1、高考资源网（） 您身边的高考专家2020-2021学年高三第一次月考试卷数学（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出集合、，再利用集合的交运算即可求解.【详解】，且，所以.故选：B【点睛】本题考查了集合的基本运算、对数型函数的定义域、一元二次不等式的解法，考查了基本运算能力，属于基础题.2. 下列有关命题的说法中错误的是（ ）A. 若为假命题,则均为假命题B. 命题“若,则”的逆否命题为:“若，则”C. 若命题，使得,则，均有D. “”是“”
2、的充分不必要条件【答案】A【解析】【分析】由复合命题的真值表即可判断A；由原命题与逆否命题的关系即可判断B；由特称命题的否定是全称命题即可判断C；根据充分必要条件的定义即可判断D【详解】对于A若为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故A错对于B命题：“若p则q”的逆否命题为：“若则”，故B正确；对于C由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p：xR，使得x2+x+10，则为：xR，均有x2+x+10，故C正确；对于D由x23x+20解得，或，故可推出x23x+20，但x23x+20推不出，故“”是“x23x+20”的充分不必要条件，即D正确故选：A【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及
3、关系，充分必要条件的定义，复合命题的真假和含有一个量词的命题的否定，这里要区别否命题的形式，本题是一道基础题3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可比较函数值的大小【详解】解：，故选：C【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题4. 已知向量、满足，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将平方，求出向量、的数量积，再将平方即可求解.【详解】由则，即，解得， .故选：D【点睛】本题考查了向量的数量积求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题.5. 已知数列是等差数列,且,若
4、,则的值（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质即可求解.【详解】数列是等差数列,且，则，解得，则，则，所以，解得，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6. 已知，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，进而可求解.【详解】由，得，则.故选：D【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了基本运算能力，属于基础题.7. 已知，则为的导函数，则的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出导函数，判断导函数的奇
5、偶性，再利用特殊值即可得出选项.详解】，函数为奇函数，排除B、D. 又，排除C.故选：A【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式、由解析式识别函数图像，属于基础题.8. 若不等式对于一切成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题即可求解.【详解】对于一切成立，对于一切成立，对于一切成立，在区间上是增函数，故选：C【点睛】本题以不等式恒成立为平台，考查学生会求一元二次不等式的解集，要求学生掌握不等式恒成立时所取的条件，是基础题9. 设A，B，C是圆上不同的三个点，O为圆心，且，存在实数，使得，实数，的关
6、系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对已知等式两边平方，将和代入计算，可得答案【详解】，两边平方得：，,故选：A【点睛】本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，考查了向量与实数的转化，属于中档题10. 若函数对任意的实数都有，则直线的斜率是（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知抽象表达式知函数的对称轴为，利用函数图象的对称性，由即可解得，进而可得直线的斜率.【详解】函数满足，即为函数的对称轴，即，直线的斜率为故选：【点睛】本题主要考查了三角函数的对称性及其应用，直线的斜率的定义和计算，特殊值代入的方法解函数图象对称性的技巧，属于中档题.1
7、1. 若，当时，若在区间，内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出区间内的解析式，将问题转化为有两个解，作出的图像，利用数形结合的思想即可求解.【详解】，当时，当时， ，若在区间，内有两个零点，有两个解，即有两个解，令，作出的大致图像：，与有个交点时，有两个零点，则实数取值范围是.故选：D【点睛】本题考查了求分段函数解析式、由函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.12. 已知函数在区间内存在极值点，且恰有唯一整数解使得，则取值范围是（ ）（其中为自然对数的底数，）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对
8、函数求导， 函数在区间内存在极值点等价于导数在区间有根，可求出的大范围，然后研究出函数的单调区间，画出函数的大致图像，结合图像分析恰有唯一整数解使得的条件，即可求出实数的具体范围【详解】由题可得：要使函数在区间内存在极值点，则有解，即，且 ，解得：，令，解得：，则函数的单调增区间为，令，解得：，则函数的单调减区间为 由题可得 （1） 当，即时，函数的大致图像如图：所以要使函数恰有唯一整数解使得，则 ，解得：，（2）当，即时，函数的大致图像如图： 所以要使函数恰有唯一整数解使得，则 ，解得：，综上所述：，故答案选D.【点睛】本题主要考查函数极值点存在的问题，以及函数值的取值范围，研究此类题的关键
9、是借助导数研究函数单调性，画出函数大致图像，结合图像分析问题，考查学生转化的能力以及数形结合的思想，属于中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若变量、满足约束条件，则的最大值为_【答案】8【解析】【分析】首先画出可行域，然后确定目标函数的最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值，其最大值为：.【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大
10、.14. 设直线是曲线的一条切线，则实数的值是_【答案】1【解析】【分析】求出切点，将切点代入切线方程即可求解.【详解】直线是曲线的一条切线，设切点为 由，则，解得，所以，切点满足切线方程可得，解得.故答案为：1【点睛】本题考查了导数的几何意义、由切线方程求参数值，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.15. 函数 的图象如图所示，若点、均在的图象上，点C在y轴上且的中点也在函数的图象上，则的面积为_【答案】【解析】【分析】根据函数图像可知周期为2，由解得，将点A的坐标代入解得，再设点C的坐标，由B、C坐标得到其中点的坐标，中点在曲线上，即可解得C的坐标，由两点之间距离公式可得BC的长度，再由
11、点到直线的距离公式得到A到BC的距离，根据三角形面积公式可得三角形ABC的面积.【详解】由图象可知：，又得，又因为在函数图像上，所以，解得 ，所以，设点，BC与函数交点为D，因为D是BC的中点，故，解得，所以，,，A到BC的距离 ，故答案为：【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解函数解析式，并利用函数图像的性质求解三角形面积，属于中档题目，解题中运算量较大，对运算能力有较高的要求.16. 如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”给出如下四个结论：函数存在“线性覆盖函数”；对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；为函数的一个
12、“线性覆盖函数”；若为函数的一个“线性覆盖函数”，则其中所有正确结论的序号是_.【答案】.【解析】【分析】根据题中提供的定义，对每一个选项通过证明或找反例分析对错，从而解得正确选项.【详解】解：选项：假设存在，为函数的一个“线性覆盖函数”，此时显然不成立，只有才有可能使得对函数定义域内任意都有成立，即，而事实上，增长的速度比要快很多，当时，的函数值一定会大于的函数值，故选项不成立；选项：如函数，则就是函数的一个“线性覆盖函数”，且有无数个，再如中的就没有“线性覆盖函数”，所以命题正确；选项：设，则，令，解得，当时，函数为单调增函数；当时，函数为单调减函数；所以，所以在上恒成立，故满足定义，选项
13、正确；选项：若为函数的一个“线性覆盖函数”，则 在R上恒成立，即在R上恒成立，故，因为开口向下，对称轴为，所以当时，所以，所以选项错误，故本题选择.【点睛】本题考查了新定义的函数问题，解决问题的关键是要能将未知的问题向熟悉的问题进行转化，本题还考查了转化与化归的能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在DABC 中，角A，B，C 的对边分别为.(1)求角 B 的大小；(2)D为边AB上一点， 且满足,锐角三角形 ACD的面积为， 求BC的长【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理化简得，得到，进而求得.（2）利用三角的面积
14、公式，化简求得，进而得，再由余弦定理求得，再根在和在中，利用正弦定理，可求解.【详解】（1）由正弦定理得，因为，则，所以，所以，所以，因为，所以，解得.（2）由题意，可得，解得，又因为为锐角三角形，所以，又由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，则，在中，由正弦定理得，则.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正
15、、余弦定理解题.18. 已知数列的前n项和，是等差数列，且.（）求数列的通项公式； （）令.求数列的前n项和.【答案】（）;（）【解析】【详解】试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.试题解析：（1）由题意知当时，当时，所以设数列的公差为，由，即，可解得，所以（2）由（1）知，又，得， ，两式作差，得所以考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “
16、错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.19. 已知函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求函数的解析式：（2）已知角满足：且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）化简函数得到，根据周期为，计算得到答案.（2）代入数据得到，计算得到，最后利用齐次式计算得到答案.详解】（1）由条件可得，所以，则（2）又原式【点睛】本题考查了函数三角函数的解析式，三角恒等变换.其中齐次式方
17、法是解题的关键，需要熟练掌握.20. 在直角坐标系中，以O为圆心的圆与直线相切（1）求圆O的方程；（2）圆O与x轴相交于两点，圆内的动点P使成等比数列，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）由题意可知圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程；（2）根据圆内的动点P使成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围【详解】（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即得圆O的方程为；（2）不妨设由，即得设，由成等比数列，得，整理得，由于点P在圆O内，故由此得，则，所以的取值范围为【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，两点距离公
18、式的应用，属于中档题21. 已知函数.（1）设，记的导函数为，求；若方程有两个不同实根，求实数的取值范围；（2）若在上存在一点使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）,；（2）或.【解析】【分析】（1）对进行求导，将代入可得的值，对进行二次求导，判断的单调性得其符号，从而可得的单调性，结合图象的大致形状可得的取值范围；（2）将题意转化为，令，题意等价于在上的最小值小于0，对进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值.【详解】的定义域，的定义域为，（1），；，递增，又，所以在上递减，递增又趋于0的时候，趋于6；趋于的时候，趋于，又，所以；（2）由题可得，令，则在上的最小值小于0，又，1，
19、当时，即，在上递减，所以，解得；2，当即，在递增，解得；3，当，即，此时要求又，所以，所以此时不成立，综上或.点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键在正确求导的基础上，利用导数与的关系得到函数的单调区间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别.22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数).（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，已知点，且，求的值.【答案】（1）：，：
20、；（2）.【解析】【分析】（1）消去参数，即可求得直线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的方程，利用根与系数的关系，求得，结合参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由直线的参数方程为(为参数)，消去参数，又由，且，由，可得，所以，即所以直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程，代入，整理得，所以，设，因为，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查推理与运算能力.23. 已知函数f（x）=|2x1|+|2x+3|（1）解不等式f（x
21、）6；（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值【答案】（1）（，21，+）（2） 【解析】试题分析：（）利用零点分段讨论法进行求解；（）利用三角不等式求出函数的最值，再利用基本不等式进行求解.试题解析：（1）当x时，f（x）=24x，由f（x）6解得x2，综合得x2，当时，f（x）=4，显然f（x）6不成立，当x时，f（x）=4x+2，由f（x）6，解得x1，综合得x1，所以f（x）6的解集是（，21，+）（2）f（x）=|2x1|+|2x+3|（2x1）（2x+3）|=4，即f（x）的最小值m=4 a2b，由2ab+a+2b=4可得4（a+2b），解得a+2b，a+2b的最小值为- 23 - 版权所有高考资源网
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