1、2015-2016学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1经过两点，的直线的倾斜角为（）A120B150C60D302命题“x0R，x02+2x0+20”的否定是（）AxR，x2+2x+20BxR，x2+2x+20Cx0R，x02+2x0+20DxR，x02+2x0+203已知点M（a，b，c）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则与点M关于z轴对称的点的坐标是（）A（a，b，c）B（a，b，c）C（a，b，c）D（a，b，c）4两圆C1：x2+y24x+3=0和C2：的位置关系是（）A
2、相离B相交C内切D外切5“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y=a7平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6若一个球的表面积为12，则它的体积为（）ABCD7两条平行直线3x4y+12=0与3x4y13=0间的距离为（）ABCD58已知命题p：“若直线a与平面内两条直线垂直，则直线a与平面垂直”，命题q：“存在两个相交平面垂直于同一条直线”，则下列命题中的真命题为（）ApqBpqCpqDpq9下列命题中正确的个数是（）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行
3、若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点若直线l上有无数个点不在平面内，则lA0B1C2D310不等式组在坐标平面内表示的图形的面积等于（）ABCD11若双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是（）ABCD12已知椭圆C： +y2=1，点M1，M2，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k（k0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，P10，则直线AP1，AP2，AP10这10条直线的斜率乘积为（）ABCD二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分13抛物线y=4x2的焦点坐标是14如图，在正方体ABCDA1
4、B1C1D1中，点P、Q分别是B1C1、CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是（填“平行”、“相交”或“异面”）15已知一个空间几何体的三视图如图所示，其三视图均为边长为1的正方形，则这个几何体的表面积为16已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知直线l经过两条直线2x+3y14=0和x+2y8=0的交点，且与直线2x2y5=0平行（） 求直线l的方程；（） 求点P（2，2）到直线l的距离18如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，请在此正方体中取出四个顶点构
5、成一个三棱锥，满足三棱锥的四个面都是直角三角形，并求此三棱锥的体积19如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，AB=AD=2，CD=4，将三角形ABD沿BD翻折，使面ABD面BCD（） 求线段AC的长度；（） 求证：AD平面ABC20已知圆C的圆心在射线3xy=0（x0）上，与直线x=4相切，且被直线3x+4y+10=0截得的弦长为（） 求圆C的方程；（） 点A（1，1），B（2，0），点P在圆C上运动，求|PA|2+|PB|2的最大值21如图，底面为正三角形的三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，D为线段B1C1中点（） 证明：AC1平面A1BD；（） 在棱CC1上是否存在一点E，使得平
6、面A1BE平面A1ABB1？若存在，请找出点E所在位置，并给出证明；若不存在，请说明理由22平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：（ab0）右焦点的直线l：y=kxk交C于A，B两点，P为AB的中点，当k=1时OP的斜率为（） 求C的方程；（） x轴上是否存在点Q，使得k变化时总有AQO=BQO，若存在请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由2015-2016学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1经过两点，的直线的倾斜角为（）A120B150C60D30【考点】直线的倾斜
7、角【专题】转化思想；三角函数的求值；直线与圆【分析】设经过两点，的直线的倾斜角为，利用斜率计算公式可得：tan=，解出即可得出【解答】解：设经过两点，的直线的倾斜角为，则tan=，0，180），=120故选：A【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2命题“x0R，x02+2x0+20”的否定是（）AxR，x2+2x+20BxR，x2+2x+20Cx0R，x02+2x0+20DxR，x02+2x0+20【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“
8、x0R，x02+2x0+20”的否定是：xR，x2+2x+20故选：A【点评】本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查3已知点M（a，b，c）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则与点M关于z轴对称的点的坐标是（）A（a，b，c）B（a，b，c）C（a，b，c）D（a，b，c）【考点】空间中的点的坐标【专题】计算题；规律型；对应思想；数学模型法；空间向量及应用【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为只须将横坐标、纵坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标【解答】解：在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（
9、x，y，z），点M（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为：（a，b，c）故选：C【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题4两圆C1：x2+y24x+3=0和C2：的位置关系是（）A相离B相交C内切D外切【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】计算题；规律型；直线与圆【分析】根据两圆的圆心距与两个圆的半径和的关系，可得两圆的位置关系【解答】解：由题意可得，圆C2：x2+y24x+3=0可化为（x2）2+y2=1，C2：的x2+（y+2）2=9两圆的圆心距C1C2=4=1+3，两圆相外切故选：D【点
10、评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题5“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y=a7平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定【专题】计算题【分析】先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论【解答】解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有但即a=3或a=2，a=2时，两条直线都为xy+3=0，重合，舍
11、去a=3所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a1）ya+7=0平行”的充要条件故选：C【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件，也不应该先化简各个命题，再判断是否相互推出6若一个球的表面积为12，则它的体积为（）ABCD【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何【分析】直接利用球的表面积公式，求出球的半径，即可求出球的体积【解答】解：设球的半径为r，因为球的表面积为12，所以4r2=12，所以r=，所以球的体积V=4故选：A【点评】本题考查球的表面积、体积公式的应用，考查计算能力7两条平行直线3x4y+12=0与3x4y13=0间的距离为（）ABC
12、D5【考点】两条平行直线间的距离【专题】计算题；规律型；方程思想；直线与圆【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可【解答】解：两条平行直线3x4y+12=0与3x4y13=0间的距离为： =3故选：D【点评】本题考查平行线之间的距离公式的求法，考查计算能力8已知命题p：“若直线a与平面内两条直线垂直，则直线a与平面垂直”，命题q：“存在两个相交平面垂直于同一条直线”，则下列命题中的真命题为（）ApqBpqCpqDpq【考点】复合命题的真假【专题】定义法；空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】分别判断两个命题的真假，然后根据复合命题真假之间的关系进行判断即可【解答】解：根据线面垂直的定义知若直
13、线a与平面内两条相交直线垂直，则直线a与平面垂直，当两条直线不相交时，结论不成立，即命题p为假命题垂直于同一条直线的两个平面是平行的，故命题存在两个相交平面垂直于同一条直线为假命题，即命题q为假命题则pq为真命题，其余都为假命题，故选：C【点评】本题主要考查复合命题真假之间的判断，分别判断命题p，q的真假是解决本题的关键9下列命题中正确的个数是（）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点若直线l上有无数个点不在平面内，则lA0B1C2D3【考点】空间中直线与平
14、面之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】在中，另一条与这个平面平行或在这个平面内；在中，l与平面内的任意一条直线都平行或异面；在中，l与平面内的任意一条直线都平行或异面，故l与平面内的任意一条直线都没有公共点；在中，l或l与平面相交【解答】解：如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条与这个平面平行或在这个平面内，故错误若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行或异面，故错误若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行或异面，故l与平面内的任意一条直线都没有公共点，故正确若直线l上有无数个点不在平面内，则l或l与平面相交，故错误故选
15、：B【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用10不等式组在坐标平面内表示的图形的面积等于（）ABCD【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域对应的图形，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则对应的平面区域为矩形OABC，则B（3，0），由，解得，即C（，），矩形OABC的面积S=2S0BC=2=，故选：B【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区，利用数形结合是解决本题的关键11若双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是
16、正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由正方形的对称性得，其对称中心在原点，且在第一象限的顶点坐标为（x，x），从而得到双曲线渐近线的斜率k=1，由此能求出双曲线离心率的取值范围【解答】解：双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，由正方形的对称性得，其对称中心在原点，且在第一象限的顶点坐标为（x，x），双曲线渐近线的斜率k=1，双曲线离心率e=双曲线M的离心率的取值范围是（，+）故选：A【点评】本题考查双曲线的离心率的取值的范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意
17、双曲线性质的合理运用12已知椭圆C： +y2=1，点M1，M2，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k（k0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，P10，则直线AP1，AP2，AP10这10条直线的斜率乘积为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的性质可得=及其椭圆的对称性可得，进而得出答案【解答】解：如图所示，由椭圆的性质可得=由椭圆的对称性可得，=，同理可得=直线AP1，AP2，AP10这10条直线的斜率乘积=故选：B【点评】本题考查了椭圆的性质可得=及椭圆的对称性，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题：本大共4小题，每小题
18、5分，满分20分13抛物线y=4x2的焦点坐标是【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案【解答】解：由题意可知p=焦点坐标为故答案为【点评】本题主要考查抛物线的性质属基础题14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P、Q分别是B1C1、CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是相交（填“平行”、“相交”或“异面”）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】由已知得PQA1D，PQ=A1D，从而四边形A1DQP是梯形，进而直线A1P与DQ相交【解答】解：在正方体ABCDA1B1C
19、1D1中，点P、Q分别是B1C1、CC1的中点，PQA1D，直线A1P与DQ共面，PQ=A1D，四边形A1DQP是梯形，直线A1P与DQ相交故答案为：相交【点评】本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养15已知一个空间几何体的三视图如图所示，其三视图均为边长为1的正方形，则这个几何体的表面积为3+【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何【分析】该几何体为边长为1正方体截去两个三棱锥得到的，作出直观图代入数据计算即可【解答】解：由三视图可知几何体为边长为1正方体ABCDABCD截去三棱锥DACD和三棱锥BACB得到的，作出
20、直观图如图所示：该几何体由前，后，左，右，下和两个斜面组成其中前后左右四个面均为直角边为1的等腰直角三角形，底面为边长为1的正方形，两个斜面为边长为的等边三角形，S=+1+（）22=3+故答案为【点评】本题考查了不规则几何体的三视图及面积计算，将不规则几何体转化到正方体中是解题关键16已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为【考点】轨迹方程【专题】计算题；压轴题【分析】先根据题意可知|BP|+|PF|正好为圆的半径，而PB|=|PA|，进而可知|AP|+|PF|=2根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，根据A，F求得a，c，进而求得b，答案
21、可得【解答】解：依题意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA|AP|+|PF|=2根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，a=1，c=，则有b=故点P的轨迹方程为故答案为【点评】本题主要考查了用定义法求轨迹方程的问题考查了学生综合分析问题和解决问题的能力三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知直线l经过两条直线2x+3y14=0和x+2y8=0的交点，且与直线2x2y5=0平行（） 求直线l的方程；（） 求点P（2，2）到直线l的距离【考点】两条平行直线间的距离；点到直线的距离公式【专题】计算题；规律型；方程思想；综合法；直线与圆
22、【分析】（） 求出交点坐标，求出斜率即可求直线l的方程；（） 利用点到直线的距离公式之间求解点P（2，2）到直线l的距离【解答】解：（）联立，解得其交点坐标为（4，2）因为直线l与直线2x2y5=0平行，所以直线l的斜率为1所以直线l的方程为y2=1（x4），即xy2=0（） 点P（2，2）到直线l的距离为【点评】本题考查直线方程的求法，点到直线距离公式的应用，考查计算能力18如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，请在此正方体中取出四个顶点构成一个三棱锥，满足三棱锥的四个面都是直角三角形，并求此三棱锥的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】数形结合；数形结合法；立体几何【分析】由
23、正方体的结构特征可知以B，C，D，B1为顶点的四边形符合条件【解答】解：连结BD，B1D，B1C，则三棱锥B1BCD即为符合条件的一个三棱锥，三棱锥的体积V=【点评】本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题19如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，AB=AD=2，CD=4，将三角形ABD沿BD翻折，使面ABD面BCD（） 求线段AC的长度；（） 求证：AD平面ABC【考点】直线与平面垂直的判定【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离；立体几何【分析】法一：（）取CD中点E，连接BE，推导出四边形ABDE为正方形，BDBC，从而BC面ABD，由此能求出线段AC的长度（）
24、由BC面ABD，得BCAD，又ABAD，由此能证明AD平面ABC法二：（）取CD中点E，连接BE，推导出四边形ABDE为正方形，BDBC，取BD中点F，连接AF，CF，则AF面BCD，由此能求出线段AC的长度（）由勾股定理得ADAC，又ABAD，由此能证明AD平面ABC【解答】解法一：解：（）在梯形ABCD中，取CD中点E，连接BE，因为ABAD，AB=AD=2，所以，又，所以四边形ABDE为正方形，即有BE=2，BECD，所以在BCD中，所以BDBC，翻折之后，仍有BDBC又面ABD面BCD，面ABD面BCD=BD，BC面BCD，所以BC面ABD又AB面ABD，所以BCAB所以证明：（）由（
25、）知BC面ABD，又AD面ABD，所以BCAD，又ABAD，ABBC=B，所以AD平面ABC解法二：解：（）在梯形ABCD中，取CD中点E，连接BE，因为ABAD，AB=AD=2，所以又，所以四边形ABDE为正方形，即有BE=2，BECD，所以在BCD中，所以BDBC，翻折之后，仍有BDBC取BD中点F，连接AF，CF，则有BDAF，因为面ABD面BCD，面ABD面BCD=BD，BDAF，AF面ABD，所以AF面BCD又CF面BCD，AFCF因为，所以证明：（）在ACD中，CD=4，AD=2，AD2+AC2=CD2，所以ADAC又ABAD，ABAC=A，所以AD平面ABC【点评】本题考查线段长
26、的求法，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20已知圆C的圆心在射线3xy=0（x0）上，与直线x=4相切，且被直线3x+4y+10=0截得的弦长为（） 求圆C的方程；（） 点A（1，1），B（2，0），点P在圆C上运动，求|PA|2+|PB|2的最大值【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】（）依题意设圆C的方程为（xa）2+（yb）2=r2（r0），圆心在射线3xy=0（x0）上，所以3ab=0圆与直线x=4相切，所以|a4|=r圆被直线3x+4y+10=0截得的弦长为，所以，求出方程的解得到a的值，即可确定出圆C的方程
27、；（）解法1：设t=x0y0，即x0y0t=0该直线与圆必有交点，所以，即可求出|PA|2+|PB|2的最大值解法2：由可设x0=4sin，y0=4cos，即可求出|PA|2+|PB|2的最大值【解答】解：（）设圆C的方程为（xa）2+（yb）2=r2（r0）圆心在射线3xy=0（x0）上，所以3ab=0圆与直线x=4相切，所以|a4|=r圆被直线3x+4y+10=0截得的弦长为，所以将代入，可得（3a+2）2+12=（a4）2，化简得2a2+5a=0，解得a=0或（舍去）所以b=0，r=4，于是，圆C的方程为x2+y2=16（）假设点P的坐标为（x0，y0），则有 =38+2（x0y0）下求
28、x0y0的最大值解法1：设t=x0y0，即x0y0t=0该直线与圆必有交点，所以，解得，等号当且仅当直线x0y0t=0与圆x2+y2=16相切时成立于是t的最大值为，所以|PA|2+|PB|2的最大值为解法2：由可设x0=4sin，y0=4cos，于是，所以当时，x0y0取到最大值，所以|PA|2+|PB|2的最大值为【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及正弦函数的定义域与值域，是一道综合性较强的题21如图，底面为正三角形的三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，D为线段B1C1中点（） 证明：AC
29、1平面A1BD；（） 在棱CC1上是否存在一点E，使得平面A1BE平面A1ABB1？若存在，请找出点E所在位置，并给出证明；若不存在，请说明理由【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（）连接AB1，交A1B于点F，连接DF，由DFAC1，能证明AC1平面A1BD（）存在点E，为CC1中点，使得平面A1BE平面A1ABB1证法1：推导出EFA1B，EFAB1，从而EF平面A1ABB1，由此能证明平面A1BE平面A1ABB1证法2：取AB中点G，连接EF，CG，FG，推导出四边形CEFG为平行四边形，从而CGEF，进而CG平面
30、A1ABB1，由此能证明平面A1BE平面A1ABB1【解答】证明：（）连接AB1，交A1B于点F，连接DF，AB1C1中，D，F分别为A1B，B1C1中点，所以DFAC1因为DF平面A1BD，AC1平面A1BD，所以AC1平面A1BD解：（）存在点E，为CC1中点，使得平面A1BE平面A1ABB1证明如下：方法1：A1BE中，因为A1E=BE，且F为A1B中点，所以，EFA1BAB1E中，同理有EFAB1因为A1BAB1=F，A1B，AB1平面A1ABB1，所以EF平面A1ABB1又EF平面A1BE，所以，平面A1BE平面A1ABB1方法2：取AB中点G，连接EF，CG，FG因为FGAA1，且
31、，CEAA1，且，所以FGCE，且FG=CE，所以，四边形CEFG为平行四边形，所以CGEF因为AA1平面ABC，CG平面ABC，所以CGAA1又CGAB，且AA1AB=A，AA1，AB平面A1ABB1，所以，CG平面A1ABB1因为CGEF，所以EF平面A1ABB1又EF平面A1BE，所以，平面A1BE平面A1ABB1【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养22平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：（ab0）右焦点的直线l：y=kxk交C于A，B两点，P为AB的中点，当k=1时OP的斜率为（） 求C的方程；（）
32、x轴上是否存在点Q，使得k变化时总有AQO=BQO，若存在请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）将直线y=x1代入椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和中点坐标公式，解得a，b，进而得到椭圆方程；（）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，即可得到结论【解答】解：（）因为l：y=kxk过定点（1，0），所以c=1，a2=b2+1当k=1时，直线l：y=kxk，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），化简得（2b2+1）x22（b2+1）x+1b4=0，则，于是，所以AB中点P的坐标为，OP的斜率为，所以b=1，从而椭圆C的方程为；（）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立，化简得：（2k2+1）x24k2x+2k22=0，所以，直线AQ的斜率，直线BQ的斜率，当m=2时，kAQ+kBQ=0，所以存有点Q（2，0），使得AQO=BQO【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用联立直线和椭圆方程，运用中点坐标公式，考查存在性问题的解法，注意运用联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题2016年4月7日