1、第 3 讲 平面向量考情解读 (1)平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查(2)平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力1平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0.(2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为 a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线 l 的斜率为 k，则 a(1，k)是直线 l 的一个方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影2平
2、面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量 a(a0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数，使 ba.(2)平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2，其中 e1，e2 是一组基底3平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.4平面向量的三个性质(1)若 a(x，y)，则|a|aa x2y2.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12.(3)若 a(x1，y
3、1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.热点一 平面向量的概念及线性运算例 1 (1)(2014福建改编)在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是_e1(0,0)，e2(1,2)e1(1,2)，e2(5，2)e1(3,5)，e2(6,10)e1(2，3)，e2(2,3)(2)如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D，若OC mOA nOB，则 mn 的取值范围是_思维启迪(1)即看哪个向量组可以作为基底(2)构造三点共线图形，得到平面向量的
4、三点共线结论，将此结论与OC mOA nOB 对应答案(1)(2)(1,0)解析(1)由题意知，中 e10，选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选(事实上，a(3,2)2e1e2)(2)依题意，由点 D 是圆 O 外一点，可设BD BA(1)，则OD OB BAOA(1)OB.又 C，O，D 三点共线，令OD OC(1)，则OC OA 1 OB(1，1)，所以 m，n1.故 mn1 1(1,0)思维升华 对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则同时，要抓住两条主线：一是基于
5、“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现(1)(2014陕西)设 02，向量 a(sin 2，cos)，b(cos，1)，若 ab，则 tan_.(2)如图，在ABC 中，AF13AB，D 为 BC 的中点，AD 与 CF 交于点 E.若ABa，ACb，且CExayb，则 xy_.答案(1)12(2)12解析(1)因为 ab，所以 sin 2cos2，2sin cos cos2.因为 00，得 2sin cos，tan 12.(2)如图，设 FB 的中点为 M，连结 MD.因为 D 为 BC 的中点，M 为 FB 的中点，所以 MDCF.因为 AF13AB，所以
6、F 为 AM 的中点，E 为 AD 的中点方法一 因为ABa，ACb，D 为 BC 的中点，所以AD 12(ab)所以AE12AD 14(ab)所以CECAAEACAEb14(ab)14a34b.所以 x14，y34，所以 xy12.方法二 易得 EF12MD，MD12CF，所以 EF14CF，所以 CE34CF.因为CFCAAFACAFb13a，所以CE34(b13a)14a34b.所以 x14，y34，则 xy12.热点二 平面向量的数量积例 2 (1)如图，BC、DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，BF2FO，则FD FE_.(2)(2013重庆改编)在平面上，AB1 AB2，|O
7、B1|OB2|1，APAB1 AB2.若|OP|12，则|OA|的取值范围是_思维启迪(1)图 O 的半径为 1，可对题中向量进行转化FD FO OD，FEFO OE；(2)利用|OP|12，寻找OP，OA 的关系答案(1)89(2)72，2解析(1)BF2FO，圆 O 的半径为 1，|FO|13，FD FE(FO OD)(FO OE)FO 2FO(OE OD)OD OE(13)20189.(2)AB1 AB2，AB1 AB2(OB1 OA)(OB2 OA)OB1 OB2 OB1 OA OA OB2 OA 20，OB1 OB2 OB1 OA OA OB2 OA 2.APAB1 AB2.OP O
8、A OB1 OA OB2 OA，OP OB1 OB2 OA.|OB1|OB2|1，OP 211OA 22(OB1 OB2 OB1 OA OB2 OA)2OA 22(OA 2)2OA 2，|OP|12，0|OP|214，02OA 214，74OA 22，即|OA|72，2.思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算(1)(2014江苏)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD 的值是_(2)已知点 G 是ABC 的重心，若A1
9、20，ABAC2，则|AG|的最小值是_答案(1)22(2)23解析(1)由CP3PD，得DP 14DC 14AB，APAD DP AD 14AB，BPAPABAD 14ABABAD 34AB.因为APBP2，所以(AD 14AB)(AD 34AB)2，即AD 212AD AB 316AB22.又因为AD 225，AB 264，所以ABAD 22.(2)在ABC 中，延长 AG 交 BC 于 D，点 G 是ABC 的重心，AD 是 BC 边上的中线，且AG23AD，ABAC|AB|AC|cos 1202，|AB|AC|4，AG 23AD，2AD ABAC，AG 13(ABAC)，AG 213(
10、ABAC)219AB 22ABAC AC 2192|AB|AC|2(2)49，AG 249，|AG|23，|AG|的最小值是23.热点三 平面向量与三角函数的综合例 3 已知向量 a(cos，sin)，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin，cos x2cos)，其中0 x.(1)若 4，求函数 f(x)bc 的最小值及相应 x 的值；(2)若 a 与 b 的夹角为3，且 ac，求 tan 2 的值思维启迪(1)应用向量的数量积公式可得 f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的 x 值(2)由夹角公式及 ac 可得关于角 的
11、三角函数式，通过三角恒等变换可得结果解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin，cos x2cos)，4，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x 2(sin xcos x)令 tsin xcos x4x，则 2sin xcos xt21，且1t 2.则 yt2 2t1t 22232，1t 2，t 22 时，ymin32，此时 sin xcos x 22，即 2sinx4 22，4x，2x454，x476，x1112.函数 f(x)的最小值为32，相应 x 的值为1112.(2)a 与 b 的夹角为3，
12、cos 3 ab|a|b|cos cos xsin sin xcos(x)0 x，0 x，x3.ac，cos(sin x2sin)sin(cos x2cos)0，sin(x)2sin 20，即 sin23 2sin 20.52sin 2 32 cos 20，tan 2 35.思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三
13、角函数的知识解决问题 已知向量 asin x，34，b(cos x，1)(1)当 ab 时，求 cos2xsin 2x 的值；(2)设函数 f(x)2(ab)b，已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a 3，b2，sin B 63，求 f(x)4cos(2A6)(x0，3)的取值范围解(1)ab，34cos xsin x0，tan x34.cos2xsin 2xcos2x2sin xcos xsin2xcos2x12tan x1tan2x 85.(2)f(x)2(ab)b 2sin2x4 32，由正弦定理 asin A bsin B，可得 sin A 22，A4.f
14、(x)4cos2A6 2sin2x4 12，x0，3，2x44，1112 32 1f(x)4cos(2A6)212.故所求范围为 32 1，2121当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量ABOB OA(其中 O 为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量2根据平行四边形法则，对于非零向量 a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量 a，b 互相垂直3两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可
15、能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线4平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.真题感悟1(2014湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点 D 满足|CD|1，则|OA OB OD|的最大值是_答案 71解析 设 D(x，y)，由CD(x3，y)及|CD|1 知(x3)2y21，即动
16、点 D 的轨迹为以点 C为圆心的单位圆又 O AOB OD(1,0)(0，3)(x，y)(x1，y 3)，|OA OB OD|x12y 32.问题转化为圆(x3)2y21 上的点与点 P(1，3)间距离的最大值圆心 C(3,0)与点 P(1，3)之间的距离为3120 32 7，故x12y 32的最大值为 71.2(2014天津改编)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC上，BEBC，DFDC.若AEAF1，CECF23，则 _.答案 56解析 AEABBC，AFAD DC，AEAF(ABBC)(AD DC)ABAD ABDC BCAD BCDC22(1
17、2)4422(12)24()21.2()32.CECF(1)CB(1)CD(1)CBCD22(12)(1)2()123，()113，即()23.由解得 56.押题精练1在 RtABC 中，BCA90，CACB1，P 为 AB 边上的点，且APAB，若CPABPAPB，则 的取值范围是_答案 2 22，1解析 因为CPAB(APAC)ABAPABACABABABACAB21 2cos 421，PAPBAPPBAB(1)AB2(1)，因为CPABPAPB，所以 212(1)，解得2 222 22，又因为 P 为 AB 边上的点，所以 01，所以2 221.2如图，在半径为 1 的扇形 AOB 中，
18、AOB60，C 为弧上的动点，AB 与 OC 交于点 P，则OP BP最小值是_答案 116解析 因为OP OB BP，所以OP BP(OB BP)BPOB BP(BP)2.又因为AOB60，OAOB，所以OBA60.OB1.所以OB BP|BP|cos 12012|BP|.所以OP BP12|BP|BP|2(|BP|14)2 116 116.故当且仅当|BP|14时，OP BP最小值是 116.3已知向量 m(sin x，cos x)，n(32，32)，xR，函数 f(x)mn.(1)求 f(x)的最大值；(2)在ABC 中，设角 A，B 的对边分别为 a，b，若 B2A，且 b2af(A6
19、)，求角 C 的大小解(1)f(x)32sin x 32 cos x 3sin(x6)，所以 f(x)的最大值为 3.(2)因为 b2af(A6)，由(1)和正弦定理，得 sin B2 3sin2A.又 B2A，所以 sin 2A2 3sin2A，即 sin Acos A 3sin2A，而 A 是三角形的内角，所以 sin A0，故 cos A 3sin A，tan A 33，所以 A6，B2A3，CAB2.(推荐时间：60 分钟)一、填空题1设向量 a，b，则“|ab|a|b|”是“ab”的_条件答案 充要解析 设向量 a，b 的夹角为，若|ab|a|b|cos|a|b|，cos 1，则 a
20、b；若 ab，则cos 1，从而|ab|a|b|cos|a|b|，“|ab|a|b|”是“ab”的充要条件2已知向量OA(2,2)，OB(4,1)，点 P 在 x 轴上，APBP取最小值时，点 P 坐标是_答案(3,0)解析 依题意设 P(x,0)，则AP(x2，2)，BP(x4，1)，所以APBP(x2)(x4)2x26x10(x3)21，当 x3 时APBP取得最小值 1，此时点 P 坐标为(3,0)3已知|a|1，|b|2，a，b3，则|ab|_.答案 7解析|ab|2a2b22ab142|a|b|cosa，b5212127，所以|ab|7.4(2013福建改编)在四边形 ABCD 中，
21、AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为_答案 5解析 ACBD 0，ACBD.四边形 ABCD 的面积 S12|AC|BD|12 52 55.5等腰直角三角形 ABC 中，A2，ABAC2，M 是 BC 的中点，P 点在ABC 内部或其边界上运动，则BPAM 的取值范围是_答案 2,0解析 以点 A 为坐标原点，射线 AB，AC 分别为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B(2,0)，M(1,1)设 P(x，y)，由于点 P 在ABC 内部或其边界上运动，故 x0，y0 且 xy2，BPAM(x2，y)(1,1)x2y，所以BPAM 的取值范围是2,06若点 M 是ABC
22、 所在平面内的一点，且满足 5AM AB3AC，则ABM 与ABC 的面积比为_答案 35解析 设 AB 的中点为 D，由 5AM AB3AC，得 3AM 3AC2AD 2AM，即 3CM 2MD.如图所示，故 C，M，D 三点共线，且MD 35CD，也就是ABM 与ABC 对于边 AB 的两高之比为 35，则ABM 与ABC 的面积比为35.7在 RtABC 中，AB1，BC2，AC 3，D 在边 BC 上，BD23，则ABAD _.答案 23解析 RtABC 中，AB1，BC2，AC 3，BAC90，BD23，BC2，得到BDBC13，BD 13BC，AD ABBD AB13BCAB13(
23、ACAB)13AC23AB，ABAD AB(13AC23AB)13ABAC23AB 20231223.8(2014课标全国)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO 12(ABAC)，则AB与AC的夹角为_答案 90解析 AO 12(ABAC)，点 O 是ABC 中边 BC 的中点，BC 为直径，根据圆的几何性质有AB，AC90.9已知 e1，e2 为相互垂直的单位向量，若向量 e1e2 与 e1e2 的夹角等于 60，则实数 _.答案 2 3解析 因为 e1，e2 为相互垂直的单位向量，则不妨设 e1，e2 分别为直角坐标系中 x，y 轴的正方向的单位向量，则向量 e1e2 与 e1e2
24、 的坐标为(，1)，(1，)，因为向量 e1e2 与 e1e2的夹角等于 60，所以由向量数量积的定义可得 cos 60e1e2e1e2|e1e2|e1e2|12221 212 3.10.给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB，它们的夹角为 90.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动若OC xOA yOB，其中 x、yR，则 xy 的最大值是_答案 2解析 设AOC，则COB90，OC cos OA sin OB，即xcos，ysin.xycos sin 2sin4 2.二、解答题11.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴正半轴上，直线 AB 的倾斜角为
25、34，|OB|2，设AOB，2，34.(1)用 表示点 B 的坐标及|OA|；(2)若 tan 43，求OA OB 的值解(1)由题意，可得点 B 的坐标为(2cos，2sin)在ABO 中，|OB|2，BAO4，B434.由正弦定理，得|OB|sin 4|OA|sin B，即|OA|2 2sin34 .(2)由(1)，得OA OB|OA|OB|cos 4 2sin34 cos.因为 tan 43，2，34，所以 sin 45，cos 35.又 sin34 sin 34 cos cos 34 sin 22 35 22 45 210，故OA OB 4 2 21035 1225.12已知ABC 中
26、，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若向量 m(cos B,2cos2C21)与向量n(2ab，c)共线(1)求角 C 的大小；(2)若 c2 3，SABC2 3，求 a，b 的值解(1)m(cos B，cos C)，mn，ccos B(2ab)cos C，sin Ccos B(2sin Asin B)cos C，sin A2sin Acos C，cos C12，C(0，)，C3.(2)c2a2b22abcos C，a2b2ab12，SABC12absin C2 3，ab8，由得a2b4 或a4，b2.13在ABC 中，AC10，过顶点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D，AD5，且满足
27、AD 511DB.(1)求|ABAC|；(2)存在实数 t1，使得向量 xABtAC，ytABAC，令 kxy，求 k 的最小值解(1)由AD 511DB，且 A，B，D 三点共线，可知|AD|511|DB|.又 AD5，所以 DB11.在 RtADC 中，CD2AC2AD275，在 RtBDC 中，BC2DB2CD2196，所以 BC14.所以|ABAC|CB|14.(2)由(1)，知|AB|16，|AC|10，|BC|14.由余弦定理，得 cos A10216214221016 12.由 xABtAC，ytABAC，知 kxy(ABtAC)(tABAC)t|AB|2(t21)ACABt|AC|2256t(t21)161012100t80t2356t80.由二次函数的图象，可知该函数在1，)上单调递增，所以当 t1 时，k 取得最小值 516.