握认为“球迷”与性别有关(10分)18. 解：(1) 因为bsin 2Aasin B0，所以2bsin A cos Aasin B0.由正弦定理，得2ba cosAab0.(3分)因为ab0，所以2co
10、s A10，即cos A.又A(0，)，所以BAC.(5分)(2) 因为ADAC，所以CAD.因为BAC，所以BAD.在RtACD中，AC4，AD3，所以CD5，所以sin ADBsin (ADB)sinADC.(7分)在ABD中，由正弦定理，得BDsin BADcc.在ABC中，由余弦定理a2b2c22bccos BAC，得(5c)242c28c()，(10分)解得c或c(舍)，所以AB.(12分)19. 解：(1) 四边形ABCD是矩形，所以BCAB.(1分)因为平面A1B1BA平面ABCD，平面A1B1BA平面ABCDAB，BC平面ABCD，所以BC平面A1B1BA.(3分)又AA1平面
11、A1B1BA，所以BCAA1.(4分)同理可得DCAA1.因为BC，CD平面ABCD，BCCDC，所以AA1平面ABCD.(6分)(2) 在四棱台ABCDA1B1C1D1中，由(1)知AA1平面ABCD，所以AA1是四棱台ABCDA1B1C1D1的高，设AA1h.因为AA1平面ABCD，又BAD90，以，AA1为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则点A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(1，0，h)，D(0，1，0)，从而BB1(1，0，h)，(2，1，0).设平面BB1D的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得xh，y2h，可得平面BB1D的一个法向量为n(h，2h，1).
12、(9分)由(1)中BC平面A1B1BA知平面ABB1的一个法向量为(0，1，0)，所以|cos n，|cos ，即，解得h，则四棱台ABCDA1B1C1D1的高为.(12分)20. 解：(1) 当n2时，bnbn11，当且仅当1时，bnbn11为常数，所以，存在实数1，使得bn是等差数列(4分)(2) 由(1)中bn是公差为1的等差数列，b12，所以bnn1.所以an(n1)2n1.(6分)Sn(2211)(3221)(4231)(n1)2n1221322423(n1)2nn，(7分)令Tn221322423(n1)2n，则2Tn222323424(n1)2n1，由相减，得Tn2222232n
13、(n1)2n14(n1)2n1n2n1.(10分)所以Tnn2n1，所以SnTnnn(2n11).(12分)21. 解：(1) 记“甲的成绩高于乙的成绩”为事件A，从5次训练中随机选取1次，有5个等可能基本事件，其中甲的成绩高于乙的成绩的有2个，所以P(A).答：“甲的成绩高于乙的成绩”的概率为.(3分)(2) X的可能取值为0，1，2.P(X0)，P(X1)2，P(X2)，所以X的分布列为X012PX的数学期望E(X)012.(6分)(3) 同学甲5次训练成绩的均值x甲(8692878986)88，方差为s(8688)2(9288)2(8788)2(8988)2(8688)2.(8分)同学乙
14、5次训练成绩的均值为x乙(9086898887)88，方差为s(9088)2(8688)2(8988)2(8888)2(8788)22.(10分)因为x甲x乙，ss，所以同学乙在选拔中更具竞争力(12分)22. 解：(1) f(x)0，x1，列表如下：x(，1)1(1，)f(x)0f(x)极大值所以，当x1时，函数f(x)的极大值为f(1)1.(4分)(2) 因为aebbeaeaeb，两边同除以eab，得，令a1x1，b1x2，x11时，f(x)0；当x0时，f(x)0.不妨设0x111，则x2tx1，代入，解得x1，x2.令s(t)ln t，有s(t)1，所以s(t)0，所以t(ln t)2(t1)2，所以x1x21，即(a1)(b1)1，从而abab0.(12分)
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