1、24正态分布目标 1.会分析正态分布的意义.2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义.3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率重点 正态曲线的特点及其所表示的意义；利用正态分布解决实际问题难点 求随机变量在某一区间内的概率知识点一正态曲线与正态分布填一填 1正态曲线：函数，(x)e，x(，)(其中实数和(0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线2正态分布：(1)如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布(2)记作：XN(，2)答一答1正态曲线，(x)中参数，的意义是什么？提示：参数反映随机变量取值的平均水平的特
2、征数，即若XN(，2)，则E(X).同理，参数是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计2设随机变量X的正态分布密度函数，(x)e，x(，)，则参数，的值分别是多少？提示：3，.3正态分布是自然界中常见的一种分布，你能列举出一些实例吗？提示：正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等知识点二正态分布的性质填一填1正态分布的性质(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交(2)曲线是单峰的，关于直线x对称(3)曲线在x处达到峰值 .(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿
3、x轴平移(6)如图所示：当一定时，曲线的形状由确定越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中2正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(X)0.682_6；(2)P(2X2)0.954_4；(3)P(30)有什么关系？提示：xa与ax关于x对称，所以P(xa)P(ax)6为什么正态分布中，通常认为X只取区间(3，3内的值？提示：正态分布中变量X几乎总取值于区间(3，3之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，故在实际应用中，通常认为服从正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3之内的值，简称“3”
4、原则1对正态曲线的理解(1)解析式中含有两个常数：和e，这是两个无理数，其中是圆周率，e是自然对数的底数，即自然常数(2)解析式中含有两个参数：和.其中可取任意实数；0.在不同的正态分布中，的取值是不同的，这是正态分布的两个特征数(3)解析式中前面有一个系数，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为，其中这个参数在解析式中的两个位置上出现，注意两者的一致性2对正态分布性质的理解性质(1)说明函数的值域为正实数集的子集且以x轴为渐近线；性质(2)说明曲线关于直线x对称；性质(3)说明当x时函数取得最大值；性质(4)说明正态变量在(，)内取值的概率为1；性质(5)说明当标准差一定时，变化时，
5、总体分布的变化情况；性质(6)说明当均值一定时，变化时，总体分布的集中、离散程度应结合正态曲线的特点理解、记忆上述性质3对3原则的理解正态总体几乎总取值于区间(3，3)之内而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，这也是统计中常用的假设检验的基本思想类型一正态曲线的图象与性质【例1】如图所示，是一个正态曲线试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差【分析】由题目可获取以下主要信息：总体服从正态分布且正态曲线已给出；求其解析式及总体随机变量的期望与方差解答本题可首先借助图象观察该函数的对称轴及最大值，然后结合u，(
6、x)e可知及的值【解】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值是，所以20.，解得.于是概率密度函数的解析式是，(x)e，x(，)总体随机变量的期望是20，方差是2()22.利用图象求正态密度函数的图象，应抓住图象实质性的两点：一是对称轴x，另一个是最值.这两点确定以后，相应参数，便确定了，代入，(x)中便可求出相应的解析式.设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有(A)A12，12 B12C12，12，12解析：由正态分布N(，2)性质知，x为正态密度函数图象的对称轴，故12.又越小，图象越高瘦，故12.故选A.类型二正态分布的概率计
7、算【例2】设XN(1,22)，求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)；(3)P(X5)【分析】要求随机变量X在某一范围内的概率，只须借助于正态密度曲线的图象性质及三个特殊区间内取值的概率【解】XN(1,22)，1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 6.(2)P(3X5)P(3X1)，P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)P(X5)P(X3)，P(X5)1P(3X5)1P(14X14)1P(2X2)(10.954 4)0.022 8.已知XN(1.4,0.052)，
8、求X落在区间(1.35,1.45内的概率解：因为1.4，0.05，所以X落在区间(1.35，1.45中的概率为P(1.40.05X1.40.05)0.682 6.类型三正态分布的简单应用【例3】在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70,100)已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名(1)试问此次参赛的学生总数约为多少？(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P(|X|)0.683，P(|X|2)0.955，P(|X|3)0.997.【分析】(1)由题意首先确定正态分布中，的值，然后结合正态分
9、布的性质求解参赛人数即可；(2)利用(1)的结论结合正态分布图象的对称性即可确定需要奖励的学生人数【解】(1)设参赛学生的成绩为X，因为XN(70,100)，所以70，10，则P(X90)P(X50)1P(50X90)1P(2X2)(10.955)0.022 5，160.022 5711(人)因此，此次参赛学生的总数约为711.(2)由P(X80)P(X60)1P(60X80)1P(X1230B01212130D01213解析：当取2时最大值为，21，再根据三个图象的集中程度知D成立3在f(x)e中当变量x3时，f(x)取到最大值.4若随机变量N(0,1)，则P(0).解析：因为N(0,1)，从而正态密度曲线关于直线x0对称，P(x0).5已知随机变量N(2,4)，试计算正态总体落在下列区间的值(1)(22,22；(2)(222,222；(3)(4,8解：N(2,4)，2，2，(1)P(2222)P()0.682 6；(2)P(222222)P(22)0.954 4；(3)P(48)P(33)0.997 4.
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