1、高三单元滚动检测卷数学考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共4页。2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。3本次考试时间120分钟，满分150分。单元检测三导数及其应用第卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2015赣州联考)函数f(x)3ln xx2x在点(，f()处的切线斜率是()A2 B.C2 D42设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为()Ae2 BeC. Dln 23(2015黑龙江双鸭山一中期中)若函数yf(x)的图像在点(1，f
2、(1)处的切线方程为y3x2，则函数g(x)x2f(x)的图像在点(1，g(1)处的切线方程为()A5xy30 B5xy30Cx5y30 Dx5y304函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()A20 B18C3 D05曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x1所围成的三角形的面积为()A. B.C. D.6(2015河北衡水中学调考)函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值，则()A0b1 Bb0 Db7(2015辽宁丹东五校协作体期末)若曲线yx2与曲线yaln x在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线
3、，则实数a等于()A2 B.C1 D28设函数f(x)ax33x，其图像在点(1，f(1)处的切线l与直线x6y70垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为()A1 B3C9 D129(2015淄博一模)曲线f(x)exx2x1上的点到直线2xy3的距离的最小值为()A. B.C. D210(2015课标全国)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0时，f(x)是增函数；当x0时，f(x)是减函数；f(x)的最小值是lg 2；f(x)在区间(1,0)，(2，)上是增函数；f(x)无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是_15(2015豫东、豫北十
4、所名校联考)若0x0)与曲线C2：yex在(0，)上存在公共点，则a的取值范围为_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)(2015河北保定第一中学模拟)已知函数f(x)ax3x2f(1)1，且f(1)9.(1)求曲线f(x)在x1处的切线方程；(2)若存在x(1，)使得函数f(x)0，r0)(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值22(12分)(2015豫东、豫北十所名校联考)已知函数f(x)aexln x，aR.(1)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值；(2)当a时，求证：任意x(
5、0，)，f(x)ln x2a2.答案解析1C由f(x)3ln xx2x得，f(x)2x，f()2.故选C.2B由f(x)xln x得f(x)ln x1.根据题意知ln x012，所以ln x01，因此x0e.3A由函数yf(x)的图像在点(1，f(1)处的切线方程为y3x2，得f(1)3，f(1)1.又函数g(x)x2f(x)，g(x)2xf(x)，则g(1)21f(1)235.g(1)12f(1)112.函数g(x)x2f(x)的图像在点(1，g(1)处的切线方程为y25(x1)即5xy30.故选A.4A因为f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，可知f(x)在x1处取得极
6、值又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，所以在区间3,2上f(x)max1，f(x)min19.由题设知在区间3,2上f(x)maxf(x)mint，从而t20，所以t的最小值是20.5B求导得y3x2，所以y|x13，所以曲线yx3在点(1,1)处的切线方程为y13(x1)，结合图像易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为(1)1，故选B.6Af(x)3(x2b)，函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值，解得0b1.故选A.7C由yx2，得y.由yaln x，得y.它们在点P处有公共切线，解得x，代入两曲
7、线得ea(ln a1)，ln a11，解得a1，故选C.8Bf(x)3ax23，由题设得f(1)6，所以3a36，a3.所以f(x)3x33x，f(1)0，切线l的方程为y06(x1)，即y6x6.所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S163.选B.9Bf(x)ex2x1，设与直线2xy3平行且与曲线f(x)相切于点P(s，t)的直线方程为2xym0，则es2s12，解得s0.切点为P(0,2)曲线f(x)exx2x1上的点到直线2xy3的距离的最小值为点P到直线2xy3的距离d，且d.故选B.10Df(0)1a0，x00.又x00是唯一的使f(x)0的整数，即解得a.又a1，a1，经检验a
8、，符合题意故选D.11C因为f(x)cos xex，所以f(0)2，所以曲线在x0处的切线方程为y32(x0)，即2xy30.故选C.12D设g(x)f(x)x，依题意，存在x1,4，使g(x)f(x)xax22xa0.当x1时，g(1)0；当x1时，由ax22xa0得a.记h(x)(10；当x(2,4)时，h(x)0，当x(1，a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，不符合题意；若1a0，当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极大值；若a1，当x(，a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，不符合题意所以a(1,0)14解析根据已知条件可知f(
9、x)lg(x0)为偶函数，显然利用偶函数的性质可知命题正确；对真数部分分析可知最小值为2，因此命题成立；利用复合函数的性质可知命题成立；命题，单调性不符合复合函数的性质，因此错误；命题中，函数有最小值，因此错误，故填写.15abc解析易知当0x1时，0sin xx，则01， .设f(x)，则f(x)，设h(x)xcos xsin x，则h(x)xsin x当x(0,1)时，h(x)0，h(x)在(0,1)上单调递减，当x(0,1)时，h(x)h(0)0，f(x)0在(0,1)上恒成立，f(x)在(0,1)上单调递减，又0x1，0x.综上： ，即abc.16.解析由题意知方程ax2ex(a0)在
10、(0，)上有解，则a，x(0，)，令f(x)，x(0，)，则f(x)，x(0，)，由f(x)0得x2，当0x2时，f(x)2时，f(x)0，函数f(x)在区间(2，)上是增函数，所以当x2时，函数f(x)在(0，)上有最小值f(2)，所以a.17解(1)f(x)ax3x2f(1)1，f(x)3ax22xf(1)，f(x)x33x21，f(1)1.故曲线f(x)在x1处的切线方程为y3(x1)13x2，即3xy20.(2)f(x)3x26x3x(x2)，当1x2时，f(x)2时，f(x)0.则函数f(x)在区间(1,2)上单调递减，在区间(2，)上单调递增，f(x)f(2)3.则由题意可知，m3
11、，即所求实数m的取值范围为(3，)18解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0，x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x1时，g(x)0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0，故g(x)为减函数；当x0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数19解设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(2
12、0,30)时，V0)，当a0时，f(x)0，增区间为(0，)，当a0时，f(x)0x，f(x)00x0)，设h(x)x22xa(x0)，若g(x)在1，e上不单调，则h(1)h(e)0，(3a)(e22ea)0，3ag(1)即可得出：a2e，则a的取值范围为(3，2e)21解(1)由题意知xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)，f(x).所以当xr时，f(x)0；当rx0.因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)的解答可知f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在
13、(0，)内的极大值为f(r)100.22(1)解依题意，知f(x)exln x.则f(x)ex，易知在1，e上，f(x)0，f(x)单调递增，故f(x)maxf(e)ee1.(2)证明要证f(x)ln x2a2，x(0，)，即证aex(2a2)0，x(0，)，令g(x)aex(2a2)，x(0，)，下证当a，且x0时，g(x)0恒成立，g(x)aex，令h(x)aexx2(a1)，易知h(x)在(0，)上单调递增注意到h(1)aea110，故当x(0,1)时，h(x)0，即g(x)0，即g(x)0，g(x)单调递增故g(x)ming(1)120，故当a时，任意x(0，)，g(x)0恒成立，即a时，f(x)ln x2a2在(0，)上恒成立
