1、广东省佛山市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1（5分）设全集U=2，1，0，1，2，集合A=1，2，B=2，1，2，则A（UB）等于（）A1，0，1，2B1C1，2D2（5分）已知，则sina=（）ABCD3（5分）下列函数中，定义域为1，+）的是（）Ay=+By=（x1）2Cy=（）x1Dy=ln（x1）4（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）Ay=2xBy=sinxCy=log2xDy=x|x|5（5分）函数的零点所在的区间是（）ABCD6（5分）若角的
2、终边落在直线y=3x上，则cos的值为（）ABCD7（5分）把函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得的函数的解析式是（）Ay=2sin（x+）By=2sin（x+）Cy=2sinxDy=2sin4x8（5分）函数f（x）=cosx，（x）的图象大致是（）ABCD9（5分）已知向量=（k，12），=（4，5），=（k，10），且A、B、C三点共线，则k=（）ABCD10（5分）对于集合M，定义函数fM（x）=，对于两个集合M、N，定义集合MN=x|fM（x）fN（x）=1，已知A=2，4，6，8，10，B=1，2，4，5，6，8，9，则
3、集合AB=（）A1，5，9，10B1，5，9C2，4，6D2，4，6，8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11（5分）函数f（x）=log2x，则f（3）+f（）=12（5分）在ABC中，=，=，若点D满足=2，则=（用向量、表示）13（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（2，8），则满足f（x）=27的x的值是14（5分）已知集合A=x|xa，B=x|1x2，且AB，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答需写出文字说明、证明过程或验算步骤15（12分）已知函数f（x）=2（1）判断函数f（x）在区间（，0）上的单调性并用定义证明；（2）求函数f（x
4、）在区间3，1上的最值16（12分）已知函数f（x）=sin（x+）（0，xR）的最小正周期为（1）求的值；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数f（x）在区间0，上的图象；（3）求函数f（x）的最大值，并写出使函数f（x）取得最大值的x的集合17（14分）设平面内有四个向量、，满足=，=2，|=|=1（1）用、表示、；（2）若与的夹角为，求cos的值18（14分）已知函数f（x）=cos2xsin2x+2sinxcosx（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设、0，f（+）=，f（+）=，求sin（+）的值19（14分）用长为16米的篱笆，借助墙角围成一个矩形ABCD（如图），在P处有一棵
5、树与两墙的距离分别为a米（0a12）和4米若此树不圈在矩形外，求矩形ABCD面积的最大值M20（14分）已知函数f（x）=（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若a4，试讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点广东省佛山市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1（5分）设全集U=2，1，0，1，2，集合A=1，2，B=2，1，2，则A（UB）等于（）A1，0，1，2B1C1，2D考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据全集U及B求出B的补集，找
6、出A与B补集的并集即可解答：解：全集U=2，1，0，1，2，集合A=1，2，B=2，1，2，UB=1，0，则A（UB）=1，0，1，2，故选：A点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）已知，则sina=（）ABCD考点：诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系 专题：计算题分析：利用诱导公式求出cos=，再利用诱导公式求出sin 的值解答：解：，cos=，故 sin=，故选B点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，属于基础题3（5分）下列函数中，定义域为1，+）的是（）Ay=+By=（x1）2Cy=（）x1Dy=ln（x1）考点
7、：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：直接计算即得结论解答：解：y=+的定义域为：x1，y=（x1）2的定义域为R，y=（）x1的定义域为R，y=ln（x1）的定义域为x1，故选：A点评：本题考查函数的定义域，注意解题方法的积累，属于基础题4（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）Ay=2xBy=sinxCy=log2xDy=x|x|考点：奇偶性与单调性的综合 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，得到A、C两项不符合题意；根据正弦函数y=sinx在其定义域内既有增区间也有减区间，得到B项不符合题意；因此只有D项符合，再用
8、函数奇偶性、单调性的定义加以证明，即可得到正确答案解答：解：对于A，因为指数函数在其定义域上是非奇非偶函数，所以函数y=2x不符合题意，故A不正确；对于B，因为函数y=sinx在其定义域内既有增区间也有减区间，所以函数y=sinx不符合题意，故B不正确；对于C，因为对数函数的定义域为（0，+），所以函数y=log2x是非奇非偶函数，得C不正确；对于D，设f（x）=x|x|，可得f（x）=x|x|=x|x|=f（x）所以函数y=x|x|是奇函数；又当x0时，y=x|x|=x2，在（0，+）上是增函数，且当x0时，y=x|x|=x2，在（，0）上是增函数函数y=x|x|是R上的增函数因此，函数y=
9、x|x|是奇函数，且在其定义域内是函数，可得D正确故选：D点评：本题给出几何基本初等函数，要我们找出其中单调增的奇函数，着重考查了基本初等函数的单调性、奇偶性及其判断方法的知识，属于基础题5（5分）函数的零点所在的区间是（）ABCD考点：函数零点的判定定理 分析：根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可也可借助于图象分析：画出函数y=ex，y=的图象，由图得一个交点解答：解：画出函数y=ex，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案，选B点评：超越方程的零点所在区间的判断，往往应用零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间a
10、，b上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）0，则函数y=f（x）在区间a，b上有零点6（5分）若角的终边落在直线y=3x上，则cos的值为（）ABCD考点：任意角的三角函数的定义 专题：计算题；三角函数的求值分析：角的终边是射线，分两种情况讨论角的终边所在的象限，对于各种情况在终边上任取一点，利用三角函数的定义求出cos的值解答：解：角的终边落在直线y=3x上当角的终边在第一象限时，在终边上任意取一点（1，3），则该点到原点的距离为，cos=，当角的终边在第三象限时，在终边上任意取一点（1，3），则该点到原点的距离为，cos=故选：B点评：已知角的终边求三角函数的值，在终边上任意取一点
11、利用三角函数的定义求出三角函数值，注意终边在一条直线上时要分两种情况7（5分）把函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得的函数的解析式是（）Ay=2sin（x+）By=2sin（x+）Cy=2sinxDy=2sin4x考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：把函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=2sin2（x）+=2sin2x的图象；再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得的函数的解析式是y=2sinx
12、，故选：C点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题8（5分）函数f（x）=cosx，（x）的图象大致是（）ABCD考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：通过函数的奇偶性以及特殊值即可得到正确选项解答：解：x时，y=cosx是偶函数，并且y=cosx（0，1，函数f（x）=cosx，（x）是偶函数，cosx（0，1时，f（x）0四个选项，只有C满足题意故选：C点评：本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域、值域单调性，奇偶性，变化趋势等知识解答9（5分）已知向量=（k，12），=（4，5），=（k，10），且A、B、C三点共线，则k=（）ABCD考点：平
13、行向量与共线向量 专题：平面向量及应用分析：利用向量的坐标运算、向量共线定理即可得出解答：解：=（4k，7），=（k4，5）又A、B、C三点共线，7（k4）5（4k）=0，解得k=故选：C点评：本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理，属于基础题10（5分）对于集合M，定义函数fM（x）=，对于两个集合M、N，定义集合MN=x|fM（x）fN（x）=1，已知A=2，4，6，8，10，B=1，2，4，5，6，8，9，则集合AB=（）A1，5，9，10B1，5，9C2，4，6D2，4，6，8考点：子集与交集、并集运算的转换 专题：集合分析：通过新定义计算即得结论解答：解：由MN的定义可知，fM（x）
14、fN（x）=1即xMN或xNM，A=2，4，6，8，10，B=1，2，4，5，6，8，9，AB=1，5，9，10，故选：A点评：本题考查集合的补集运算，注意解题方法的积累，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11（5分）函数f（x）=log2x，则f（3）+f（）=3考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：直接利用函数的解析式，求解函数值即可解答：解：函数f（x）=log2x，则f（3）+f（）=log23+log2=log23+log28log23=3故答案为：3点评：本题考查函数值的求法，对数的运算法则的应用，考查计算能力12（5分）在ABC中，=，=，若点D满
15、足=2，则=+（用向量、表示）考点：平行向量与共线向量 专题：平面向量及应用分析：根据三角形法则，写出 的表示式，根据点D的位置，得到 与 之间的关系，根据向量的减法运算，写出最后结果解答：解：如图所示，在ABC中，=+又=2，=+=+（）=+故答案为：+点评：本题考查向量的加减运算，考查三角形法则，是一个基础题，是解决其他问题的基础13（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（2，8），则满足f（x）=27的x的值是3考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 专题：计算题分析：设幂函数f（x）=xa，把点（2，8）代入，得2a=8，解得a=3故f（x）=x3，由此能求出满足f（x）=27的x的值解
16、答：解：设幂函数f（x）=xa，把点（2，8）代入，得2a=8，解得a=3f（x）=x3，f（x）=27，x3=27，x=3故答案为：3点评：本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，是基础题解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用14（5分）已知集合A=x|xa，B=x|1x2，且AB，则实数a的取值范围是（1，+）考点：交集及其运算 专题：集合分析：通过集合的交集不是空集，直接写出结果即可解答：解：集合A=x|xa，B=x|1x2，且AB，则a1故答案为：（1，+）点评：本题考查集合的交集的运算法则的应用，考查计算能力三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答需写出文字说明、证明过程或验
17、算步骤15（12分）已知函数f（x）=2（1）判断函数f（x）在区间（，0）上的单调性并用定义证明；（2）求函数f（x）在区间3，1上的最值考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：（1）由条件利用函数的单调性的定义证得函数f（x）在区间（，0）上单调递增（2）由（1）可得函数f（x）在区间3，1上单调递增，由此求得f（x）在区间3，1上的最值解答：解：（1）证明：对于函数f（x）=2，令x1x20，由于f（x1）f（x2）=+=，而由题设可得x1x20，x1x20，0，即f（x1）f（x2），故函数f（x）在区间（，0）上单调递增（2）由（1）可得函数f（x
18、）在区间3，1上单调递增，故当x=3时，f（x）取得最小值为2+=，当x=1时，f（x）取得最大值为2+2=4点评：本题主要考查函数的单调性的定义，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题16（12分）已知函数f（x）=sin（x+）（0，xR）的最小正周期为（1）求的值；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数f（x）在区间0，上的图象；（3）求函数f（x）的最大值，并写出使函数f（x）取得最大值的x的集合考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由条件根据正弦函数周期性求得的值（2）由条件利用五点法作出函数f（x）在区间0，上
19、的图象（3）根据正弦函数的值域并结合f（x）的图象求得f（x）在区间0，上的最大值以及f（x）取得最大值的x的集合解答：解：（1）函数f（x）=sin（x+）（0，xR）的最小正周期为，=，=2（2）由x0，可得2x+间，列表如下： 2x+ 2 x 0 y 1 01 0作图：（3）当2x+=2k+，kz时，即x=k+，kz时，函数f（x）取得最大值为1点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，用五点法作函数在一个周期上的简图，正弦函数周期性和的值域，属于中档题17（14分）设平面内有四个向量、，满足=，=2，|=|=1（1）用、表示、；（2）若与的夹角为，求cos的值考点
20、：数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：（1）由题意解关于和的方程组可得；（2）由（1）知结合向量的数量积和模长公式可得及|和|，代入向量的夹角公式可得解答：解：（1）由题意可得=，=2，联立解关于和的方程组可得=，=2+；（2）由（1）知=，=2+，又，|=|=1，=（）（2+）=2+3+=3，由模长公式可得|=，|=，cos=点评：本题考查平面向量的数量积和模长公式，以及向量的夹角公式，属基础题18（14分）已知函数f（x）=cos2xsin2x+2sinxcosx（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设、0，f（+）=，f（+）=，求sin
21、（+）的值考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值；二倍角的余弦；正弦函数的单调性 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）由倍角公式化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+），由2k2x+2k+，kZ可解得f（x）的单调递增区间（2）由f（+）=，可得：cos，结合范围可得sin，由f（+）=，可得sin（）=1，结合范围0，可解得=，从而由两角和的正弦函数公式即可计算求值解答：解：（1）f（x）=cos2xsin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x+）由2k2x+2k+，kZ可解得f（x）的单调递增区间为：k，k+，kZ（2）f（+）=sin
22、2（+）+=sin（+）=cos=，可得：cos=，由0，可得：sin=f（+）=sin2（+）+=sin（）=，可得sin（）=1，0，可得：，=，解得：=，sin（+）=sincos+cossin=+=点评：本题主要考查了两角和的正弦函数公式，倍角公式，同角三角函数关系式，诱导公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查19（14分）用长为16米的篱笆，借助墙角围成一个矩形ABCD（如图），在P处有一棵树与两墙的距离分别为a米（0a12）和4米若此树不圈在矩形外，求矩形ABCD面积的最大值M考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题分析：先设AB=x，则AD=16x，依题意建立
23、不等关系得出x的取值范围，再写出SABCD=的函数解析式，下面分类讨论：（1）当16a8（2）当16a8，分别求出矩形ABCD面积的面积值即可解答：解：设AB=x，则AD=16x，依题意得，即4x16a（0a12）（2分）SABCD=x（16x）=64（x8）2（6分）（1）当16a8，即0a8时，f（x）max=f（8）=64（10分）（2）当16a8，即8a12时，f（x）在4，16a上是增函数，（14分）f（x）max=f（16a）=a2+16a，故（16分）点评：构造二次函数模型，函数解析式求解是关键，然后利用配方法、数形结合法等方法求解二次函数最值，但要注意自变量的实际取值范围，本题
24、求出的函数是分段函数的形式，在分段函数模型的构造中，自变量取值的分界是关键点，只有合理的分类，正确的求解才能成功地解题20（14分）已知函数f（x）=（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若a4，试讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点考点：根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明 专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）当a=2时，化简f（x）=；由二次函数的性质写出单调区间即可；（2）按分段函数讨论，结合函数的单调性及二次函数的性质确定函数零点的个数，再由方程求根，从而得到零点解答：解：（1）当a=2时，f（x）=；由二次函数的性质知，f（x）在2，+）上是增函数
25、，在（，1上是增函数，在（1，2）上是减函数；故函数f（x）的单调增区间为（，1，2，+）；单调减区间为（1，2）（2）当a4时，f（x）在a，+）上是增函数，又f（a）=a0；f（x）在a，+）上有一个零点，由x2axa=0解得，x=；f（x）在（，上是增函数，在（，a）上是减函数；而f（a）=a0，f（）=0；当a=4时，x=2是函数y=f（x）的零点；当a4时，f（x）在（，a）上有两个零点，由x2+axa=0解得，x=或x=综上所述，当a=4时，函数y=f（x）有两个零点，分别为2，2+2；当a4时，函数y=f（x）有三个零点，分别为，点评：本题考查了分段函数的应用及二次函数的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题
