1、第2课时组合的应用目标 1.理解组合的概念，会利用组合数公式解决组合问题.2.能够解决组合、排列的综合问题重点 1.求解组合的应用问题.2.求解排列与组合的综合应用题难点 排列与组合的综合应用知识点组合的实际应用填一填1无限制条件的组合问题无约束条件的组合问题，只需按照组合的定义，直接列出组合数即可，注意分清元素的总个数及取出元素的个数有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步2有限制条件的组合问题解答有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”(1)用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分
2、类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键答一答1如何解决组合中的“含”与“不含”问题？提示：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用间接法2如何解决组合中的“至多”或“至少”问题？提示：一般采用直接法或间接法若直接法情况较复杂，则考虑间接法3如何处理组合中的几何问题？提示：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、
3、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决排列组合综合问题求解策略1区分排列与组合：在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质容易产生的错误是重复和遗漏计数2附加条件的排列组合问题的处理策略：以元素为主，特殊元素优先考虑；以位置为主，特殊位置优先考虑；间接法，暂不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的部分3解答排列组合综合性问题的整体思路：一般思路方法是先选元素(组合)，后排列按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”总的来说是
4、：整体分类；局部分步；辩证地看元素的位置；一些具体问题要把它抽象成组合模型.类型一无限制条件的组合问题【例1】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A4种 B10种C18种 D20种【解析】从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C4(种)赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送
5、集邮册，有C6(种)赠送方法因此共有4610(种)赠送方法【答案】B将实际问题合理转化为组合模型，才能应用组合数公式，同时注意分步和分类两原理的应用.若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(D)A60种 B63种C65种 D66种解析：分三种情况：(1)4个都是偶数；(2)两个为偶数，两个为奇数；(3)4个都是奇数故共有CCCC66(种)故选D.类型二有限制条件的组合问题【例2】某医科大学的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有
6、多少种选法？(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？(4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？【解】(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C816(种)(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C8 568(种)(3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有CC种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法故共有CCC6 936(种)(4)方法1：(直接法)男生和女生都至少有一名的选法可分为四类：1男4女；2男3女；3男2女；4男1女所以共有CCCCCCCC14 656(种)方法2：(间接法)由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数，得C(CC)14 656(种)解决“含与不含”问题
7、常用优先法来解，“至多至少”问题常采用直接分类法或间接排除法来求解，在选取元素时注意“搭配原则”，一定要做到“不重不漏”.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两名队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选解：(1)一名女生，四名男生故共有CC350(种)(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC165(种)(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长故共有：CCCC825(种)，或采用排除法：CC825(种)(4)至多有两名女生含有三类：
8、有两名女生、只有一名女生、没有女生故选法为：CCCCC966(种)类型三几何组合应用题【例3】在MON的边OM上有5个异于O点的点，ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O)为顶点，可以得到多少个三角形？【分析】要想组成三角形需找不在同一直线上的三点因为O为射线OM与射线ON的公共点，所以对O取与不取需进行讨论【解】解法1：(直接法)分几种情况考虑：以O为顶点的三角形中，另外两个顶点必须分别在OM、ON上，所以有CC个；O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上的有CC个；一个顶点在OM上，两个顶点在ON上的有CC个因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有CCCCCC5
9、41045690个解法2：(间接法)先不考虑共线顶点的问题，从10个不同元素中任取3个点的组合数是C，但其中OM上的6个点(含O)中任取3个点不能得到三角形，ON上的5个点(含O)中任取3个点也不能得到三角形，所以共可以得到(CCC)个三角形，即CCC120201090个解法3：把O看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O)中取两点，ON上的4点(不含O)中取一点，有CC个三角形，再从OM上的5点(不含O)中取一点，从ON上的4点(不含O)中取两点，可得CC个三角形，所以共有CCCC1545690个三角形在四棱锥PABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平
10、面上，不同的取法有(C)A40种 B48种C56种 D62种解析：满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C种取法；第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C种取法；第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C种取法所以，满足题意的不同取法共有4C2C4C56(种)，选C.1分组分配问题的求解策略【例4】有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成三组，每组都是2本；(4)
11、分给甲、乙、丙三人，每人2本【思路分析】解题的关键是要搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题要注意顺序，避免计数的重复或遗漏【解】(1)分三步：先选一本有C种选法，再从余下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选有C种选法由分步乘法计数原理知，分配方式共有CCC60种(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题因此，分配方式共有CCCA360种(3)先分三组，有CCC种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但CCC种分法中还有(AB，EF，
12、CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况只能作为一种分法，故分配方式有15种(4)在(3)问的基础上再分配即可，共有分配方式A90种【解后反思】本题是一道十分典型的“分组分配”问题，它的每一个小题都是一种类型，我们要认真领会计数时常有下面的结论：“无对象的均匀分配”问题，只需按“有对象的均匀分配”问题列式后，再除以组数的全排列数，对于“无对象的非均匀分配”与“有对象的非均匀分配”问题，前者只需分步完成，后者先分组，后排列某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的
13、安排方案种数有(D)A6种 B24种C180种 D90种解析：先把4名学生分两组有3(种)，然后再把这两组给这6个班中的两个班有A30(种)，根据分步乘法计数原理得不同的安排方案种数有33090(种)2排列与组合的综合应用【例5】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_(用数字作答)【思路分析】分别计算课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课和6节课随机排列的基本事件数，则概率易求【解】相邻两节文化课之间分别间隔1节艺术课有2AA种排法，三节文化课相邻有AA种排法，三节文化课中两节相邻，与另一节
14、之间间隔1节艺术课有CAACA种排法故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为.【解后反思】组合与排列的综合问题是高考重点考查的内容之一，题目有一定的难度，求解时注意分清是组合问题还是排列问题，按照“先选后排”的原则进行两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(C)A10种 B15种C20种 D30种解析：需根据比赛的局数进行分类讨论由题意可分3类：第1类，恰好打3局，共有2种情形；第2类，恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有CA6种情形；第3类，恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局
15、赢)，共有CA12种情形故所有可能出现的情形共有261220种.1从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为(A)ACC BCCCC DAA解析：由已知女生抽取3人，男生抽取2人，则抽取方法有CC种2楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有(C)A72种 B84种C120种 D168种解析：插空法，从9盏不关闭的灯组成的10个空隙中选3个位置，即需关闭的3盏灯的位置，有C120种3从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有34种解析：(间接法)共有CC34种不同的
16、选法46条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使三条网线通过最大信息量的和大于或等于6的方法共有15种解析：当选用信息量为4的网线时有C种；当选用信息量为3的网线时有(CCC)种，共有CCCC15种5在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？解：(1)有C220种抽法(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C种方法；再从10件正品中抽出2件有C种方法，所以共有CC90种抽法(3)解法1：分两类，即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与第(2)小题类似共有CCCC100种抽法解法2(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C种，所以至少有1件次品的抽法有CC100种